專題16 解答題壓軸題（第21題）（16區(qū)二模新題速遞）--2024年高考數(shù)學二模試題分類匯編（上海專用）

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選 題 列 表
2024·上海楊浦·二模 2024·上海奉賢·二模
2024·上海浦東·二模 2024·上海青浦·二模
2024·上海黃浦·二模 2024·上海閔行·二模
2024·上海普陀·二模 2024·上海金山·二模
2024·上海徐匯·二模 2024·上海靜安·二模
2024·上海松江·二模 2024·上海長寧·二模
2024·上海嘉定·二模 2024·上海崇明·二模
2024·上海虹口·二模 2024·上海寶山·二模
一、解答題
1．（2024·上海寶山·二模）函數(shù)的表達式為.
(1)若，直線與曲線相切于點，求直線的方程；
(2)函數(shù)的最小正周期是，令，將函數(shù)的零點由小到大依次記為，證明：數(shù)列是嚴格減數(shù)列；
(3)已知定義在上的奇函數(shù)滿足，對任意，當時，都有且.記，.當時，是否存在，使得成立？若存在，求出符合題意的；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)不存在，理由見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）由函數(shù)零點的意義可得，按分段，結合導數(shù)討論函數(shù)值的情況即可得證.
（3）求出函數(shù)的周期及在上的最大值，結合的奇偶性確定的最值情況，推理導出矛盾得解.
【詳解】（1）當時，，求導得，則，
所以直線的方程是.
（2）由，得，則，令，得，
①當時，，此時函數(shù)沒有零點；
②當時，由，知在上嚴格單調(diào)遞增，在嚴格單調(diào)遞減，
又在上嚴格單調(diào)遞增，在嚴格單調(diào)遞減，
因此時，在時有最小值，在時有最大值，
因為，
所以在上沒有交點，即在上沒有零點；
于是函數(shù)的零點滿足，
因為在嚴格減，所以，
又因為，所以數(shù)列是嚴格減數(shù)列.
（3）因為，
所以是以為周期的周期函數(shù)，
因為任意，當時，都有且，
所以當時，在上有唯一的最大值，
由，得，，，
假設存在，使得成立，
即成立，
故當時，取得最大值；
當時，取得最大值，
由，可知 ①時，，
又因為是奇函數(shù)，所以當時，在上有唯一的最小值，
故當時，取得最小值；
當時，取得最小值，
由，可知 ②時，，
若成立，
則由①②得：，即，
因為，，，，此時等式左邊為奇數(shù)，等式右邊為偶數(shù)，所以等式不成立，
因此當時，不存在，使得成立.
【點睛】結論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.
2．（2024·上海徐匯·二模）已知各項均不為0的數(shù)列滿足（是正整數(shù)），，定義函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)記函數(shù)，其中.
（i）證明：對任意，；
（ii）數(shù)列滿足，設為數(shù)列的前項和.數(shù)列的極限的嚴格定義為：若存在一個常數(shù)，使得對任意給定的正實數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)m滿足：當時，恒有成立，則稱為數(shù)列的極限.試根據(jù)以上定義求出數(shù)列的極限.
【答案】(1)證明見解析，；
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）由可變形為，從而得到為等差數(shù)列，然后由累乘法求通項即可；
（2）可先證：，根據(jù)的表達式求導，分析單調(diào)性，得出最小值，即可得證，再證：，即證恒成立，即即可；先求出，然后由，分析單調(diào)性證明進而得到，代入表達式，取可得，再對進行放縮即可求解.
【詳解】（1）由于數(shù)列的各項均不為，
所以，可變形為（是正整數(shù)），
所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，
又，也符合上式，所以.
（2）（i）先證：.
根據(jù)已知，得
由當且僅當時等號成立，
于是在上是嚴格增函數(shù)，故成立.
再證：.
又，記，則，
由，故且僅當時等號成立，
于是在上是嚴格減函數(shù)，
故，于是，證畢.
（ii）由題意知，，
下面研究.將（i）推廣至一般情形.
，
由當且僅當時等號成立，
于是在上是嚴格增函數(shù)，故成立.①
再證：.，
記，則，
由，故當且僅當時等號成立，
于是在上是嚴格減函數(shù)，
故，于是，
所以，，即對任意，.
于是對，，整理得，
令，得，即，故.
（方法一）當時，
故即，
從而.對于任意給定的正實數(shù)，令，
則取為大于且不小于的最小整數(shù)，
則當時，恒成立，因此，數(shù)列的極限為.
