人教A版高二數(shù)學選修第一冊 第08講 2.4.2圓的一般方程講義（學生版+教師版）

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模塊二 基礎(chǔ)知識梳理
知識點01：圓的一般方程
對于方程（為常數(shù)），當時，方程叫做圓的一般方程.
①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當時，方程表示一個點
③當時，方程不表示任何圖形
說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.
【即學即練1】（高二上·全國·課后作業(yè)）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
知識點02：圓的一般方程與圓的標準方程的特點
知識點03：在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關(guān)系
已知點和圓的一般式方程：（），
則點與圓的位置關(guān)系：
①點在外
②點在上
③點在內(nèi)
【即學即練2】（·遼寧沈陽·模擬預測）若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為 .
模塊三 核心考點梳理
題型01圓的一般方程的理解
【典例1】（高二上·廣東·期末）已知方程表示一個圓，則實數(shù)取值范圍是（ ）
A． B．
C．D．
【典例2】（高二上·上海·課后作業(yè)）已知表示圓，求實數(shù)的值．
【變式1】（高二上·廣東江門·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（多選）（高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知方程表示一個圓，則實數(shù)m可能的取值為（ ）
A．－1B．0C．D．1
題型02求圓的一般方程
【典例1】（·吉林長春·三模）經(jīng)過，，三個點的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二上·山東泰安·階段練習）已知圓的圓心在直線上，且過點，，則圓的一般方程為 .
【典例3】（高二上·安徽阜陽·期末）已知的三個頂點分別為.
(1)求的面積；
(2)求的外接圓的方程.
【變式1】（高三上·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是 ．
【變式2】（高二上·青海西寧·期末）若圓C過三個點，，，則圓C的方程為 ．
【變式3】（高二上·上海·課后作業(yè)）求經(jīng)過、、三點的圓的方程．
題型03圓的一般方程與標準方程轉(zhuǎn)化
【典例1】（·云南曲靖·二模）曲線所圍成的區(qū)域的面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·浙江寧波·期末）已知圓C的方程為，則圓C的半徑為 .
【變式1】（高二下·上海楊浦·期末）已知圓的方程是，則圓心的坐標是 ．
【變式2】（高三下·上?！て谥校┮阎獔A的面積為，則實數(shù)的值為 .
題型04點與圓的位置關(guān)系
【典例1】（高二上·湖北荊門·期末）已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二上·陜西咸陽·階段練習）已知點在圓的外部，則的取值范圍是 ．
【變式1】（高二上·安徽合肥·期中）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（高三上·河南南陽·期末）若點在圓的外部，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
題型05圓過定點問題
【典例1】（高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（22-23高二上·江蘇·階段練習）已知圓經(jīng)過，兩點.
(1)當，并且是圓的直徑，求此時圓的標準方程；
(2)如果是圓的直徑，證明：無論a取何正實數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個定點，求出這個定點坐標.
【典例3】（高二·全國·專題練習）已知曲線：．
(1)當取何值時，方程表示圓？
(2)求證：不論為何值，曲線必過兩定點．
【變式1】（高三·全國·專題練習）當m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過定點 .
【變式2】（2021高三·全國·專題練習）判別方程（k為參數(shù)，）表示何種曲線?找出通過定點的坐標.
【變式3】（高二上·江西上饒·階段練習）在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)的圖像與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.
(1)求實數(shù)b的取值范圍；
(2)請問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.
題型06求動點的軌跡方程
【典例1】（高二上·吉林長春·期末）已知點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高三·全國·專題練習）已知A(2，0)為圓O：x2＋y2＝r2上一點，點B(1，1)，P，Q為圓O上的動點.
(1)求線段AP中點的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程.
【變式1】（·貴州畢節(jié)·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為 ．
【變式2】（高二上·上海青浦·階段練習）已知兩點，，動點P到點A的距離是它到點B的距離的3倍，則點P的軌跡方程是 ．
【變式3】（高二上·北京·期末）已知點和點，直角以BC為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程 .
題型07與圓有關(guān)的最值問題
【典例1】（高三下·江蘇蘇州·階段練習）在平面直角坐標系中，已知直線：與圓：交于兩點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·青海海東·期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點到，的距離比為，則點到直線：的距離的最大值是 .
【典例3】（高二上·江蘇鹽城·期末）若實數(shù)滿足，則的最大值是 ．
【變式1】（·湖北武漢·模擬預測）已知是邊長為的正三角形，點是所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．
【變式2】（高二上·廣西桂林·期末）已知點，、是圓上的兩個動點，且滿足，為線段的中點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（高三下·浙江·開學考試）是圓上一動點，為的中點，為坐標原點，則的最大值為 .
題型08圓的對稱問題
【典例1】（高二上·天津河東·期中）若圓關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．0B．C．2D．
【典例2】（高二下·上海·期末）若直線是曲線的一條對稱軸，則的最小值是 .
【變式1】（高三上·陜西咸陽·階段練習）圓 關(guān)于直線對稱的圓的方程為 .
【變式2】（高二上·安徽安慶·期中）圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的最小值為 .
題型09圓的綜合問題
【典例1】（高二上·云南昆明·期中）已知點，O為坐標原點，若動點滿足．
(1)試求動點P的軌跡方程
(2)過點P作y軸的垂線，垂足為Q，試求線段PQ的中點M的軌跡方程．
【典例2】（高二上·安徽·期中）一般地，平面內(nèi)到兩個定點P，Q的距離之比為常數(shù)（且）的動點F的軌跡是圓，此圓便是數(shù)學史上著名的“阿波羅尼斯圓”．基于上述事實，完成如下問題：
(1)已知點，，若，求動點M的軌跡方程；
(2)已知點N在圓上運動，點，探究：是否存在定點，使得？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．
【典例3】（高二·全國·課后作業(yè)）在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：①線段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓；②銳角三角形ABC的最小覆蓋圓就是其外接圓．已知x，y滿足方程，記其構(gòu)成的平面圖形為W，平面圖形W為中心對稱圖形，，，，為平面圖形W上不同的四點．
(1)求實數(shù)t的值及三角形ABC的最小覆蓋圓的方程；
(2)求四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程；
(3)求平面圖形W的最小覆蓋圓的方程．
【變式1】（高二上·湖北十堰·期末）已知直線，圓．
(1)求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；
(2)若圓與關(guān)于直線對稱，求的標準方程．
【變式2】（高二上·江西撫州·期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他對圓錐曲線有深入而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：若動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.基于上述事實，完成以下兩個問題：
(1)已知，，若，求點的軌跡方程；
(2)已知點在圓上運動，點，探究：是否存在定點，使得恒成立，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
題型10圓的實際應用
【典例1】（高二上·北京豐臺·期中）趙州橋，又名安濟橋，位于河北省石家莊市趙縣的洨河上，距今已有多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價值，彰顯了中國勞動人民的智慧和力量．2023年以來，中國文旅市場迎來強勁復蘇，某地一旅游景點為吸引游客，參照趙州橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為，拱高為，在該圓拱橋的示意圖中建立如圖所示的平面直角坐標系．

