蘇科版（2024）九年級上冊2.7 弧長及扇形的面積課時訓(xùn)練

這是一份蘇科版（2024）九年級上冊2.7 弧長及扇形的面積課時訓(xùn)練，共52頁。試卷主要包含了7 弧長及扇形面積等內(nèi)容，歡迎下載使用。


知識點一
弧長公式
（1）圓周長公式：C＝2πR
（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
【注意】
①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
知識點二
扇形及扇形的面積公式
◆1、扇形：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.
◆2、扇形面積公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，
則S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）
【注意】
①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；
②公式要理解記憶.
題型一 利用公式求弧長
【例題1】（2022秋?鞍山期末）已知一個扇形的圓心角為150°，半徑是6，則這個扇形的弧長
是（ ）
A．3πB．4πC．5πD．6π
【變式1-1】（2023?中山市校級模擬）如圖，⊙O的半徑為1，點A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則AC的長為（ ）
A．18πB．14πC．12πD．π
【變式1-2】（2023?裕華區(qū)二模）一張直徑為40cm的圓餅被切掉了一塊，數(shù)據(jù)如圖所示，則優(yōu)弧ABC的長度為（ ）
A．10πcmB．15πcmC．20πcmD．30πcm
【變式1-3】（2022?湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則AD的長為（ ）
A．πB．43πC．53πD．2π
【變式1-4】如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點E，連結(jié)AD，已知AC＝BD．
（1）求證：∠A＝∠D；
（2）若AC⊥BD，⊙O的半徑為6，求CD的長．
題型二 列方程求圓心角或半徑
【例題2】一條弧所對的圓心角為120°，弧長等于6πcm，則這條弧的半徑為 ．
【變式2-1】（2023?平陽縣校級三模）若一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的半徑
是 cm．
【變式2-2】（2022秋?潁州區(qū)期末）已知弧的長是53π，弧的半徑為3，則該弧所對的圓心角度數(shù)為 ．
【變式2-3】（2022秋?越秀區(qū)校級期末）已知扇形半徑是3cm，弧長為32πcm，則扇形的圓心角為 度．
【變式2-4】（2022秋?任城區(qū)校級期末）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間．?dāng)S鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為58π米，“弓”所在的圓的半徑約0.75米，則“弓”所對的圓心角為 度．
【變式2-5】（2023?桐廬縣一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為5π，則另一個扇形的圓心角度數(shù)是 ．
題型三 利用弧長公式求周長
【例題3】（2023?東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（ ）
A．π3B．π2C．πD．2π
【變式3-1】（2023?潢川縣校級三模）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，C均在小正方形的頂點上，點B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長為 ．
【變式3-2】（2022?綠園區(qū)校級模擬）如圖，線段AB＝2．以AB為直徑作半圓，再分別以點A、B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C．則圖中陰影部分的周長為 ．
【變式3-3】如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，分別以點A、B、C為圓心，以4為半徑畫弧，則圖中陰影部分圖形的周長為 .（結(jié)果保留π）
【變式3-4】（2023?南關(guān)區(qū)校級二模）如圖，將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B落在扇形BAC的弧AC上的點D處，點C的對應(yīng)點為點E，則圖中陰影部分圖形的周長為 .（結(jié)果保留π）
題型四 利用弧長公式求最值
【例題4】（2023?封丘縣二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為AB上一點，且BC=2AC，點P為扇形BOC區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）一動點．若OB＝1，則陰影部分周長的最小值為 ．
【變式4-1】（2023?黃島區(qū)一模）如圖，半圓O的直徑AB＝3，AC=3BC．E是BC上一個動點，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于點F．OH＝EF．則圖中陰影部分周長的最大值為 ．
【變式4-2】如圖，以BC為直徑作圓O，A，D為圓周上的點，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若點P為BC垂直平分線MN上的一動點，則陰影部分圖形的周長最小值為 ．
題型五 利用公式求扇形面積
【例題5】（2023?鶴山市模擬）圓心角為240°的扇形的半徑為3cm，則這個扇形的面積是（ ）cm2．
A．πB．3πC．9πD．6π
【變式5-1】（2022?鹿城區(qū)校級三模）已知一個扇形的半徑為2cm，弧長是π3cm，則它的面積
為 cm2．
【分析】根據(jù)扇形的面積公式s=12lr，求解即可．
【變式5-2】如圖，一段公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB，則扇形AOB的面積為（ ）
A．15πm2B．30πm2C．18πm2D．12πm2
【變式5-3】（2022?西城區(qū)二模）學(xué)校圖書館的閱讀角有一塊半徑為3m，圓心角為120°的扇形地毯，這塊地毯的面積為（ ）
A．9πm2B．6πm2C．3πm2D．πm2
【變式5-4】（2022春?將樂縣校級月考）在一個直徑為6cm的圓中，小明畫了一個圓心角為120°的扇形，則這個扇形的面積為（ ）
A．πcm2B．2πcm2C．3πcm2D．6πcm2
題型六 列方程求扇形圓心角或半徑
【例題6】扇形的弧長為20πcm，面積為240πcm2，那么扇形的半徑是（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．28cm
