蘇科版（2024）八年級上冊3.1 勾股定理優(yōu)秀ppt課件

這是一份蘇科版（2024）八年級上冊3.1 勾股定理優(yōu)秀ppt課件，共39頁。PPT課件主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，知識框架，考點(diǎn)分析，鞏固練習(xí)，方程思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，折疊問題，最短路徑問題，轉(zhuǎn)化思想等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2. 體會數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的作用.
1. 進(jìn)一步理解并掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，能用勾股定理和逆定理解決一些實(shí)際問題；
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2
判定三角形為直角三角形
滿足a2+b2=c2 的三個正整數(shù)
求邊長、面積，進(jìn)行證明等
求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離
應(yīng)用條件：在直角三角形中才可以運(yùn)用
常見變形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2
例1 如圖，以Rt△ABC的三條邊為直徑的半圓的面積分別為S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2.
考點(diǎn)一 勾股定理的驗(yàn)證
1.（2021·山西）在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（??? ?）A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想
2.（2022·貴州）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（ ）A．4 B．8 C．12 D．16
3.（2022·四川）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為 __．
解:∵第一代勾股樹中正方形有1+2=3（個），第二代勾股樹中正方形有1+2+22=7（個），第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23=15（個），．∴第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（個）.
4.（2021·四川）如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．它由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你運(yùn)用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．
5.勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)四個全等的直角三角形按圖所示擺放時，可以用“面積法”來驗(yàn)證勾股定理.，請你寫出推導(dǎo)過程.
考點(diǎn)二 勾股定理
例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的長；（2）求BD的長．
解：（1）∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=202+152=252，∴AB=25.
（2）設(shè)BD=x，則AD=25-x.
∵AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2，
∴AC2-AD2=BC2-BD2，
∴202-(25-x)2=152-x2，即50x=450，
解得x=9. ∴BD=9.
兩直角三角形共一邊的情況，可利用勾股定理列方程求解.
例2 在△ABC中，AB=20，AC=13，高AD=12，求△ABC的面積.
1.（2021·山東）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（??? ? ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 2.4
2. Rt△ABC中，斜邊AB=2，則AB2+AC2+BC2的值為（　?。〢. 8 B. 4 C. 6 D.無法計(jì)算
3. 一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長的正方形的面積為_________.
4. 如圖，∠C=∠ABD=90°，AC=3，BC=4，BD=12，則AD的長為______．
5.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，D是BC上一點(diǎn)，AD=BD=5，求CD的長.
解：∵∠C=90°,∴△ACD和△ABC都是直角三角形.在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴AC2=AD2-CD2.在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴AC2=AB2-BC2.∴AD2-CD2=AB2-BC2.設(shè)CD=x，則BC=5+x，∴52-x2=82-(5+x)2，解得x=1.4.∴CD的長為1.4.
考點(diǎn)三 勾股定理的逆定理
例1 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，已知網(wǎng)格中有以格點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的△ABC，請你根據(jù)所學(xué)的知識回答下列問題:(1)求△ABC的面積;(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由.
例2（2021·廣西）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點(diǎn)A、B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿____________方向航行．
解：由題意得：AP=1×12=12海里，PB=1×16=16海里，AB=20海里，∴AP2+BP2=400=AB2，∴∠APB=90°，∵∠APN=40°，∴∠BPN=50°，∴乙船沿北偏東50°(或東偏北40°)方向航行.
1. (2018·江蘇南通)下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（ ）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
2.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是 （　 ） A. 6，8，10 B. 7，8，9C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
4. △ABC的三邊長分別是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．問：△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論.
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2 =n4 -2n2+1+4n2 =n4 +2n2+1 =(n2+1)2 =AC2，∴ 由勾股定理的逆定理得△ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角.
5. 如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格.(1) 你能判斷AD與CD的位置關(guān)系嗎？說出你的理由.(2) 求四邊形ABCD的面積.
