人教A版高二數(shù)學(xué)選修第一冊 第06講 2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式講義（學(xué)生版+教師版）

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+2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式+2.3.4兩條平行線間的距離公式）
模塊一 思維導(dǎo)圖

模塊二 基礎(chǔ)知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)01：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
直線：（）和：（）的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng).
與相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；
與平行方程組無解；
與重合方程組有無數(shù)個(gè)解.
【即學(xué)即練1】（高二上·江蘇·專題練習(xí)）分別判斷下列直線l1與l2的位置關(guān)系，若相交，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).
(1)；
(2)；
(3).
知識(shí)點(diǎn)02：兩點(diǎn)間的距離
平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為
特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.
【即學(xué)即練2】（高二上·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離是，則實(shí)數(shù) .
知識(shí)點(diǎn)03：點(diǎn)到直線的距離
平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.
【即學(xué)即練3】（高二下·上?！るA段練習(xí)）已知直線，點(diǎn)到直線的距離等于，則
知識(shí)點(diǎn)04：兩條平行線間的距離
一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.
【即學(xué)即練4】（高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）兩平行直線和之間的距離為（ ）
A．B．2C．D．3
知識(shí)點(diǎn)05：對(duì)稱問題
1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題(方法：中點(diǎn)坐標(biāo)公式)
求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)
由：
2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題（聯(lián)立兩個(gè)方程）
求點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)
①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；
②
整理得：
【即學(xué)即練5】（高二上·北京西城·階段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為 .
3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題(求關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線，則）
方法一：在直線上找一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，根據(jù)，再由點(diǎn)斜式求解；
方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點(diǎn)到兩直線的距離相等求參數(shù).
方法三：在直線任意一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則該點(diǎn)在直線上.
【即學(xué)即練6】（高一下·新疆哈密·期中）直線關(guān)于點(diǎn)A(1,2)的對(duì)稱直線方程為
4、直線關(guān)于直線對(duì)稱問題
4.1直線：（）和：（）相交,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線
①求出與的交點(diǎn)
②在上任意取一點(diǎn)(非點(diǎn)），求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)
③根據(jù)，兩點(diǎn)求出直線
4.2直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線
①
②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.
【即學(xué)即練7】（高二·全國·課后作業(yè)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【即學(xué)即練8】（高一上·湖南岳陽·期末）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為 .
模塊三 核心考點(diǎn)梳理
題型01求直線交點(diǎn)坐標(biāo)
【典例1】（高二上·重慶長壽·期末）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線和，則直線和的交點(diǎn)為 .
【變式1】（高二上·江蘇·單元測試）已知直線與直線互相垂直，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A．B．
C．D．
【變式2】（高二下·上?！るA段練習(xí)）兩直線和的交點(diǎn)為 ．
題型02由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系
【典例1】（高二上·全國·專題練習(xí)）判斷下列直線是否相交，若相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)，；
(2)，.
【典例2】（高二上·全國·課后作業(yè)）判斷下列各組中直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【變式1】（高二·全國·課后作業(yè)）判斷下列各對(duì)直線是否平行：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式2】（高二·江蘇·專題練習(xí)）判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系.若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
題型03由直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)
【典例1】（高二·全國·課后作業(yè)）若與的圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．或
【典例2】（高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為
【典例3】（高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知關(guān)于的方程組有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【變式1】（多選）（高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知集合，集合，且，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（高二上·上海金山·期末）已知關(guān)于的方程組有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式3】（高二上·湖北武漢·期中）寫出使得關(guān)于的方程組無解的一個(gè)的值為 .（寫出一個(gè)即可）
題型04由直線的交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)
【典例1】（高二上·全國·課后作業(yè)）已知兩直線和，相交于點(diǎn)，則的值分別是（ ）
A．7，1B．1，7
C．D．
【典例2】（多選）（22-23高二上·全國·期中）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【變式1】（高二上·四川瀘州·階段練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍 （ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（高二上·北京順義·期末）若直線與直線的交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．-1B．C．1D．2
【變式3】（高二上·江蘇宿遷·期中）已知直線：與：相交于點(diǎn)，則 .
