2025年河北省中考真題數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2025年河北省中考真題數(shù)學(xué)試題（解析版），共28頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題．等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 從上升了后的溫度，在溫度計(jì)上顯示正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)的加法的應(yīng)用，根據(jù)題意計(jì)算得出，找到顯示為的即可求解．
【詳解】解：
故選：B．
2. 榫卯結(jié)構(gòu)是兩個(gè)構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式．如圖是某個(gè)構(gòu)件的截面圖，其中，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合題意，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
3. 計(jì)算：（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，利用平方差公式直接計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：
故選：B．
4. “這么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘濟(jì)橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲化石，他想了解其長度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）．回家后量出照片上筆和化石的長度分別為和，筆的實(shí)際長度為，則該化石的實(shí)際長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，設(shè)該化石的實(shí)際長度為，根據(jù)題意得出，即可求解．
【詳解】設(shè)該化石的實(shí)際長度為，依題意，
，
解得：
故選：C．
5. 一個(gè)幾何體由圓柱和正方體組成，其主視圖、俯視圖如圖所示，則其左主視圖視圖為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)畫三視圖的方法，發(fā)揮空間想象能力，結(jié)合主視圖和俯視圖，從左側(cè)看下方是一個(gè)長方形，上面中間是一個(gè)小正方形，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：從左側(cè)看下方是一個(gè)長方形，上面中間是一個(gè)小正方形，
故選：A．
6. 若一元二次方程的兩根之和與兩根之積分別為，，則點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)的坐標(biāo)；將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與積，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷所在象限．
【詳解】解：原方程 展開并整理為標(biāo)準(zhǔn)形式：
其中 ，，．
∴，．
∴點(diǎn)即 的橫、縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，故位于平面直角坐標(biāo)系的第三象限．
故選：C．
7. 拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體木塊（6個(gè)面上分別標(biāo)有，，中的一個(gè)數(shù)字），若向上一面出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，則該木塊不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)概率求數(shù)量，根據(jù)題意得出數(shù)字有個(gè)，數(shù)字有2個(gè)，則數(shù)字只有個(gè)，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．
【詳解】解：正方體共6個(gè)面，向上一面出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，
∴數(shù)字有個(gè)，數(shù)字有2個(gè)，則數(shù)字只有個(gè)
選項(xiàng)A中數(shù)字有2個(gè)，符合題意
故選：A．
8. 若，則（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，將分式化簡后代入求值，即可求解．
【詳解】解：
當(dāng)時(shí)，原式
故選：B．
9. 如圖，在五邊形中，，延長，，分別交直線于點(diǎn)，．若添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定，則這個(gè)條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當(dāng)時(shí)，可證明，由平行線的性質(zhì)得到，，則可證明，據(jù)此可判斷A、B；由平行線的性質(zhì)可得，則，同理可判斷C；D中條件結(jié)合已給條件不能證明．
【詳解】解：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合題意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合題意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合題意；
D、根據(jù)結(jié)合已知條件不能證明，故D符合題意；
故選：D．
10. 在反比例函數(shù)中，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了反比例數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的范圍求解．
【詳解】解：∵，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，，
故選：B．
11. 如圖，將矩形沿對角線折疊，點(diǎn)落在處，交于點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)落在內(nèi)的處，下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了矩形的折疊問題，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；結(jié)果矩形的性質(zhì)的可得，，則，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴
∵折疊
∴
∴
∵，即
∴，故A不正確
∵
∴，故B不正確
∵折疊，
∴
∵，故C不正確，D選項(xiàng)正確
故選：D．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，正方形與正方形的頂點(diǎn)均為整點(diǎn)．若只將正方形平移，使其內(nèi)部（不含邊界）有且只有，，三個(gè)整點(diǎn)，則平移后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖象，一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，根據(jù)選項(xiàng)判斷平移方式，結(jié)合題意，即可求解．
【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，代入