【變式6-1】（2022?公安縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直O(jiān)B交⊙O于C，D兩點，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積2π3，則⊙O的半徑為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式6-2】已知一個扇形的半徑為R，圓心角為n°，當(dāng)這個扇形的面積與一個直徑為R的圓面積相等時，則這個扇形的圓心角n的度數(shù)是（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
【變式6-3】已知40°的圓心角所對應(yīng)的扇形面積為169πcm2，則這條弧所在圓的直徑為（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【變式6-4】一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且扇形面積是圓的面積的一半，則這個扇形的圓心角度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．75°
題型七 計算規(guī)則圖形的陰影部分的面積
【例題7】（2022春?萊西市期中）已知點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，半徑AO＝2，則扇形COD的面積為 ．
【變式7-1】（2023?錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（ ）
A．23πB．πC．43πD．2π
【變式7-2】（2022?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點E，連接BE，則扇形BAE的面積為（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
【變式7-3】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
【變式7-4】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．
（1）求證：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（陰影部分）的面積．
題型八 計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積
【例題8】（2023?鳳臺縣校級三模）如圖，點B在半圓O上，直徑AC＝10，∠BAC＝36°，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．5πB．52πC．10πD．54π
【變式8-1】（2022?長春一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，∠AOB＝120°，則陰影部分圖形的面積為（ ）
A．4πB．163πC．8πD．16π
【變式8-2】如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，將半圓繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【變式8-3】如圖，D是等邊△ABC內(nèi)的一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE和扇形EAD，連接CD、BE、DE．
（1）若AD＝1，求陰影部分的面積；（結(jié)果保留根號和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度數(shù)．
【變式8-4】（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．
題型九 求旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積
【例題9】如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，且A、C、B'三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的路線的長度是（ ）
A．8B．43C．323πD．83π
【變式9-1】如圖，Rt△OCB的斜邊OB在y軸上，OC=3，∠BOC＝30°，直角頂點C在第二象限，將Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B′，則B點的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)和點B在旋轉(zhuǎn)過程中繞過的路徑長分別是（ ）
A．（3，﹣1）和43πB．（1，?3）和23π
C．（2，0）和43πD．（3，0）和23π
【變式9-2】如圖，等邊三角形和正方形的邊長都是a，在圖形所在的平面內(nèi)，將△PAD以點A為中心沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AP與AB重合，如此繼續(xù)分別以點B、C、D 為中心將三角形進行旋轉(zhuǎn)，使點P回到原來位置為止，則點P從開始到結(jié)束所經(jīng)過路徑的長為（ ）
A．72πaB．134πaC．196πaD．258πa
【變式9-3】（2022秋?上城區(qū)校級月考）如圖，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得△A'OB'．
（1）求點B掃過的弧的長；
（2）求線段AB掃過的面積．
【變式9-4】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．
（1）△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A′B′C，直接寫出A′，B′坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，請直接寫出點B旋轉(zhuǎn)到點B′所經(jīng)過的路線長 322π （結(jié)果保留π）；
（3）在（1）的條件下，求點A旋轉(zhuǎn)到點A′時，線段AC所掃過的面積（結(jié)果保留π）．
【變式9-5】如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，點C的對應(yīng)點E恰好落在AB的延長線上，連接CE．
（1）求證：DB∥CE；
（2）若AB＝3，BC＝1，求A，C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和．
（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章 對稱圖形---圓》
2.7 弧長及扇形面積

知識點一
弧長公式
（1）圓周長公式：C＝2πR
（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
【注意】
①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
知識點二
扇形及扇形的面積公式
◆1、扇形：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.
◆2、扇形面積公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，
則S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）
【注意】
①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；
②公式要理解記憶.