（方法二）而對于任意，只需且時，
可得.
故存在，當時，恒有，
因而的極限.
【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的通項、求和，另外考查數(shù)列和函數(shù)的結合以及新定義知識，難度較大，本題主要思維方法：
1.基本方法求通項：定義法，累乘法；
2.不等式的證明，借助構造函數(shù)利用導數(shù)分析單調(diào)性，求最值；
3.新定義考查，主要是結合導數(shù)的最值分析和不等式的放縮思維，對于一般學生要求較高，難度很大.
3．（2024·上海崇明·二模）已知.
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點，求證：；
(3)若，，數(shù)列滿足，．求證：當時，．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）先對函數(shù)求導，結合導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可求切線方程；
（2）由已知結合導數(shù)與單調(diào)性及極值關系先表示，然后結合二次方程根的存在條件即可證明；
（3）結合導數(shù)分析的單調(diào)性，結合已知遞推關系及函數(shù)單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）當時，，
所以曲線在點處的切線方程為.；
（2）由，得：，令，則，
原方程可化為：①，則是方程①的兩個不同的根，
所以，解得，
所以
，
因為，所以，所以；
（3）由題意可知，，所以，
當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，
當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，
因為，所以，，
以此類推，當時，，
又，
所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，
當時，，所以，
所以，即，故.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義在切線方程求解中的應用，還考查了導數(shù)與單調(diào)性在不等式證明中的應用，解題關鍵在于根據(jù)定義域判斷導函數(shù)的正負性，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，得到最值進行比較.
4．（2024·上海普陀·二模）對于函數(shù)，和，，設，若，，且，皆有成立，則稱函數(shù)與“具有性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)，與是否“具有性質(zhì)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)，與“具有性質(zhì)”，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)與“具有性質(zhì)”，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點，，求證.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件，結合性質(zhì)的定義判斷即可；
（2）根據(jù)，，與 “具有性質(zhì)”，可得對，,恒成立，再求出的范圍即可；
（3）根據(jù)條件，得到，再構造函數(shù)，結合條件證明不等式即可．
【詳解】（1）由，且，
得，即，
則，
即 ，
即 ，
則函數(shù)與“具有性質(zhì)”.
（2）由函數(shù)與“具有性質(zhì)”，
得，，且，
即，
整理得，
則對恒成立，
又，，
則，，即，
則，即所求的的取值范圍為.
（3）由函數(shù)在有兩個零點，得，
又函數(shù)與“具有性質(zhì)”，
則，
即，
即，
令，即，
記，即，
因為，
當時，；當時，，
所以函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
要證，即證，
不妨設，即證，
只需證，
即證，
設，即，
因為，
所以函數(shù)在是減函數(shù)，且，
又，則，
即，則得證，
故 .
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用不等式恒成立求出參數(shù)的取值范圍，關鍵是利用極值點偏移構造函數(shù)證明不等式．
5．（2024·上海黃浦·二模）若函數(shù)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點為函數(shù)的圖象的一對“同切點”.
(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；
(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；
(3)設，的零點為，，求證：“存在，使得點與是函數(shù)的圖象的一對‘同切點’”的充要條件是“是數(shù)列中的項”.
【答案】(1)函數(shù)的圖象存在“自公切線”； 函數(shù)的圖象不存在“自公切線”，理由見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）由直線切的圖象于點判斷，由導數(shù)確定意見性判斷.
（2）利用導數(shù)探討單調(diào)性結合零點存在性定理推理即得唯一零點，再假定存在“自公切線”，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，證明在上無解即得.
（3）求出在點與處的切線方程，利用（2）的結論，結合誘導公式，及充要條件的證明方法推理即得.
【詳解】（1）顯然直線切的圖象于點，
直線是的圖象的一條“自公切線”，因此函數(shù)的圖象存在“自公切線”；
對于是嚴格減函數(shù)，則在不同點處的切線斜率不同，
所以函數(shù)的圖象不存在“自公切線”.
（2）由恒成立，且僅當時，
則是上的嚴格增函數(shù)，可得它至多有一個零點，
令，
由的圖象是連續(xù)曲線，且，
因此在上存在零點，即在上存在零點，所以有唯一零點；
假設的圖象存在“自公切線”，則存在且，
使得的圖象在與處的切線重合，即，有，不妨設，
切線，，
有相同截距，即，而，
則，即，
則有，即，令，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此當時，，
即在上無解，
所以的圖象不存在“自公切線”.