(1)求這座圓拱橋的拱圓的方程；
(2)若該景區(qū)游船寬，水面以上高，試判斷該景區(qū)游船能否從橋下通過，并說明理由.
【典例2】（高二上·廣東揭陽·期中）如圖所示，、分別為某市兩條互相垂直的主干道所在的直線，其中為、的交點.若、兩點分別為該市1路公交車的起點站和終點站，且、之間的公交線路是圓心在上的一段圓弧，站點到直線、的距離分別為和，站點到直線、的距離分別為和.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼担蠊痪€路所在圓弧的方程；
(2)為了豐富市民的業(yè)余生活，市政府決定在主干道上選址建一游樂場，考慮到城市民居集中區(qū)域問題和環(huán)境問題，要求游樂場地址（注：地址視為一個點，設(shè)為點）在點上方，且點到點的距離大于且小于，并要求公交線路（即圓?。┥先我庖稽c到游樂場的距離不小于，求游樂場C距點距離的最大值.
【變式1】（高二上·吉林長春·階段練習）某大型企業(yè)在修建一個單行路的涵洞時，經(jīng)測量此涵洞被垂直于地面的平面截的斷面洞口邊緣是一個半圓如圖，已知圓的直徑是米，建立如圖所示的直角坐標系.
(1)寫出點C的坐標，并求出這個圓的標準方程；
(2)若一個大型載重卡車寬6米，高4.2米，是否能順利通過這個涵洞？說明理由.
【變式2】（高一·全國·課后作業(yè)）某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需要一個支柱支撐，求支柱的長（精確到0.01m）．

模塊四 強化訓練
一、單選題
1．（·云南曲靖·二模）曲線所圍成的區(qū)域的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（高三·全國·專題練習）圓x2＋y2＝4上的點到點(1，0)的距離的最大值為（ ）
A．1B．2
C．3D．5
3．（高二上·全國·課后作業(yè)）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．（高二上·河北石家莊·期中）方程所表示的圓的圓心坐標為（ ）
A．B．C．D．
5．（高二上·河北保定·期中）過圓的圓心且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（21-22高二上·湖北孝感·期末）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）
A．B．C．D．
7．（高二上·天津河東·期中）若圓關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．0B．C．2D．
8．（高二上·河北石家莊·階段練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點M與兩定點的距離之比為時，則動點M所形成的軌跡阿波羅尼斯圓的圓心坐標為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知方程表示一個圓，則實數(shù)m可能的取值為（ ）
A．－1B．0C．D．1
10．（高二上·甘肅白銀·期末）如圖，在直角坐標系中，坐標軸將邊長為4的正方形分割成四個小正方形.若大圓為正方形的外接圓，四個小圓分別為四個小正方形的內(nèi)切圓，則下列方程是圖中某個圓的方程的是（ ）

A．B．
C．D．
三、填空題
11．（高三·全國·專題練習）當m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過定點 .
12．（高二上·四川資陽·期中）若實數(shù)滿足，則的最大值為 ．
四、解答題
13．（高二上·河南鄭州·階段練習）（1）將下列圓的方程化為標準方程，并寫出圓的圓心和半徑：
①；
②．
（2）已知點在圓的內(nèi)部，求實數(shù)的取值范圍.
14．（·廣東深圳·模擬預測）已知過點的動直線l與圓相交于不同的兩點A，B．
(1)求圓的圓心坐標；
(2)求線段的中點M的軌跡C的方程．
圓的標準方程
圓的一般方程
方程
（）
圓心
半徑