題型一 利用公式求弧長
【例題1】（2022秋?鞍山期末）已知一個扇形的圓心角為150°，半徑是6，則這個扇形的弧長
是（ ）
A．3πB．4πC．5πD．6π
【分析】根據(jù)弧長公式可得．
【解答】解：扇形的弧長為150π?6180=5π．
故選：C．
【點評】本題考查弧長的計算公式L=nπr180，識記公式是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023?中山市校級模擬）如圖，⊙O的半徑為1，點A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則AC的長為（ ）
A．18πB．14πC．12πD．π
【分析】根據(jù)圓周角定理可得出∠AOC＝90°，再根據(jù)弧長公式的計算即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵⊙O的半徑為1，
∴AC的長=nπr180=90π×1180=12π，
故選：C．
【點評】本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，解題關(guān)鍵是掌握弧長公式l=nπr180．
【變式1-2】（2023?裕華區(qū)二模）一張直徑為40cm的圓餅被切掉了一塊，數(shù)據(jù)如圖所示，則優(yōu)弧ABC的長度為（ ）
A．10πcmB．15πcmC．20πcmD．30πcm
【分析】根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：優(yōu)弧ABC的長度為(360?90)π?402180=30π，
故選：D．
【點評】本題考查了弧長的計算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022?湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則AD的長為（ ）
A．πB．43πC．53πD．2π
【分析】連接CD，根據(jù)∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度數(shù)，再根據(jù)AC＝CD以及∠A的度數(shù)即可得到∠ACD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式求解即可．
【解答】解：連接CD，如圖所示：

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC=12AB=4，
由題意得：AC＝CD，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴AD的長為：60π×4180=43π，
故選：B．
【點評】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是：求出弧所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)以及弧所在扇形的半徑．
【變式1-4】如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點E，連結(jié)AD，已知AC＝BD．
（1）求證：∠A＝∠D；
（2）若AC⊥BD，⊙O的半徑為6，求CD的長．
【分析】（1）根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系定理得到AC=BD，進而得出AB=CD，根據(jù)圓周角定理證明即可；
（2）連接OC、OD，根據(jù)圓周角定理求出∠COD，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．
【解答】（1）證明：∵AC＝BD，
∴AC=BD，
∴AC?BC=BD?BC，即AB=CD，
∴∠A＝∠D；
（2）連接OC、OD，
∵AC⊥BD，∠A＝∠D，
∴∠A＝45°，
由圓周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，
∴CD的長=90π×6180=3π．
【點評】本題考查的是弧長的計算、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．
題型二 列方程求圓心角或半徑
【例題2】一條弧所對的圓心角為120°，弧長等于6πcm，則這條弧的半徑為 ．
【分析】利用弧長公式計算．
【解答】解：設(shè)這條弧的半徑為Rcm，
∵120π×R180=6π，
∴R＝9π．
故答案為：9cm．
【點評】本題考查了弧長的計算，掌握已知條件周長＝弧長來計算是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023?平陽縣校級三模）若一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的半徑
是 cm．
【分析】設(shè)扇形的半徑為r，利用弧長公式求出半徑r，再利用扇形的面積公式求解即可．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為rcm，
由題意，135π?r180=3π，
∴r＝4，
∴此扇形的半徑是4cm，
故答案為：4．
【點評】本題考查弧長公式，扇形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
【變式2-2】（2022秋?潁州區(qū)期末）已知弧的長是53π，弧的半徑為3，則該弧所對的圓心角度數(shù)為 ．
【分析】根據(jù)弧長的公式l=nπr180，代入計算即可．
【解答】解：∵弧長的公式l=nπr180，
∴弧長的公式53π=nπ×3180，
解得，n＝100，
故該弧所對的圓心角度數(shù)為100°，
故答案為：100°．
【點評】本題考查了弧長的公式計算，熟練掌握弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022秋?越秀區(qū)校級期末）已知扇形半徑是3cm，弧長為32πcm，則扇形的圓心角為 度．
【分析】設(shè)扇形的圓心角為n°，根據(jù)弧長公式和已知得出方程nπ×3180=32π，求出方程的解即可．
【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為n°，
∵扇形半徑是3cm，弧長為32πcm，
∴nπ×3180=32π，
解得：n＝90．
故答案為：90．
【點評】本題考查了弧長的計算的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)弧長公式得出關(guān)于n的方程．
【變式2-4】（2022秋?任城區(qū)校級期末）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間．?dāng)S鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為58π米，“弓”所在的圓的半徑約0.75米，則“弓”所對的圓心角為 度．
【分析】由l=nπr180，直接代入數(shù)據(jù)進行計算即可．
【解答】解：設(shè)“弓”所在的圓的弧長圓心角度數(shù)是n°，則nπ×0.75180=5π8，
解得：n＝150，
故答案為：150．
【點評】本題考查的是已知弧長與半徑求解弧所對的圓心角，熟記弧長公式是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-5】（2023?桐廬縣一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為5π，則另一個扇形的圓心角度數(shù)是 ．