（3）對給定的，由（2）知有唯一零點，即唯一確定，
又在點處的切線方程為，即，
在點處的切線方程為，
若存在，使得點與是函數(shù)圖象的一對“同切點”，
則，又，則，
所以，且，從而存在，
使得，代入，可得，則，即是數(shù)列中的項；
反之，若是數(shù)列中的項，則存在，使得，即，
由（2）中的嚴格增，可知嚴格增，又且，可知，
令，則且，
即，可得，所以存在，
使得點與是函數(shù)的圖象的一對“同切點”.
所以存在，使得點與是函數(shù)圖象的一對“同切點”的充要條件是“是數(shù)列中的項”.
【點睛】結論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.
6．（2024·上海奉賢·二模）已知定義域為的函數(shù)，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為的導函數(shù).
(1)求函數(shù)在點的切線方程；
(2)已知，當與滿足什么條件時，存在非零實數(shù)，對任意的實數(shù)使得恒成立？
(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足.試判斷對任意的實數(shù)是否恒成立，請說明理由.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)恒成立，理由見解析
【分析】（1）求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）先求導，再根據(jù)列出方程組，進而可得出結論；
（3）由函數(shù)是奇函數(shù)，可得是偶函數(shù)，再進一步求出導函數(shù)的周期性，再整理即可得出結論.
【詳解】（1）由題可知，，
所以切線的斜率為，
且，
所以函數(shù)在點的切線方程為，即；
（2）由題可知，
又因為定義域上對任意的實數(shù)滿足，
所以，即，
當且時，，
當時，，
當時，；
（3）因為函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，所以，
所以，所以，所以是偶函數(shù)，
因為，所以，
即，即，
因為，所以，即，
所以是周期為的函數(shù)，
所以，
所以.
【點睛】思路點睛：利用導數(shù)求函數(shù)在其上一點處的切線方程的基本步驟如下：
（1）對函數(shù)求導得；
（2）計算切線的斜率；
（3）利用點斜式寫出切線方程.
7．（2024·上海閔行·二模）已知定義在上的函數(shù)的表達式為，其所有的零點按從小到大的順序組成數(shù)列（）.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)求證：函數(shù)在區(qū)間（）上有且僅有一個零點；
(3)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求得的導數(shù)，判斷的單調(diào)性，可得所求值域；
（2）討論為奇數(shù)，或偶數(shù)時，的單調(diào)性，結合函數(shù)零點存在定理，可得證明；
（3）由（2）可知函數(shù)在（）上且僅有一個零點，再由零點存在定理、以及正切函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可得證明.
【詳解】（1）由，
當時，，即函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，
且，，
所以在區(qū)間上的值域為.
（2）當時，
①當是偶數(shù)時，，
函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；
②當是奇數(shù)時，，
函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)；
且，故，
所以由零點存在定理可知，
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點.
（3）由（2）可知函數(shù)在上有且僅有一個零點，
且滿足，即（幾何意義：是與交點的橫坐標）
又因為，故，
所以由零點存在性定理可知，
函數(shù)在上有且僅有一個零點，
于是，
①因為，得
所以，即；
（或者
）
② 因為
由（1）可知，當時，有
故，所以；
由①②可知.
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問，借助在（）上且僅有一個零點，利用正切函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)求解.
8．（2024·上海松江·二模）已知函數(shù)（為常數(shù)），記.
(1)若函數(shù)在處的切線過原點，求實數(shù)的值；
(2)對于正實數(shù)，求證：；
(3)當時，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，結合導數(shù)的幾何意義，求得切線方程，將原點代入切線方程，即可求解；
（2）設函數(shù)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值為，得到，即可得證；
（3）根據(jù)題意，得到，結合，把轉化為，設，利用導數(shù)求得的單調(diào)性和最大值，即可得證.
【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，且，
可得，則，
所以，又因為，
所以在處的切線方程為，
又因為函數(shù)在處的切線過原點，可得，
解得.
（2）解：設函數(shù)，
可得，其中，
則，
令，可得，即，即，解得，
令，可得，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得的最小值為，所以，
又由，
所以.
（3）解：當時，即證，
由于，所以，只需證，
令，只需證明，
又由，
因為，可得，令，解得；令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，也時最大值，所以，
即，即時，不等式恒成立.