∴
∴
∴直線的解析式為
∵，
A. 當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，
∴直線平移后的解析式為，此時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)，對應(yīng)的經(jīng)過整點(diǎn)，符合題意，
B. 當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，
∴直線平移后的解析式為，此時(shí)原點(diǎn)在下方，對應(yīng)的在整點(diǎn)上方，不符合題意，
C. 當(dāng)時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，，
∴直線平移后的解析式為，此時(shí)點(diǎn)在正方形內(nèi)部，不符合題意，
D. 當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，
∴直線平移后的解析式為，此時(shí)點(diǎn)和在正方形內(nèi)部，不符合題意，
故選：A．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13. 計(jì)算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，掌握合并同類項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵．
直接根據(jù)合并同類項(xiàng)法則計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
14. 平行四邊形的一組鄰邊長分別為，，一條對角線長為．若為整數(shù)，則的值可以為______．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，不等式組的整數(shù)解，根據(jù)題意得出，進(jìn)而寫出一個(gè)整數(shù)解即可求解．
【詳解】解：依題意，
∴，
∵為整數(shù)，
∴可以是，，，，
故答案為：（答案不唯一）．
15. 甲、乙兩張等寬的長方形紙條，長分別為，．如圖，將甲紙條的與乙紙條的疊合在一起，形成長為81的紙條，則______．
【答案】99
【解析】
【分析】本題主要考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，一元一次方程的應(yīng)用，由題意可知：重疊部分為： ，設(shè)疊部分的長度為k，則，，根據(jù)重疊后的總長度為81為等量關(guān)系列出關(guān)于k的一元一次方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：由題意可知：重疊部分為： ，
設(shè)重疊部分的長度為k，則，，
重疊后的總長度為：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案為：99．
16. 2025年3月是第10個(gè)全國近視防控宣傳教育月，活動(dòng)主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，更快降低近視率”，圖是一幅眼肌運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練圖，其中數(shù)字對應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，數(shù)字0對應(yīng)圓心．圖中以數(shù)字對應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段中，有一條線段的長與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長為______．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，首先得到線段的長與其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三線合一求解即可．
【詳解】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D
由圖可得，線段的長與其他的都不相等，
∵其中數(shù)字對應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，
∴
∴相鄰兩個(gè)數(shù)字與圓心組成的圓心角為
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵，
∴．
∴這條線段的長為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角，解直角三角形，等邊對等角，三線合一性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．
三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
17. （1）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；
（2）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；
（3）直接寫出不等式組的解集．
【答案】（1），見解析；（2），見解析；（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，求不等式組的解集，熟知解不等式和解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）把不等式兩邊同時(shí)除以2求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；
（2）按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；
（3）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：（1）
不等式兩邊同時(shí)除以2得，
數(shù)軸表示如下所示：
（2）
移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
系數(shù)化為1得：，
數(shù)軸表示如下所示：
（3）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為．
18. （1）一道習(xí)題及其錯(cuò)誤的解答過程如下：請指出在第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，并選擇你喜歡的方法寫出正確的解答過程．
（2）計(jì)算：
【答案】（1）原計(jì)算第一步開始出錯(cuò)；；（2）
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）第一步計(jì)算分配律時(shí)符號出錯(cuò)；
（2）按照實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行，先計(jì)算括號里面的，再從左到右依次計(jì)算乘除．
【詳解】解：（1）原計(jì)算第一步開始出錯(cuò)；
；
（2）
19. 如圖．四邊形的對角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，．
（1）求證：；
（2）若，求證：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；
（1）先證明，結(jié)合，，即可得到結(jié)論；
（2）先證明，結(jié)合即可得到結(jié)論.
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，，
∴；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，即.