【分析】先計算出另一個扇形的弧長為7π，設(shè)另一個扇形的圓心角為n°，利用弧長公式得n×π×6180=7π，然后解方程即可．
【解答】解：∵圓的周長為2π×6＝12π，
∴另一個扇形的弧長為12π﹣5π＝7π，
設(shè)另一個扇形的圓心角為n°，
根據(jù)弧長公式得n×π×6180=7π，
解得n＝210，
即另一個扇形的圓心角度數(shù)為210°．
故答案為：210°．
【點評】本題考查了弧長的計算：記住弧長公式是解決問題的關(guān)鍵．（弧長公式為l=nπR180，其中弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．
題型三 利用弧長公式求周長
【例題3】（2023?東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（ ）
A．π3B．π2C．πD．2π
【分析】由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根據(jù)弧長公式計算出三段弧長，三段弧長之和即為凸輪的周長．
【解答】
解：∵△ABC為正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴AB=AC=BC=60π×1180=π3，
根據(jù)題意可知凸輪的周長為三個弧長的和，
即凸輪的周長=AB+AC+BC=3×π3=π．
故選：C．
【點評】此題考查了弧長的計算以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式是解本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023?潢川縣校級三模）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，C均在小正方形的頂點上，點B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長為 ．
【分析】先確定出圓心位置根據(jù)弧長公式求出弧AB的長度，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得BC的長度，再利用勾股定理求出線段AC的長度，即得答案．
【解答】解：由題意知圓心位置如圖所示，
∵∠ACB＝15°，
∴AOB＝30°，
∴∠BOC＝60°，
即△BOC為等邊三角形，OC＝BC＝OB＝6，
∴弧AB的長度為：30×6×π180=π，
由勾股定理得：AC=62+62=62，
陰影部分的周長為：6+62+π，
故答案為：6+62+π．
【點評】本題考查了弧長的計算公式、勾股定理求格點中線段的長度、等邊三角形的判定等知識點．解題關(guān)鍵是：確定出弧所在圓的圓心位置．
【變式3-2】（2022?綠園區(qū)校級模擬）如圖，線段AB＝2．以AB為直徑作半圓，再分別以點A、B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C．則圖中陰影部分的周長為 ．
【分析】陰影部分的周長為弧AC，弧BC和半圓AB的和．
【解答】解：60π×2180×2+12×2π×1=4π3+π=7π3．
故答案為：7π3．
【點評】本題考查了弧長公式：l=nπr180，也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．
【變式3-3】如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，分別以點A、B、C為圓心，以4為半徑畫弧，則圖中陰影部分圖形的周長為 .（結(jié)果保留π）
【分析】分別求出陰影部分弧長與線段長度然后相加求解．
【解答】解：如圖，圓弧交AB于點E，F(xiàn)，
由題意得AB＝12，AE＝BF＝4，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴圖中總弧長為180π×4180=4π，
∴圖中陰影部分圖形的周長為3EF+4π＝12+4π．
故答案為：12+4π．
【點評】本題考查三角形與圓的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將陰影部分周長轉(zhuǎn)化為線段長度與弧長的和．
【變式3-4】（2023?南關(guān)區(qū)校級二模）如圖，將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B落在扇形BAC的弧AC上的點D處，點C的對應(yīng)點為點E，則圖中陰影部分圖形的周長為 .（結(jié)果保留π）
【分析】連接BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等邊三角形，求出∠ABF＝60°，即可求出AD，再根據(jù)陰影部分的周長=AD+AE+DE，即可求解．
【解答】解：連接BD，如圖，
∵將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B落在扇形BAC的弧上的點D處，點C的對應(yīng)點為點E，
∴AB＝AD＝BC＝BD＝2，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴弧AD的長=60π×2180=23π，弧AE的長=90π×2180=π，
∴陰影部分的周長=AD+AE+DE=23π+π+2，
故答案為：53π+2．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，弧長計算等知識點，如果扇形的圓心角為n°，扇形的半徑為r，那么扇形的弧長=nπr180．
題型四 利用弧長公式求最值
【例題4】（2023?封丘縣二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為AB上一點，且BC=2AC，點P為扇形BOC區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）一動點．若OB＝1，則陰影部分周長的最小值為 ．
【分析】根據(jù)題意求出圓心角∠BOC的度數(shù)，根據(jù)弧長公式求出弧BC的長以及BC長的長即可．
【解答】解：如圖，連接BC，由于陰影部分的周長等于BC的長與PA、PB的長度和，要使周長最小，則PA+PB最小，
而PA+PB的最小值是BC，
∵∠AOB＝90°，BC=2AC，
∴∠BOC＝90°×21+2=60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝OC＝1，
∴BC的長為60π×1180=π3，
∴陰影部分的最小值為π3+1，
故答案為：π3+1．
【點評】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算公式以及正三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提．
【變式4-1】（2023?黃島區(qū)一模）如圖，半圓O的直徑AB＝3，AC=3BC．E是BC上一個動點，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于點F．OH＝EF．則圖中陰影部分周長的最大值為 ．
【分析】連接OE，可證四邊形HOEF是平行四邊形，則DF+AH+HF＝3，所以當(dāng)E與C點重合時，AD弧的長最大，可求∠BOC＝45°，即可求AD弧的長=3π8，進而求陰影部分周長的最大值．
【解答】解：連接OE，
∵DE//AB，OF⊥AB，
∴OF⊥DE，
∴DF＝EF，
∵DE∥AB，OH＝EF，
∴四邊形HOEF是平行四邊形，
∴HF＝OE，DF＝OH，
∵HO＝EF，
∴DF+AH＝HO+AH＝AO，
∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，
∵AB＝3，
∴DF+AH+HF＝3，
∵點E是BC上一個動點，
∴當(dāng)E與C點重合時，AD弧的長最大，
此時陰影部分周長最大，
∵AC=3BC，
∴∠BOC＝45°，
∴AD弧的長=45π×32180=38π，
∴陰影部分周長的最大值為38π+3，
故答案為：38π+3．
【點評】本題考查動點的最值問題，熟練掌握弧長的求法，將陰影部分周長的最大值問題轉(zhuǎn)化為求弧長最大值是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】如圖，以BC為直徑作圓O，A，D為圓周上的點，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若點P為BC垂直平分線MN上的一動點，則陰影部分圖形的周長最小值為 ．
【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)可知陰影部分的周長的最小值為AC+CD，求出AC的長即可．
【解答】解：連接AC，根據(jù)對稱的意義可知，PD+PC的最小值為AC，
∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，
∴AB=CD=AD，
∴∠ABC＝2∠ACB，
∵BC為直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，
∴AC=3?AB=3，
所以陰影部分周長的最小值為AC+CD=3+1，
故答案為：3+1．
【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，圓周角定理，理解軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
題型五 利用公式求扇形面積
【例題5】（2023?鶴山市模擬）圓心角為240°的扇形的半徑為3cm，則這個扇形的面積是（ ）cm2．
A．πB．3πC．9πD．6π
【分析】根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
【解答】解：S=240π×9360=6πcm2，
故選：D．
【點評】本題主要考查了扇形的面積公式．
【變式5-1】（2022?鹿城區(qū)校級三模）已知一個扇形的半徑為2cm，弧長是π3cm，則它的面積
為 cm2．
【分析】根據(jù)扇形的面積公式s=12lr，求解即可．
【解答】解：扇形的面積=12×π3×2=π3（cm2）．
故答案為：π3．
【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式S=12lr=nπr2360．
【變式5-2】如圖，一段公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB，則扇形AOB的面積為（ ）
A．15πm2B．30πm2C．18πm2D．12πm2
【分析】直接利用扇形的面積公式求得即可．
【解答】解：扇形AOB的面積為：108π×102360=30π（m2）．
故選：B．
【點評】此題考查了扇形面積的計算，知道熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022?西城區(qū)二模）學(xué)校圖書館的閱讀角有一塊半徑為3m，圓心角為120°的扇形地毯，這塊地毯的面積為（ ）
A．9πm2B．6πm2C．3πm2D．πm2
【分析】應(yīng)用扇形面積的計算公式進行計算即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意可得，
n＝120°，r＝3，
∴S=nπr2360=120π×32360=3π（m2）．
故選：C．
【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算公式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．
【變式5-4】（2022春?將樂縣校級月考）在一個直徑為6cm的圓中，小明畫了一個圓心角為120°的扇形，則這個扇形的面積為（ ）
A．πcm2B．2πcm2C．3πcm2D．6πcm2
【分析】扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2，由此即可計算．
【解答】解：∵扇形所在圓的半徑r=12×6＝3cm，扇形的圓心角n＝120°，
∴扇形的面積=nπr2360=120π×32360=3π（cm2）．
故選：C．
【點評】本題考查扇形的面積，關(guān)鍵是掌握扇形面積的計算公式．
題型六 列方程求扇形圓心角或半徑
【例題6】扇形的弧長為20πcm，面積為240πcm2，那么扇形的半徑是（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．28cm
【分析】根據(jù)扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的關(guān)系：S扇形=12lr，把對應(yīng)的數(shù)值代入即可求得半徑r的長．
【解答】解：∵S扇形=12lr
∴240π=12?20π?r
∴r＝24 （cm）
故選：C．
【點評】解此類題目的關(guān)鍵是掌握住扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的等量關(guān)系：S扇形=12lr．
【變式6-1】（2022?公安縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直O(jiān)B交⊙O于C，D兩點，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積2π3，則⊙O的半徑為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】將陰影部分的面積轉(zhuǎn)換為扇形BOD的面積，利用扇形面積的計算方法進行計算即可．
【解答】解：如圖，連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，
設(shè)⊙O的半徑為R，
由于S陰影部分＝S扇形BOD=2π3，
所以60π×R2360=2π3，
所以R＝2，
故選：B．
【點評】本題考查扇形面積的計算，圓周角定理，掌握扇形面積的計算公式以及圓周角定理是正確解答的關(guān)鍵．
【變式6-2】已知一個扇形的半徑為R，圓心角為n°，當(dāng)這個扇形的面積與一個直徑為R的圓面積相等時，則這個扇形的圓心角n的度數(shù)是（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
【分析】根據(jù)扇形和圓的面積公式列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意得，n?πR2360=（R2）2π，
解得：n＝90，
故選：C．
【點評】本題考查了扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】已知40°的圓心角所對應(yīng)的扇形面積為169πcm2，則這條弧所在圓的直徑為（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【分析】利用扇形的面積的公式=nπr2360進行計算可得．
【解答】解：∵扇形的面積的公式=nπr2360，n＝40°，扇形面積為169πcm2，
∴169π=40×π×r2360，
解得；r＝±4（負數(shù)舍去），
∴這條弧所在圓的直徑為8cm．
故選：C．