題型05三線圍成三角形問題
【典例1】（多選）（高二上·湖南長沙·期中）已知三條直線，，能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值可能為（ ）
A．2B．C．D．
【典例2】（高二上·上海·假期作業(yè)）若三條直線不能圍成三角形，求實(shí)數(shù)的值．
【典例3】（高二上·河北保定·期中）已知三條直線：，：，：．
(1)若，且過點(diǎn)，求a、b的值；
(2)若，且、、三條直線能圍成三角形，求a的取值范圍．
【變式1】（高二·全國·課后作業(yè)）下面三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合是 .
【變式2】（高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線，，．當(dāng)為何值時(shí)，它們不能圍成三角形？
【變式3】（高二上·湖北武漢·期末）已知直線，直線，直線．
(1)若與的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；
(2)當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形．
題型06直線交點(diǎn)系方程及其應(yīng)用
【典例1】（高二下·上?！るA段練習(xí)）已知直線的方程是，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【典例2】（高二·全國·課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且斜率為，則直線l的方程為 ．
【典例3】（高一下·全國·課后作業(yè)）已知兩直線和.
（1）判斷兩直線是否相交，若相交，求出其交點(diǎn)；
（2）求過與的交點(diǎn)且斜率為的直線方程.
【變式1】（高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標(biāo)系中，過直線與的交點(diǎn)，且在軸上截距為1的直線的方程為 ．（寫成一般式）
【變式2】（高二·全國·假期作業(yè)）求過直線和的交點(diǎn)，且斜率為3的直線方程．
【變式3】（高二·全國·專題練習(xí)）求過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點(diǎn)且斜率為﹣2的直線方程．
題型07求兩點(diǎn)間的距離公式
【典例1】（高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．5B．C．3D．
【典例2】（高二上·全國·課后作業(yè)）已知，，則兩點(diǎn)間的距離為 .
【變式1】（高二上·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(a,3)和B(3,3a＋3)間的距離為5，則a的值為
【變式2】（高二上·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，那么兩點(diǎn)之間的距離等于 .
題型08距離公式的應(yīng)用
【典例1】（高二上·江蘇宿遷·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．3C．D．4
【典例2】（2034高二·全國）已知，為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是 .
【變式1】（高二上·全國·專題練習(xí)）已知，，則S的最小值是 .
【變式2】（高二上·廣東揭陽·期中）函數(shù)的最小值是 .
題型09求點(diǎn)到直線的距離
【典例1】（高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求a的值（ ）
A．B．C．或D．或
【典例2】（多選）（高二上·河北邯鄲·期末）已知點(diǎn)到直線的距離相等，則斜率的值可以是（ ）
【典例3】（高二上·廣東廣州·期末）若點(diǎn)在直線上，則的最小值為 .
【變式1】（高一下·江蘇泰州·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（高一下·北京順義·階段練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)，使它到直線的距離等于原點(diǎn)到l的距離，則此點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
題型10已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)
【典例1】（·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)到直線l：的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．1C．D．2
【典例2】（多選）（高二上·湖北十堰·期末）點(diǎn)到直線的距離相等，則的值可能為（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【典例3】（高二上·四川南充·階段練習(xí)）已知直線；
(1)證明：直線l過定點(diǎn)；
(2)已知點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線l的距離最大時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．
【變式1】（高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）若點(diǎn)到直線的距離為4，則（ ）
A．2B．3C．5D．7
【變式2】（高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知到直線的距離等于3，則a的值為 .