20. 某工廠生產(chǎn)，，，四種產(chǎn)品．為提升產(chǎn)品的競爭力，該工廠計(jì)劃對部分種類的產(chǎn)品優(yōu)化生產(chǎn)流程，降低成本；對其他種類的產(chǎn)品增加研發(fā)投入，提升品質(zhì)．經(jīng)研究，該工廠做出了甲、乙兩種調(diào)整方案，這兩種方案將對四種產(chǎn)品的成本產(chǎn)生不同的影響．下面是該工廠這四種產(chǎn)品的部分信息：a．調(diào)整前，各產(chǎn)品年產(chǎn)量的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖（圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）．b．各產(chǎn)品單件成本的核算情況統(tǒng)計(jì)表及說明．說明：對于統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求調(diào)整前產(chǎn)品的年產(chǎn)量；
（2）直接寫出，的值；
（3）若調(diào)整后這四種產(chǎn)品的年產(chǎn)量均與調(diào)整前的相同，請通過計(jì)算說明甲、乙兩種方案哪種總成本較低．
【答案】（1）萬件
（2），
（3）甲種方案總成本較低
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，求平均數(shù)與中位數(shù)，從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵；
（1）先求得總產(chǎn)量，然后求得的年產(chǎn)量，最后求得產(chǎn)品的年產(chǎn)量；
（2）根據(jù)方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，即可求解；
（3）分別計(jì)算甲、乙兩種方案的成本，比較大小，即可求解．
【小問1詳解】
萬件，
產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：萬件，
∴調(diào)整前產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：萬件
【小問2詳解】
∵方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，
∴
解得：，
∵方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，調(diào)整前，中位數(shù)為
調(diào)整后為，
∴
【小問3詳解】
解：方案甲的總成本為：（萬元）
方案乙的總成本為：（萬元）
∴甲種方案總成本較低
21. 如圖1，圖2，正方形的邊長為5．扇形所在圓的圓心在對角線上，且不與點(diǎn)重合，半徑，點(diǎn)，分別在邊，上，，扇形的弧交線段于點(diǎn)，記為．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的長；
（3）當(dāng)時(shí)，求的長．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意證明出四邊形是正方形，得到，然后利用圓周角定理求解即可；
（2）首先證明出是等邊三角形，如圖所示，連接交于點(diǎn)G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，進(jìn)而求解即可；
（3）分兩種情況，根據(jù)弧長公式求解即可．
【小問1詳解】
∵正方形的邊長為5．
∴
∵當(dāng)時(shí)
∴
∵
∴
∴四邊形是菱形
∵
∴四邊形是正方形
∴
∴；
【小問2詳解】
∵四邊形為菱形
∴
∵扇形所在圓的圓心在對角線上，
∴
∴是等邊三角形
如圖所示，連接交于點(diǎn)G
∴
∴
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴；
【小問3詳解】
如圖所示，當(dāng)是劣弧時(shí)，
∵，半徑
∴；
如圖所示，當(dāng)是優(yōu)弧時(shí)，
∵，半徑
∴
∴．
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，求弧長，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．
22. 一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長度的增加稱為線膨脹．在（本題涉及的溫度均在此范圍內(nèi)），原長為的銅棒、鐵棒受熱后，伸長量與溫度的增加量之間的關(guān)系均為，其中為常數(shù)，稱為該金屬的線膨脹系數(shù)．已知銅的線膨脹系數(shù)（單位：）；原長為的鐵棒從加熱到伸長了．
（1）原長為銅棒受熱后升高，求該銅棒的伸長量（用科學(xué)記數(shù)法表示）．
（2）求鐵的線膨脹系數(shù)；若原長為的鐵棒受熱后伸長，求該鐵棒溫度的增加量．
（3）將原長相等的銅棒和鐵棒從開始分別加熱，當(dāng)它們的伸長量相同時(shí)，若鐵棒的溫度比銅棒的高，求該鐵棒溫度的增加量．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)定義求得鐵的線膨脹系數(shù)，進(jìn)而設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【小問1詳解】
解：，
答：該銅棒的伸長量．
【小問2詳解】
解：，
解得：，
設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意得，
，
解得：，
答：鐵的線膨脹系數(shù)，該鐵棒溫度的增加．
【小問3詳解】
解：設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意得，
，
解得： ，
答：該鐵棒溫度的增加量為．
23. 綜合與實(shí)踐
［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護(hù)板（如圖），需找到合適的切割線．
［模型］已知矩形（數(shù)據(jù)如圖所示）．作一條直線，使與所夾的銳角為，且將矩形分成周長相等的兩部分．
［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問題．
［探究］根據(jù)以上描述，解決下列問題．
［拓展］操作和探究中蘊(yùn)含著一般性結(jié)論，請繼續(xù)研究下面的問題．
（1）圖中，矩形的周長為______；
（2）在圖基礎(chǔ)上，用尺規(guī)作圖作出直線（作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（3）根據(jù)淇淇的作圖過程，請說明圖中的直線符合要求．
（4）如圖，若直線將矩形分成周長相等的兩部分，分別交邊，于點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．
當(dāng)時(shí)，求的值；
當(dāng)最大時(shí)，直接寫出的長．
【答案】（1）； （2）見解析；
（3）；
（4）；．
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的周長公式計(jì)算即可；