【點評】本題主要考查了扇形面積公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確記憶扇形面積公式是解題關(guān)鍵．
【變式6-4】一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且扇形面積是圓的面積的一半，則這個扇形的圓心角度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．75°
【分析】根據(jù)扇形和圓的面積公式列出等式計算．
【解答】解：設(shè)圓的半徑為r，扇形圓心角為n°．
則扇形的半徑為2r，
利用面積公式可得：nπ(2r)2360=12πr2，
解得n＝45．
故選：A．
【點評】本題考查了扇形面積的計算．解題時，主要是根據(jù)扇形和圓的面積公式列出等式計算，即可求出圓心角度數(shù)．
題型七 計算規(guī)則圖形的陰影部分的面積
【例題7】（2022春?萊西市期中）已知點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，半徑AO＝2，則扇形COD的面積為 ．
【分析】先求出扇形的圓心角，再根據(jù)公式計算即可．
【解答】解：∵點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，
∴弧AC＝弧CD＝弧BD，
∴∠COD＝60°，
∴扇形COD的面積為60π×22360=2π3．
故答案為：2π3．
【點評】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積，難度一般．
【變式7-1】（2023?錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（ ）
A．23πB．πC．43πD．2π
【分析】先由圓周角定理可得∠AOC的度數(shù)，再由扇形的面積公式求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∴扇形AOC的面積為80×π×32360=2π，
故選：D．
【點評】此題主要是考查了扇形的面積公式，圓周角定理，能夠求得∠AOC的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2022?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點E，連接BE，則扇形BAE的面積為（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
【分析】解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面積公式求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC=3，
∴cs∠CBE=CBBE=32，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE=60?π?22360=2π3，
故選：C．
【點評】本題考查扇形的面積，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出∠CBE的度數(shù)．
【變式7-3】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出∠C＝90°，再根據(jù)勾股定理求出AB，由∠ABD＝45°求出∠DOB＝90°，根據(jù)勾股定理求出BD即可；
（2）根據(jù)扇形的面積即可求出陰影部分的面積．
【解答】解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10（cm）；
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD=OD2+OB2=52+52=52（cm）；
（2）陰影部分的面積S＝S扇形AOD=90π×52360=254π（cm2）．
【點評】本題考查了勾股定理，圓周角定理，扇形的面積計算，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識點，能求出AB的長和∠DOB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
【變式7-4】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．
（1）求證：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（陰影部分）的面積．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到BC=BD，根據(jù)圓周角定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△BOC為等邊三角形，求出∠AOC，根據(jù)正弦的定義求出OC，利用扇形面積公式計算即可．
【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD＝23，
在Rt△COE中，OC=CEsin∠COB=4，
∴扇形OAC（陰影部分）的面積=120π×42360=163π．
【點評】本題考查的是扇形面積計算、垂徑定理、圓周角定理，掌握扇形面積公式S=nπR2360是解題的關(guān)鍵．
題型八 計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積
【例題8】（2023?鳳臺縣校級三模）如圖，點B在半圓O上，直徑AC＝10，∠BAC＝36°，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．5πB．52πC．10πD．54π
【分析】先根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形得到△AOB的面積與△COB的面積相等，從而把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，再根據(jù)扇形面積計算公式求出即可．
【解答】解：∵點O是AC的中點，
∴線段BO是△ABC的中線，
∴S△AOB＝S△COB，
∴S陰影＝S扇形OBC，
∵∠BAC＝36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝72°，
∵直徑AC＝10，
∴OC＝5，
∴S扇形OBC=72π×52360=5π，
∴S陰影＝5π，
故選：A．
【點評】本題考查了扇形的面積，圓周角定理，三角形的中線的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022?長春一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，∠AOB＝120°，則陰影部分圖形的面積為（ ）
A．4πB．163πC．8πD．16π
【分析】陰影部分的面積是一個環(huán)形，可用大圓中240°角所對的扇形的面積減去小圓中240°角所對的面積來求得．根據(jù)扇形的面積求解即可．
【解答】解：S陰影=240π×42360?240π×22360=8π．
故選：C．
【點評】本題主要考查了扇形面積公式，關(guān)鍵是找出圖中的關(guān)系和熟記公式．
【變式8-2】如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，將半圓繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得S半圓AB＝S半圓AC，∠BAC＝45°，再利用面積的和差得到S陰影部分+S半圓AB＝S半圓AC+S扇形BAC，即有S陰影部分＝S扇形BAC，然后根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
