滬教版（五四制）（2024）八年級(jí)上冊(cè)16．3 二次根式的運(yùn)算精品第3課時(shí)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

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1．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？计谥校┓帜赣欣砘? ．
【答案】
【詳解】解：．
2．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┓帜赣欣砘? ．
【答案】
【詳解】解：，
3．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎?jiǎng)t的倒數(shù)為 ．
【答案】
【詳解】∵，
∴的倒數(shù)為
，
4．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算：．
【答案】
【詳解】解：
．
5.計(jì)算：．
【答案】．
【詳解】解：原式，
，
，
，
．
6．把下列各式分母有理化．
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）
（2）
（3）
7．把下列各式分母有理化．
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：；
（2）．
考查題型二 解有關(guān)二次根式的方程與不等式
8．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┎坏仁降慕饧? ．
【答案】
【詳解】解：，
移項(xiàng)，得：，
合并同類項(xiàng)，得：，
∵
∴系數(shù)化1，變號(hào)，得：，
分母有理化，得：，
即不等式的解集是，
9．（2022秋·上海虹口·八年級(jí)校考期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【詳解】解：
移項(xiàng)，可得：，
合并同類項(xiàng)，可得：，
系數(shù)化1，可得：，
分母有理化，可得：，
∴不等式的解集是．
10．（2023秋·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)校考期末）不等式的解集是 .
【答案】
【詳解】解： ，
即
∵，
∴
∴；
11．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？计谥校┙獠坏仁剑旱慕饧? ．
【答案】
【詳解】解：，
，
，
，
即，
12．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┎坏仁降慕饧? ．
【答案】．
【詳解】解：，
，
，
∵，
∴，
，
．
13．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┙獠坏仁剑?．
【答案】
【詳解】不等式 ，
移項(xiàng)得： ，
合并得： ，
解得： ．
14．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）解不等式：
【答案】
【詳解】
，
即：．
15．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)校考期中）解不等式：．
【答案】
【詳解】解：，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
16．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程：．
【答案】
【詳解】解：
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，
未知數(shù)系數(shù)化為1得：．
考查題型三 分母有理化的應(yīng)用
17．（2021秋·上海·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較大小： （填上“＞”或“＜”）
【答案】＞
【詳解】解：∵，
又∵，
∴．
18．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┰O(shè)為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，則的值是 ．
【答案】
【詳解】解：∵，為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，
∴，，
∴，
19．設(shè)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，試求的值．
【答案】10
【詳解】解：，又，
，
，，
．
提升練
20．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式，
21．（2022·上海徐匯·八年級(jí)期末）已知函數(shù)y＝，當(dāng)x＝時(shí)，y＝_____．
【答案】2+
【分析】把自變量x 的值代入函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)x＝時(shí)，
函數(shù)y＝＝＝＝2+，
故答案為：2+．
【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值及分母有理化，理解求函數(shù)值的方法及分母有理化是解題關(guān)鍵．
22．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）先化簡(jiǎn)：，再求當(dāng)時(shí)的值.
【答案】xy；1
【詳解】
=
=
=，
當(dāng)時(shí)，原式==1.
23．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期中）已知且，請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值：
【答案】
【詳解】解：