【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
9．（2024·上海靜安·二模）已知，記（且）．
(1)當（是自然對數(shù)的底）時，試討論函數(shù)的單調(diào)性和最值；
(2)試討論函數(shù)的奇偶性；
(3)拓展與探究：
① 當在什么范圍取值時，函數(shù)的圖象在軸上存在對稱中心？請說明理由；
②請?zhí)岢龊瘮?shù)的一個新性質(zhì)，并用數(shù)學符號語言表達出來．（不必證明）
【答案】(1)詳見解析；
(2)詳見解析；
(3)①當時，函數(shù)有對稱中心，理由見解析；②答案見解析.
【分析】（1）當時，求得，分和，兩種情況討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最值；
（2）根據(jù)題意，分別結合和，列出方程求得的值，即可得到結論；
（3）根據(jù)題意，得到當時，函數(shù)有對稱中心，且時，對于任意的，都有，并且．
【詳解】（1）解：當時，函數(shù) ，可得，
若時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上無最值；
若時，令，可得，
當時，，函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)；
當時，，函數(shù)在上為嚴格增函數(shù)，
所以，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，無最大值．
綜上：當時，函數(shù)在上無最值；當時，最小值為，無最大值．
（2）解：因為“為偶函數(shù)”“對于任意的，都有”
即對于任意的，都有，并且；
即對于任意的，，可得，
所以是為偶函數(shù)的充要條件．
因為“為奇函數(shù)”“對于任意的，都有”，
即對于任意的，都有，并且，
即對于任意的，，可得，
所以是為奇函數(shù)的充要條件，
當時，是非奇非偶函數(shù).
（3）解：①當時，函數(shù)有對稱中心，
當時，對于任意的，都有，并且．
證明：當時，令，解得為函數(shù)的零點，
由，
可得；
② 答案1：當時，函數(shù)有對稱軸．
即當時，對于任意的，都有，并且，
參考證明：當時，由，
可得，
答案2：當時，的圖象關于y軸對稱，
即對于任意的，都有，
答案3：當時，函數(shù)的零點為，即
【點睛】解決函數(shù)極值、最值綜合問題的策略：
1、求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大?。?br>2、求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較才能下結論；
3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值.
10．（2024·上海楊浦·二模）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個不同的實數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關函數(shù)對.
(1)判斷函數(shù)與是否為相關函數(shù)對，并說明理由；
(2)已知與為相關函數(shù)對，求實數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)與為相關函數(shù)對，且存在正實數(shù)，對任意實數(shù)，均有.求證：存在實數(shù)，使得對任意，均有.
【答案】(1)是，理由見解析；
(2)
(3)證明見解析；
【分析】（1）由與不為相關函數(shù)對，得到且，從而若為相關函數(shù)，由成立求解；
（2）根據(jù)與為相關函數(shù)對，由成立求解；
（3）采用反證法，假設對任意均存在，均有，根據(jù)與為相關函數(shù)對，分，，得出矛盾即可.
【詳解】（1）解：若與不為相關函數(shù)對，則且，
則，所以只要即可，
當，時，
，
所以函數(shù)與是相關函數(shù)對；
（2）因為與為相關函數(shù)對，
所以，
令，，當時，；當時，，
所以是極小值點，，
所以，
所以；
（3）假設對任意均存在，
均有，
則取，，，使得，
對任意，，有，，
又函數(shù)與為相關函數(shù)對，
則①若，則；
②若，則，
由①②知：，由，將其分為很多個子區(qū)間，
如，，，……
則以上每個區(qū)間至多包含一個，矛盾，假設不成立，
故存在實數(shù)，使得對任意，均有．
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問關鍵是由假設，，根據(jù)函數(shù)與為相關函數(shù)對，分別由和，構造，找出矛盾而得證.
11．（2024·上海虹口·二模）若函數(shù)滿足：對任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
(1)設，，分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說明理由；
(2)設函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)具有性質(zhì)，且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù).
【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）取特殊值判斷，利用所給定義判斷；
（2）首先判斷的奇偶性，依題意可得是嚴格增函數(shù)，則恒成立，再分、、三種情況討論.
（3）依題意只要證明對任意實數(shù)，，對任意實數(shù)，設，則由具有性質(zhì)知：當時，①，設，分、兩種情況討論，結合零點存在性定理證明即可.
【詳解】（1）不具有性質(zhì)，理由如下：
取，有.
具有性質(zhì)，理由如下：
對任意，，
有.