【解答】解：∵半圓AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，點A旋轉(zhuǎn)到C的位置，
∴S半圓AB＝S半圓AC，∠BAC＝45°，
∵S陰影部分+S半圓AB＝S半圓AC+S扇形BAC，
∴S陰影部分＝S扇形BAC=45π×42360=2π．
故選：B．
【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．
【變式8-3】如圖，D是等邊△ABC內(nèi)的一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE和扇形EAD，連接CD、BE、DE．
（1）若AD＝1，求陰影部分的面積；（結(jié)果保留根號和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度數(shù)．
【分析】（1）利用扇形面積公式和三角形面積公式求得即可；
（2）由SAS證△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，證△EAD為等邊三角形，則∠AED＝60°，繼而得出答案．
【解答】解：（1）∵AD＝AE＝1，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴S△ADE=12×1×32×1=34，
∴S陰影=60π×12360?34=π6?34；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝110°，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD為等邊三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝110°﹣60°＝50°．
【點評】本題主要考查扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．
【變式8-4】（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得CE的長，再根據(jù)已知DE平分AO得CO=12AO=12OE，根據(jù)勾股定理列方程求解．
（2）先求出扇形的圓心角，再根據(jù)扇形面積和三角形的面積公式計算即可．
【解答】解：（1）∵直徑AB⊥DE，
∴CE=12DE＝1．
∵DE平分AO，
∴CO=12AO=12OE．
設(shè)CO＝x，則OE＝2x．
由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．
x=33．
∴OE＝2x=233．
即⊙O的半徑為233．
（2）連接OF，
在Rt△DCP中，
∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EOF＝2∠D＝90°．
∴S扇形OEF=90?π?(233)2360=13π．
∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF=233
SRt△OEF=12×(233)2=23．
∴S陰影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF=13π?23．
【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱松刃蔚拿娣e公式、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．
題型九 求旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積
【例題9】如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，且A、C、B'三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的路線的長度是（ ）
A．8B．43C．323πD．83π
【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，點A經(jīng)過的路線是弧長，計算出半徑和圓心角即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴∠ACB＝60°，
AC＝2BC＝4，
∵A、C、B'三點在同一條直線上，
∴∠ACA′＝120°，
由弧長公式可知：
點A經(jīng)過的路線長度為：120×π×4180=83π．
故選：D．
【點評】本題是以直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長公式，求出半徑和圓心角是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
【變式9-1】如圖，Rt△OCB的斜邊OB在y軸上，OC=3，∠BOC＝30°，直角頂點C在第二象限，將Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B′，則B點的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)和點B在旋轉(zhuǎn)過程中繞過的路徑長分別是（ ）
A．（3，﹣1）和43πB．（1，?3）和23π
C．（2，0）和43πD．（3，0）和23π
【分析】如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OC′＝OC=3，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限點的坐標(biāo)特征寫出點B′的坐標(biāo)，再利用弧長公式求出點B的運動路徑的長．
【解答】解：如圖，
在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，
∴BC=33OC=33×3=1，OB＝2BC＝2，
∵Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC=3，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴點B′的坐標(biāo)為（3，﹣1），
∴點B的運動路徑的長=120?π?2180=43π，
故選：A．
【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【變式9-2】如圖，等邊三角形和正方形的邊長都是a，在圖形所在的平面內(nèi)，將△PAD以點A為中心沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AP與AB重合，如此繼續(xù)分別以點B、C、D 為中心將三角形進行旋轉(zhuǎn)，使點P回到原來位置為止，則點P從開始到結(jié)束所經(jīng)過路徑的長為（ ）
A．72πaB．134πaC．196πaD．258πa
【分析】首先作出圖形，于是可得點P所經(jīng)過的路徑是半徑為a、圓心角分別為210°和210°和150°的三段圓弧，根據(jù)弧長公式即可求出總長度．
【解答】解：作圖如右：
點P所經(jīng)過的路徑是半徑為a、圓心角分別為210°和210°和150°的三段圓弧，
故總長度為2πa（210°360°×2+150°360°）=19π6a．
故選：C．
【點評】本題主要考查弧長的計算和等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，此題難度不大．