以點(diǎn)為圓心為半徑畫弧，交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，由作圖可知是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，，從而可證直線把矩形分成了周長相等的兩部分，所以線段即為所求；
根據(jù)矩形的性質(zhì)可證四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可以證明書，，所以可以證明，所以直線把矩形分成了周長相等的兩部分，從而可證直線符合要求；
過點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：，，，根據(jù)勾股定理可以求出，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：，，從而可得：，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，，根據(jù)正切的定義可以求出的正切；
連接交于點(diǎn)，把矩形分成了周長相等的兩部分，點(diǎn)為和的中點(diǎn)，利用勾股定理可以求出，，過點(diǎn)作，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的長度．
【小問1詳解】
解：四邊形矩形，
，
，，
，，
矩形的周長為，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：如下圖所示，
以點(diǎn)為圓心為半徑畫弧，交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，線段即為所求，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形的對角線交于點(diǎn)，
，
四邊形是矩形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
直線把矩形分成周長相等的兩部分；
【小問3詳解】
證明：四邊形是矩形，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
直線是的垂直平分線，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周長相等的兩部分，
直線符合要求；
【小問4詳解】
解：如下圖所示，過點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，
四邊形是矩形，且直線將矩形分成周長相等的兩部分，
則點(diǎn)是矩形的對角線與的交點(diǎn)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四邊形矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于點(diǎn)，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
解：如下圖所示，連接交于點(diǎn)，
把矩形分成了周長相等的兩部分，
點(diǎn)為和的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以為直徑的上，
當(dāng)與相切時(shí)，最大，
，，
，
，
，
過點(diǎn)作，
，
四邊形是矩形，
，
則，
，
，
，，
，
，
是的切線，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、中心對稱圖形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的綜合性較強(qiáng)，難度較大，需要綜合運(yùn)用矩形、圓、切線等圖形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．拋物線經(jīng)過點(diǎn)．兩條拋物線在第一象限內(nèi)的部分分別記為，．
（1）求，的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)在上，到軸的距離為．判斷能否經(jīng)過點(diǎn)，若能，求的值；若不能，請說明理由．
（3）直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半．
①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)恰好落在上，求的值；
②若點(diǎn)為直線與的唯一公共點(diǎn)，請直接寫出的值．
【答案】（1），
（2）不能，理由見解析
（3）①；②
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵；
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，代入拋物線解析式得出或，而經(jīng)過點(diǎn)和，即可得出結(jié)論；
（3）①先求得，和代入解析式，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
②根據(jù)題意得出直線的解析式為，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)，得出，聯(lián)立直線解析式，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，，將代入，得出①，根據(jù)點(diǎn)為直線與的唯一公共點(diǎn)，得出②，聯(lián)立解得的值，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)為
∴
解得：，
∴，
∴；
【小問2詳解】
∵點(diǎn)在（第一象限）上，到軸的距離為．則
∴當(dāng)時(shí)，
解得：或
∴或
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線
∴經(jīng)過點(diǎn)和
∴不能經(jīng)過點(diǎn),
【小問3詳解】
①∵，
當(dāng)重合時(shí)，則
∵是的中點(diǎn)，
∴,
∵點(diǎn)恰好落在上，經(jīng)過點(diǎn)
∴
解得：；
②∵直線交于點(diǎn)，，
∴，
∴直線的解析式為，
∵經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴
聯(lián)立
消去得，
∴，則
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半．
∴即，
將代入，
∴①
∵點(diǎn)為直線與的唯一公共點(diǎn)，
∴②
聯(lián)立①②得：或，
當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)不在公共點(diǎn)不在第一象限，不符合題意，
∴．計(jì)算：．
解：
第一步
第二步
．第三步
產(chǎn)品
數(shù)據(jù) 類別
調(diào)整前單價(jià)成本（元/件）
調(diào)整后單價(jià)成本（元/件）
方案甲
方案乙
如圖3，嘉嘉的思路如下：
①連接，交于點(diǎn)；
②過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，
……
如圖4，淇淇的方法如下：
①在邊上截取，連接；
②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；
③在邊上截取，作直線．