決戰(zhàn)2024高考押題卷 數(shù)學(xué)（上海卷02）

這是一份決戰(zhàn)2024高考押題卷 數(shù)學(xué)（上海卷02），共22頁。
數(shù) 學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、填空題（本大題滿分54分，本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分）
1．已知集合，，則 ．
2．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則 .
3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，則它的第7項(xiàng)是 ，a2020-a2019= .
4．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為
5．如圖所示，該分布的0.25分位數(shù)為 ．
6．定義在上的奇函數(shù)滿足，并且當(dāng)時(shí)，則
7．設(shè)有12件藥品，其中4件是次品，現(xiàn)進(jìn)行兩次無放回抽樣，即每次抽一件不放回去，則兩次都抽到正品的概率是 ．
8．已知圓與圓相切，則 .
9．已知不等式的解集是 .
10．交通錐，又稱錐形交通路標(biāo)，如圖1，常用于進(jìn)行工程、發(fā)生事故時(shí)提醒行人或車輛，以保證工程人員及道路使用者的人身安全等．某數(shù)學(xué)課外興趣小組對(duì)一個(gè)去掉底座的圓錐形交通錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)交通錐筒首次轉(zhuǎn)回到原位置時(shí)，交通錐筒本身恰好滾動(dòng)了3周．若將該交通錐筒近似看成圓錐，將地面近似看成平面，測(cè)得該圓錐的底面半徑為cm，則該圓錐的側(cè)面積為 ．（交通錐筒的厚度忽略不計(jì)）．

11．過雙曲線右焦點(diǎn)作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點(diǎn)．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為 .
12．已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則的取值范圍為 .
二、選擇題（本大題滿分18分，本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分.）
13．已知直線，直線，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
14．已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（ ）
A．2B．1C．D．4
15．如圖是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國7歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國7歲以下女童身高（長(zhǎng)）的中位數(shù)散點(diǎn)圖，下列可近似刻畫身高y隨年齡x變化規(guī)律的函數(shù)模型是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿足，則（ ）
A．2020B．C．2D．
三、解答題（本大題78分，本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.）
17．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過的平面交平面于．

(1)證明：平面；
(2)若平面平面，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.
18．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，．
(1)求角，并計(jì)算的值；
(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．
19．某微信群群主為了了解微信隨機(jī)紅包的金額拆分機(jī)制，統(tǒng)計(jì)了本群最近一周內(nèi)隨機(jī)紅包（假設(shè)每個(gè)紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)紅包金額的平均值與眾數(shù)；
(2)群主預(yù)告今天晚上7點(diǎn)將有3個(gè)隨機(jī)紅包，每個(gè)紅包的總金額均相等且每個(gè)人都能搶到紅包.小明是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率.
(3)在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，每個(gè)紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包.第一個(gè)紅包由群主發(fā).根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗(yàn)，群主自己發(fā)紅包時(shí)，搶到“手氣最佳”的概率為；其他成員發(fā)紅包時(shí)，群主搶到“手氣最佳”的概率為.設(shè)前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，第輪由群主發(fā)紅包的概率為.求及的期望.
20．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓C交于M?N兩點(diǎn)，（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），與y軸交于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A為橢圓C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，求的周長(zhǎng)；
(2)當(dāng)且直線l過點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求證：為定值，并求出該值；
(3)若橢圓C離心率為，當(dāng)k為何值時(shí)，恒為定值，并求此時(shí)三角形面積的最大值.
21．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn).依此類推，稱得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”.
(1)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；
(2)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；
(3)若，則對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，是否存在，使得函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案：
1．
【分析】求出集合、，再根據(jù)交集的定義可得．
【詳解】由題意，，，
．
故答案為：
2．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，化簡(jiǎn)，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>故可得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的求解，屬基礎(chǔ)題.
3． 27 4
【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式直接求解即可.
【詳解】，，
.
故答案為：27；4.
4．14
【解析】由二項(xiàng)式定理寫出的通向，求出通項(xiàng)中，即可求系數(shù).
【詳解】解： 展開式中的第 項(xiàng)為，則
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.
故答案為：14.
【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理.做題關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式.
5．
【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義和正態(tài)分布的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】且對(duì)稱軸為軸，
，
該分布的0.25分位數(shù)為．
故答案為：．
6．
【解析】根據(jù)所給表達(dá)式，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可確定函數(shù)對(duì)稱軸及周期性，進(jìn)而由的解析式求得的值.