∵
∴
∴


24．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，，求的值．
【答案】12
【詳解】解：，
，
25．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列各式的計(jì)算過(guò)程，尋找規(guī)律．
；
；
；
…
利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問(wèn)題：
(1)化簡(jiǎn)：__________（為正整數(shù)）；
(2)計(jì)算：．
【答案】(1)
(2)2022
【詳解】（1）
（2）原式
．
26．已知，求出的值．
【答案】
【詳解】解：，
，即
，即．
化簡(jiǎn)，得：，
．
27．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知 ，，求代數(shù)式 的值．
【答案】
【詳解】，
，
原式
28．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過(guò)程．
例：化簡(jiǎn)．
解：．
請(qǐng)回答下列問(wèn)題．
(1)歸納：請(qǐng)直接寫(xiě)出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．
(2)應(yīng)用：化簡(jiǎn)．
(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【詳解】（1）解：①；
②；
（2）
；
（3）
．
29．（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）像，，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
(1)化簡(jiǎn)：；
(2)計(jì)算：；
(3)比較與的大小，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：∵
∴，
30．（2023春·黑龍江牡丹江·八年級(jí)?？计谥校?）觀察下列各式的特點(diǎn)：
，
>，
，
，
…
根據(jù)以上規(guī)律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）觀察下列式子的化簡(jiǎn)過(guò)程：
，
，
＝，
…
根據(jù)觀察，請(qǐng)寫(xiě)出式子（n≥2，且n是正整數(shù)）的化簡(jiǎn)過(guò)程．
（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計(jì)算下面的算式：+||+???+||．
【答案】（1）＞；（2）見(jiàn)解析；（3）
【詳解】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案為：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
31．（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解決如下問(wèn)題：
(1)分母有理化：．
(2)計(jì)算：．
(3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】(1)﹣1
(2)44
(3)3
【詳解】（1）解：；
（2）解：∵，
，
，
…
，
，
=，
=，
=45-1，
=44；
（3）解：a＝，
∴，
∴，
∴．
32．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）材料一：有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mm＝，則將a±2將變成m2+n2±2n，即變成（m±n）2開(kāi)方，從而使得化簡(jiǎn)．
例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±：
材料二：在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰到如，，．這樣的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．
還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝＝＝＝﹣1（四）；
請(qǐng)根據(jù)材料解答下列問(wèn)題：
(1)= ；= ．
(2)化簡(jiǎn)： ++…+．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）解：∵，
，
∴=，
，
故答案為：，；
（2）解：∵＝＝＝﹣1，
，
，
，
∴原式=
=．
33．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：
材料一：兩個(gè)含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．
例如：，我們稱的一個(gè)有理化因式是的一個(gè)有理化因式是．
材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．
例如：，．
請(qǐng)你仿照材料中的方法探索并解決下列問(wèn)題：
(1)的有理化因式為_(kāi)___，的有理化因式為_(kāi)___；（均寫(xiě)出一個(gè)即可）
(2)將下列各式分母有理化：
①；
②；（要求；寫(xiě)出變形過(guò)程）
(3)計(jì)算：的結(jié)果____．
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)
【詳解】（1）由題意可得，
的有理化因式為，的有理化因式為，
故答案為：，；
（2）①；
②；
（3）
，
故答案為：．
34．（2023春·北京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）材料一：平方運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．
材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)（3，2）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（3，2），點(diǎn)（﹣2，5）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（﹣2，﹣5）．
請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問(wèn)題：
(1)點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為_(kāi)_____，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為_(kāi)_____；
(2)化簡(jiǎn)：；
(3)已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點(diǎn)M（，m）且，點(diǎn)是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求點(diǎn)'的坐標(biāo)．
【答案】(1)（，）；（，）
(2)+
(3)（﹣，﹣）
【詳解】（1）∵
∴點(diǎn)（，）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（，）
∵
∴點(diǎn)（，）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（，）
故答案為：（，）；（，）．
（2）
∴化簡(jiǎn)得：．
（3）∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴點(diǎn)（，）
∵
∴（，）
故的坐標(biāo)為：（，）．
35．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與思考
請(qǐng)你閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
裂項(xiàng)法，是數(shù)學(xué)中求和的一種方法，是分解與組合思想在求和中的具體應(yīng)用．具體方法是將求和中的每一項(xiàng)進(jìn)行分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．我們以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和．例如：．
在學(xué)習(xí)完二次根式后我們又掌握了一種根式裂項(xiàng)．例如：，．
(1)模仿材料中的計(jì)算方法，化簡(jiǎn)：______．
(2)觀察上面的計(jì)算過(guò)程，直接寫(xiě)出式子______．
(3)利用根式裂項(xiàng)求解：．
【答案】(1)
(2)
(3)2022
【詳解】（1）解：；
故答案為：．
（2）解：；
故答案為：．
（3）解：原式
．
故答案為：2022．
36．（2021秋·上海·八年級(jí)期中）已知且，請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值：
【答案】
【詳解】解：


∵
∴
∴