題型11求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)
【典例1】（高二下·四川雅安·開學(xué)考試）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·吉林長春·期中）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【變式1】（高二上·山東泰安·期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（高二上·廣東佛山·期中）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
題型12求到兩點(diǎn)距離相等的直線方程
【典例1】（高二上·全國·單元測試）已知過點(diǎn)的直線，且點(diǎn)與點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【典例2】（多選）（高二上·江蘇宿遷·期中）已知直線過點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1】（多選）（高二上·湖南衡陽·期末）已知點(diǎn)與到直線的距離相等，則的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（多選）（高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（ ）
A．B．
C．D．
題型13直線關(guān)于直線對(duì)稱
【典例1】（高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）兩直線方程為，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（高三·全國·專題練習(xí)）已知直線l：2x－3y＋1＝0，求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程．
【變式1】（高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線，直線，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（高一下·河北·期末）已知直線，直線，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式3】（高二上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知直線，它關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為 .
題型14平行線間的距離問題
【典例1】（多選）（高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知兩條平行直線，，直線，直線，直線，之間的距離為1，則的值可以是（ ）
A．B．C．12D．14
【典例2】（高二下·上海楊浦·期末）平行直線及之間的距離是 ．
【典例3】（高二上·湖北武漢·期末）若兩條平行直線與之間的距離是，則 ．
【變式1】（高二上·福建福州·期末）已知直線與直線間的距離為2，則（ ）
A．或4B．4C．或6D．或16
【變式2】（高二下·上?！て谀┮阎本€與直線互相平行，則它們之間的距離是 .
【變式3】（高二上·廣東·期末）已知兩條平行線與之間的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為 .
題型15直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線
【典例1】（高二·全國·單元測試）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高一上·全國·專題練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為 .
【變式1】（·陜西寶雞·一模）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是 ．
【變式3】（高一上·寧夏銀川·期末）直線關(guān)于定點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是 ．
題型16將軍飲馬問題
【典例1】（高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（ ）
A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是
B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為
C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是
D．“將軍飲馬”走過的總路程為5
【典例2】（高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式1】（高二上·河北石家莊·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最?。? ）
A．B．C．D．
【變式2】（高二上·四川南充·階段練習(xí)）（1）設(shè)，，，，求證：對(duì)于任意，，.
（2）假設(shè)閬中七里、江南兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)為，，嘉陵江所在的直線的方程為，若在嘉陵江邊上建一座供水站使之到，兩鎮(zhèn)的管道最短，問供水站應(yīng)建在什么地方？此時(shí)為多少？
模塊四 強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）原點(diǎn)到直線間的距離是（ ）
A．B．C．1D．
2．（高二上·廣東深圳·期末）若直線與直線間的距離為，則（ ）
A．17B．C．14D．7
3．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
4．（高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
5．（高二上·北京·期中）已知直線與互相垂直，垂足為，則的值是（ ）
A．24B．0C．20D．
6．（高二上·河南南陽·期末）點(diǎn)為兩條直線和的交點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離最大為（ ）
A．B．C．D．5
7．（高二上·重慶·期末）的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）已知兩條直線的方程分別為與，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則兩條平行直線之間的距離為
C．若，則
D．若，則直線一定相交
10．（高二上·江西九江·期末）已知兩條平行直線.若直線被截得的線段長為，則直線的傾斜角可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
11．（高二下·浙江·期中）若直線與直線平行，則 ，它們之間的距離為 .
12．（高二上·福建莆田·期末）已知直線，若直線不能圍成三角形，寫出一個(gè)符合要求的實(shí)數(shù)的值 ．
四、解答題
13．（高二上·北京朝陽·階段練習(xí)）已知直線l過直線和的交點(diǎn)P.
(1)若直線l過點(diǎn)，求直線l的斜率；
(2)若直線l與直線垂直，求直線l的一般式方程；
(3)若原點(diǎn)到直線l的距離為1，求直線l的方程.
14．（高二上·重慶開州·階段練習(xí)）已知直線，且，
(1)求的值；
(2)直線過點(diǎn)與交于，，求直線的方程.