【詳解】滿足，
由函數(shù)對(duì)稱性可知關(guān)于對(duì)稱，
且令，代入可得，
由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以
令，代入可得，
所以是以4為周期的周期函數(shù)，
則
當(dāng)時(shí)，
所以，
所以，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，周期函數(shù)的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題.
7．
【分析】利用古典概型的概率公式求解．
【詳解】?jī)纱味汲榈秸返母怕蕿?
故答案為：．
8．1或3##3或1
【分析】由已知可得兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論，求出的值即可．
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
其圓心距．
若兩圓內(nèi)切，則有，即，可得或（舍）；
若兩圓外切，則有，即，解可得．
故答案為：1或3．
9．
【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、絕對(duì)值不等式的解法求得不等式的解集.
【詳解】，，
，或，
解得或，
所以不等式不等式的解集是.
故答案為：
10．
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)周長(zhǎng)的關(guān)系得到方程，解得答案；根據(jù)面積的關(guān)系得到方程，解得答案.
【詳解】解法一：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則圓錐繞頂點(diǎn)S滾動(dòng)所形成的圓的半徑為l，周長(zhǎng)為．
因?yàn)閳A錐的底面半徑為，所以該圓錐的底面周長(zhǎng)為，
故，解得，
所以該圓錐的側(cè)面積為．
解法二：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則圓錐繞頂點(diǎn)S滾動(dòng)所形成的圓的半徑為l，面積為．
因?yàn)閳A錐的底面半徑為，所以該圓錐的側(cè)面積為，
故，解得，
所以該圓錐的側(cè)面積為．
故答案為：.
11．或2##2或
【分析】若在軸的同側(cè)，不妨設(shè)在第一象限，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，過分別作于，于，由得四邊形為正方形，再由已知條件可得，從而可求出離心率，若在軸的兩側(cè)，不妨設(shè)在第一象限，如圖，由題意可得，從而可得，從而可求出離心率
【詳解】若在軸的同側(cè)，不妨設(shè)在第一象限，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，則在的平分線上，過分別作于，于，由得四邊形為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，得，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>所以，從而可得
若在軸的兩側(cè)，不妨設(shè)在第一象限，如圖，易得，，，
所以的內(nèi)切圓半徑為，所以，
因?yàn)椋缘茫?br>所以，所以，
所以
故答案為：或2
12．
【分析】將正四面體放在正方體內(nèi)，以正方體的中心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求的取值范圍.
【詳解】
如圖，將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵正四面體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的棱長(zhǎng)為，正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，則，
則，，
設(shè)，則，則，
∵，，
∴.
故答案為：.
13．C
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合直線平行的等價(jià)條件進(jìn)行判斷即可.
【詳解】若，則兩直線方程分別為和，
滿足兩直線平行，即充分性成立，
若，
當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，
此時(shí)兩直線不平行，不滿足條件.
當(dāng)時(shí)，若兩直線平行則，
由得，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，不滿足條件.
則，即，
則“”是“”的充要條件，
故選：C
14．A
【分析】由題設(shè)有，構(gòu)造，根據(jù)其奇偶性、單調(diào)性列不等式組得，應(yīng)用基本不等式求目標(biāo)式的最小值.
【詳解】
，
設(shè)，則為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
所以，故，則，
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以的最小值為2．
故選：A
15．B
【分析】根據(jù)圖象是否是線性增長(zhǎng)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD，再由選項(xiàng)B中函數(shù)的性質(zhì)判斷后可得．
【詳解】A選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖知身高y隨時(shí)間x變化不是線性增長(zhǎng)，故A錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)模型中y隨x增長(zhǎng)越來越快，與圖象不符合；D選項(xiàng)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型在時(shí)沒有意義；B選項(xiàng)符合散點(diǎn)圖中y隨x增長(zhǎng)越來越慢，且在時(shí)有意義，
故選：B．
16．A
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，利用倒序相加法，求和即可．
【詳解】等比數(shù)列滿足，則，
函數(shù)，
，
所以，
所以．
故選：A．
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明，，繼而可證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；
（2）先證明平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，過的平面交平面于，
即平面，平面平面，
所以，又，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面平面，所以平面，
四邊形為菱形，則，平面平面，
故平面，又平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，
因?yàn)?，所以為等邊三角?
連接交于O，連接，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>又平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)樗睦忮F的體積為，即，
又，所以，所以，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即
令，則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，
令，解得，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，夾角范圍為大于等于小于等于，
所以，
故平面與平面的夾角的余弦值為.
18．(1)或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)同角的平方關(guān)系可得，求出B，進(jìn)而求出即可；
（2）由題意可得，求出C的范圍，根據(jù)正弦定理可得，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算得（），結(jié)合的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由，得，則，
又，所以或.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
（2）若為銳角三角形，則，
有，解得.