∵ AD2=1+4=5，CD2=4+16=20 ，AC= 5
∴ AD2+CD2＝25，AC2＝25
∴ AD2+CD2＝AC2
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°. ∴ AD⊥CD
(2) S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC
例1（2021·江蘇宿遷）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'(示意圖如圖)，則水深為________尺．
解：如圖，設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長AB'=AB=(x+1)尺，
Rt△AB'C中，B'C=5尺，
由勾股定理得：B'C2+AC2=AB'2，
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
∴ x=12. ∴AC=12尺.
答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.
考點(diǎn)四 勾股定理的簡單應(yīng)用
例2 如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求△ABE的面積.
例3 如圖所示，已知長方體的長為2 cm，寬為1 cm，高為4 cm. 一只螞蟻如果沿該長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C'處嗎，那么沿哪條路徑爬行最近?最短路程為多少?
解：如圖①AC' 2=AC2+CC' 2=(2+1)2+42=25.
如圖②AC' 2=AB2+BC' 2=22+(4+1)2=29.
如圖③AC' 2=AD2+DC' 2=12+(4+2)2=37.
綜上所述，最短路徑應(yīng)為如圖①所示的線段AB'. ∵AC'2=25，∴AC'=5(cm)嗎，即最短路程為5 cm.
1. 如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（ ）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
2.（2020·江蘇揚(yáng)州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高．
3.（2021·四川）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長為（?? ??）
4. 如圖，∠AOB=90°，OA=9 m，OB=3 m，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球. 如果小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少?
解：∵小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動時間相等，∴BC=AC.設(shè)BC=AC=x m，則OC=(9-x)m.由勾股定理，得OB2+OC2=BC2,即32+(9-x)2=x2，解得x=5. ∴機(jī)器人行走的路程BC是5 m.
5.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力. 如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與點(diǎn)A、B的距離分別為300 km和400 km. AB=500 km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250 km以內(nèi)為受影響區(qū)域.(1)海港C會受臺風(fēng)影響嗎?為什么?
解：(2)如圖，當(dāng)EC=FC=250 km時，臺風(fēng)正好影響海港C.根據(jù)勾股定理，得ED2=EC2-CD2=2502-2402=4900,∴ED=70(km).∴EF=2ED=140 km.∵臺風(fēng)的速度為20 km/h,∴140÷20=7(h),即臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為7 h.
(2)若臺風(fēng)的速度為20 km/h，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長?
例1 如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A與∠C關(guān)系并加以證明．
解：猜想∠A+∠C=180°．連接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC2=AB2+BC2=202+152=252∵AD2+DC2=242+72=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．
考點(diǎn)五 勾股定理和勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用
例2 有一塊空白地，如圖，∠ADC=90°，CD=6 m，AD=8 m，AB=26 m，BC=24 m．試求這塊空白地的面積．
解：連接AC.在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2（勾股定理） =82+62=100，
∵AC2+BC2=102+242=676=262=AB2，
∴△ACB為直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S空白部分=S△ACB-S△ACD
1.如圖，AD⊥BC，垂足為D. 如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角嗎？請說明理由.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5. 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20.∵AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25.∴AC2+AB2=BC2.∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°.
2. 在△ABC中，D為BC邊上的點(diǎn).已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的長.
解：∵AB=13，AD=12，BD=5，∴ AB2=AD2+BD2.∴ 由勾股定理的逆定理得：△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2. ∵AD=12，AC=15,∴DC2=AC2-AD2=152-122=92.∴ DC=9.
3. 如圖，四邊形ABCD是學(xué)校的一塊空地，經(jīng)數(shù)學(xué)興趣小組的測量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．為了提高校園的綠化面積，現(xiàn)學(xué)校決定在空地內(nèi)鋪草坪，若鋪設(shè)每平方米草坪需要30元，則將這塊空地全部鋪滿一層草坪的費(fèi)用是多少？
4. 做一個長、寬、高分別為50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過的知識說明．
談?wù)勀惚竟?jié)課的收獲是什么？