（2）函數(shù)定義域為，
又，
所以是奇函數(shù)，
函數(shù)具有性質(zhì)，故對，，
都有，
又為奇函數(shù)，
故，即是嚴格增函數(shù)，恒成立.
若，則，解得；
若，則恒成立；
若，則，解得；
綜合上述，實數(shù)的取值范圍為.
（3）因函數(shù)的定義域為，
要證明是奇函數(shù)，
只要證明對任意實數(shù)，即可.
對任意實數(shù)，設，則由具有性質(zhì)知：
當時， ①，
設，當，即時，由①得，
即當時②，
當，即時，由①得，
即當時③，
于是由曲線的連續(xù)性，函數(shù)在上存在零點，
即 ④ ，
由函數(shù)在上嚴格增，知：函數(shù)在上嚴格增；
所以由②知，由③知，故；
故由④得，
即對任意實數(shù)，均有，
因此，函數(shù)是奇函數(shù).
【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是理解性質(zhì)的定義，第二問結合函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的單調(diào)性，從而轉化為恒成立問題.
12．（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)與有相同的定義域．若存在常數(shù)()，使得對于任意的，都存在，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)關于的“函數(shù)”．
(1)若，，試判斷函數(shù)是否是關于的“函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)與均存在最大值與最小值，且函數(shù)是關于的“函數(shù)”，又是關于的“函數(shù)”，證明：；
(3)已知，，其定義域均為．給定正實數(shù)，若存在唯一的，使得是關于的“函數(shù)”，求的所有可能值．
【答案】(1)不是，理由見解析
(2)證明見解析
(3)的所有可能值為或
【分析】（1）結合題目所給定義分別計算即可得；
（2）結合定義可得，，即可得解；
（3）記集合，，結合定義可得，再分、、討論即可得.
【詳解】（1）不是關于的“函數(shù)”．
解法一：當時，，所以不存在，使得
解法二：因為函數(shù)()的值域為，比如取，則，
不存在，使得；
（2）設．
由題意，存在，使得．
因為函數(shù)是關于的“函數(shù)”，
所以存在，滿足，
從而．
同理，由是關于的“函數(shù)”，
可得，
綜上，；
（3）記集合，．
由是關于的“函數(shù)”，得，
①當時， ，，
從而，解得，
因唯一，令，解得(舍)或(舍)；
②當時，，，
從而，解得，
因唯一，令，解得，符合題意；
③當時，，，
從而，解得，
因唯一，令，解得，符合題意；
綜上，的所有可能值為或．
【點睛】關鍵點點睛：最后一問關鍵點在于借助集合，，得到，從而對、、討論.
13．（2024·上海嘉定·二模）已知常數(shù)，設，
(1)若，求函數(shù)的最小值；
(2)是否存在，且，，依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請說明理由．
(3)求證：“”是“對任意，，都有”的充要條件．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導分析的符號，的單調(diào)性，最值，即可得出答案．
（2）根據(jù)題意可得，，則，分兩種情況：當時，當時，討論是否滿足條件，即可得出答案．
（3）由，借助換元法，令，可得，分別證明充分性和必要性，即可得出答案．
【詳解】（1）當時，，則，
在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
所以；
（2）若、、依次成等比數(shù)列，則，
若、、成等差數(shù)列，則，
所以，
所以，
當時，成立，
當時，則，聯(lián)立，得，
，即，
所以，與矛盾，
所以時，存在，，滿足條件，
當時，不存在，，滿足條件；
（3），則，
，
所以，
又
，
令，
上式
，
令，則恒成立，單調(diào)遞減，
所以，
充分性：若，則，則恒成立，
必要性：要使得式恒成立，則恒成立，即．
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于對“對任意，，都有”的轉化，借助換元法，可得其等價為“對任意，，都有，其中”.
14．（2024·上海青浦·二模）若無窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．
(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
(3)設是無窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．
【答案】(1)是周期為的周期數(shù)列，理由見解析
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題設定義，利用的周期，即可得出結果；
（2）分與兩種情況討論，當，易得到是周期為1的周期數(shù)列，當時，構造，則，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，可得出是嚴格增（或減）數(shù)列，從而可得出結果；
（3）根據(jù)條件，利用充要條件的證明方法，即可證明結果.