由正弦定理，得，則，
所以
，
其中，又，所以，
則，故當(dāng)時(shí)，取到最大值1，
所以的最大值為.
19．(1)平均值9.05，眾數(shù)2.5
(2)；
(3)，
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的信息和平均值計(jì)算的規(guī)定列式計(jì)算即得，眾數(shù)可根據(jù)定義從圖中直接讀取；
（2）先由圖中信息求得每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率，因3次搶紅包相互獨(dú)立，且每次搶只有搶到10元以上或以下兩種情況，故滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，運(yùn)用其概率公式計(jì)算即得；
（3）由題意分析得到與的遞推式，再根據(jù)其特征構(gòu)造等比數(shù)列，求得的表達(dá)式；再設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，分析知服從兩點(diǎn)分布，由此求得，因前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，則，于是求即是求數(shù)列的前項(xiàng)和，計(jì)算即得.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得,紅包金額的平均值為:
；
眾數(shù)為最高矩形的中點(diǎn)坐標(biāo)，即為2.5；
（2）由題可知，每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率為，且3次紅包相互獨(dú)立，
由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，至少兩次搶到10元以上金額的概率為；
（3）由題意，，，
由，又，
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.
∴
設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，
故服從兩點(diǎn)分布：，.，
∴.
由已知，則
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類題目的關(guān)鍵在于弄清隨機(jī)變量的特征、要求，判斷其屬于哪種分布，才能運(yùn)用公式推導(dǎo)計(jì)算；其次，對(duì)于常見的遞推公式，如，要掌握構(gòu)造等比數(shù)列的方法過程，才能運(yùn)用相關(guān)通項(xiàng)公式和求和公式解決問題.
20．(1)
(2)證明見解析，
(3)，最大值為1
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求解三角形周長(zhǎng)；
（2）聯(lián)立與，得到兩根之和兩根之積，由得到，結(jié)合兩根之和，兩根之積求出答案；
（3）先由離心率得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，結(jié)合為定值得到，并求出此時(shí)，和點(diǎn)到直線的距離，利用基本不等式得到.
【詳解】（1）時(shí)，橢圓方程為，故且，
由橢圓定義可得，的周長(zhǎng)為；
（2）時(shí)，橢圓方程為，故聯(lián)立與可得，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以
（3）由題意得，解得，
橢圓方程，聯(lián)立，
消元得，
當(dāng)，即時(shí)，
則，
則
，
當(dāng)為定值時(shí)，即與無關(guān)，故，得，
此時(shí)，
又點(diǎn)到直線的距離，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)成立，所以面積的最大值為1.
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
21．(1)
(2)證明見解析，公比為
(3)存在
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)“數(shù)列”的定義即可得解；
（2）由題意可得，再根據(jù)結(jié)合等比數(shù)列的定義化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；
（3）由題意可得，設(shè)特征函數(shù)為，利用蛛網(wǎng)模型分和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由，得，
因?yàn)?，則，
所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，
令，則，
所以；
（2）由，得，
于是曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
令，則，
由題意得到，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（3）由，得，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
令，則，
設(shè)特征函數(shù)為，則，
情況1：當(dāng)時(shí)，則，
此時(shí)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
令，解得，又因，故此時(shí)方程無解，
當(dāng)時(shí)，，所以不能成周期數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，所以不能成周期數(shù)列；
故當(dāng)時(shí)，不存在，使得函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”為周期數(shù)列；
情況2：當(dāng)時(shí)，，
令，得或，
令，得或或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
而，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
，，
令，方程無解，
令，解得
當(dāng)時(shí)，，，
所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，且與符號(hào)正負(fù)交替，
假設(shè)存在周期數(shù)列，則等價(jià)于存在，使得，
若為偶數(shù)，中每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子都是同號(hào)的，
所以不可能為，所以數(shù)列不可能為周期數(shù)列；
若為奇數(shù)，中，
每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子都與是同號(hào)的，
所以不可能為，所以數(shù)列不可能為周期數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，
可得得到起初是正負(fù)交替，但是以后會(huì)一直為正或負(fù)，所以不能成周期數(shù)列，
故當(dāng)時(shí)，有滿足條件，使得數(shù)列成周期為的周期數(shù)列，
此時(shí)，
綜上所述，存在滿足題意.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：等比數(shù)列的兩種判定方法：
（1）定義法：（常數(shù)）數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）等差中項(xiàng)法：數(shù)列為等比數(shù)列.