【詳解】（1）因為，
所以是周期為的周期數(shù)列．
（2）①當時，，，
所以當時，是周期為1的周期數(shù)列，
②當時，記，則，
，當且僅當時等號成立，
即，所以在上嚴格增，
若，則，即，進而可得，即是嚴格增數(shù)列，不是周期數(shù)列；
同理，若，可得是嚴格減數(shù)列，不是周期數(shù)列．
綜上，當時，是周期為1的周期數(shù)列；當時，不是周期數(shù)列．
（3）必要性：
若存在，使得是周期數(shù)列，設的周期為，
則，所以是周期為的周期數(shù)列，
充分性：
若是周期數(shù)列，設它的周期為，記，則
，是關于x的連續(xù)函數(shù)；
，是關于x的連續(xù)函數(shù)；
…
，是關于x的連續(xù)函數(shù)；
，
令，則是連續(xù)函數(shù)，
且，，
所以存在零點，于是，
取，則，
從而，
，
……
一般地，對任何正整數(shù)n都成立，即是周期為T的周期數(shù)列．
（說明：關于函數(shù)連續(xù)性的說明不作要求）
【點睛】方法點晴：對于數(shù)列的新定義問題，解決問題的關鍵在于準確理解定義，并結合定義進行判斷或轉化條件.
15．（2024·上海長寧·二模）設函數(shù)的定義域為，若存在實數(shù)，使得對于任意，都有，則稱函數(shù)有上界，實數(shù)的最小值為函數(shù)的上確界；記集合{在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)}；
(1)求函數(shù)的上確界；
(2)若，求的最大值；
(3)設函數(shù)一定義域為；若，且有上界，求證：，且存在函數(shù)，它的上確界為0；
【答案】(1)2
(2)4
(3)證明見解析
【分析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性求出值域再根據(jù)題意可得；
（2）求出的表達式，求導，再利用在上嚴格遞增得到導函數(shù)大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；
（3）假設存在，由單調(diào)性可得，再取，且可得，推出①②互相矛盾，然后令，根據(jù)題意求出值域最后確定上確界即可.
【詳解】（1）因為函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞減，
所以函數(shù)的值域為，
所以函數(shù)的上確界為2.
（2），，
因為記集合{在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)}，
所以恒成立，
因為，當且僅當時取等號，所以，
所以的最大值為4.
（3）證明：因為函數(shù)有上界，設，
假設存在，使得，
設，
因為，所以在上嚴格遞增，進而，
得，
取，且，
由于，得到，①
由，得，②
顯然①②兩式矛盾，所以假設不成立，
即對任意，均有，
令，則，
因為當時，，
所以在上嚴格遞增，，
因為的值域為，
所以函數(shù)的上確界為零.
【點睛】關鍵點點睛：
（1）第二問的關鍵是導函數(shù)大于等于零恒成立，用基本不等式求解；
（2）第三問關鍵是根據(jù)不等式的結構能夠想到取，再得到與當，得到矛盾.
16．（2024·上?！ざ＃┕潭楁湹膬啥?，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當時，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關系：；②兩角和公式：，③導數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；
(2)當時，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；
(3)無窮數(shù)列滿足，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）類比，寫出平方關系，和角關系和導數(shù)關系，并進行證明；
（2）構造函數(shù)，，求導，分和兩種情況，結合基本不等式，隱零點，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到答案；
（3）當時，利用數(shù)學歸納法證得排除該可能；當，同理證得，從而利用換元法即可得解.
【詳解】（1）平方關系：；
和角公式：；
導數(shù)：．
理由如下：平方關系，
；
和角公式：，
故；
導數(shù)：，；
（2）構造函數(shù)，，
由（1）可知，
①當時，由，
又因為，故，等號不成立，
所以，故為嚴格增函數(shù)，
此時，故對任意，恒成立，滿足題意；
②當時，令，
則，可知是嚴格增函數(shù)，
由與可知，存在唯一，使得，
故當時，，則在上為嚴格減函數(shù)，
故對任意，，即，矛盾；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．
（3）當時，存在，使得，
由數(shù)學歸納法證明：，證明如下：
①當時，成立，
②假設當（為正整數(shù)）時，，
則成立.
綜上：.
所以，有，即.
當時， ，
而函數(shù)的值域為，
則對于任意大于1的實數(shù)，存在不為0的實數(shù)，使得，
類比余弦二倍角公式，猜測.
證明如下：
類比時的數(shù)學歸納法，設，
易證，，，，，
所以若，
設，則，解得：或，即，
所以，于是.
綜上：存在實數(shù)使得成立.
【點睛】思路點睛：對新定義的題型要注意一下幾點：
（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關鍵點
（2）利用好定義所給的表達式以及相關的條件
（3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.