【變式9-3】（2022秋?上城區(qū)校級月考）如圖，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得△A'OB'．
（1）求點B掃過的弧的長；
（2）求線段AB掃過的面積．
【分析】（1）根據(jù)弧長公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，陰影部分的面積等于S扇形B'OB﹣S扇形A'OA，從而根據(jù)OA＝2，OB＝OB'＝5，可計算出答案．
【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)得：∠BOB'＝90°，OB＝OB'，
∴點B掃過的弧的長=90π×5180=5π2；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△AOB的面積＝△A'OB'的面積，
∴線段AB掃過的面積＝S扇形B'OB+S△AOB﹣S扇形A'OA﹣S△A'B'O＝S扇形B'OB﹣S扇形A'OA=90π×52360?90π×22360=21π4．
【點評】此題考查了扇形的弧長和面積計算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出：△AOB的面積＝△A'OB'的面積，從而得到線段AB掃過的面積．
【變式9-4】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．
（1）△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A′B′C，直接寫出A′，B′坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，請直接寫出點B旋轉(zhuǎn)到點B′所經(jīng)過的路線長 322π （結(jié)果保留π）；
（3）在（1）的條件下，求點A旋轉(zhuǎn)到點A′時，線段AC所掃過的面積（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出點A、B的對應(yīng)點A′、B′即可得到△A′B′C′，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點A′和B′的坐標(biāo)即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC，點A旋轉(zhuǎn)到點A′所經(jīng)過的路線是以C點為圓心，CA為半徑，圓心角為90度的弧，于是可根據(jù)弧長公式計算點A旋轉(zhuǎn)到點A′所經(jīng)過的路線長；
（3）根據(jù)扇形的面積公式計算即可求解．
【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′為所作，A′（6，4），B′（5，1）；
（2）由勾股定理得，AC=32+32=32，
如圖，點A旋轉(zhuǎn)到點A′所經(jīng)過的路線長=90?π?32180=322π．
故答案為：322π；
（3）如圖，點A旋轉(zhuǎn)到點A′時，線段AC所掃過的面積=90?π(32)2360=9π2．
【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，勾股定理，弧長公式，扇形面積公式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．
【變式9-5】如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，點C的對應(yīng)點E恰好落在AB的延長線上，連接CE．
（1）求證：DB∥CE；
（2）若AB＝3，BC＝1，求A，C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和．
【分析】（1）只要證明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，
（2）由題意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧長公式計算即可．
【解答】（1）證明：由題意得：
△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴CB＝EB，
∴△CBE是等邊三角形，
∴∠CEB＝60°，
∴∠CEB＝∠DBA，
∴DB∥CE；
（2）解：由題意，BA＝BD＝3，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和=60π×3180+60π×1180=4π3．
【點評】本題考查軌跡，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
解題技巧提煉
本題考查了弧長的計算，解題關(guān)鍵是掌握弧長公式l=nπr180．
解題技巧提煉
本題已知弧長，利用弧長的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．
解題技巧提煉
本題考查三角形與圓的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將陰影部分周長轉(zhuǎn)化為線段長度與弧長的和．
解題技巧提煉
本題考查動點的最值問題，熟練掌握弧長的求法，將陰影部分周長的最值問題轉(zhuǎn)化為求弧長最值是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，
則S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）
解題技巧提煉
本題已知扇形的面積，利用扇形面積的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．
解題技巧提煉
所求陰影部分是規(guī)則圖形，直接用幾何圖形的面積公式求解.
解題技巧提煉
1、先將不規(guī)則陰影部分與空白部分組合，構(gòu)造規(guī)則圖形或分割后為規(guī)則圖形，再進行面積和差計算.
2、計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積通過對圖形的變換，為利用公式法或和差法求解創(chuàng)造條件.
解題技巧提煉
本題考查軌跡，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，弧長公式，扇形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
解題技巧提煉
本題考查了弧長的計算，解題關(guān)鍵是掌握弧長公式l=nπr180．
解題技巧提煉
本題已知弧長，利用弧長的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．
解題技巧提煉
本題考查三角形與圓的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將陰影部分周長轉(zhuǎn)化為線段長度與弧長的和．
解題技巧提煉
本題考查動點的最值問題，熟練掌握弧長的求法，將陰影部分周長的最值問題轉(zhuǎn)化為求弧長最值是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，
則S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）
解題技巧提煉
本題已知扇形的面積，利用扇形面積的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．
解題技巧提煉
所求陰影部分是規(guī)則圖形，直接用幾何圖形的面積公式求解.
解題技巧提煉
1、先將不規(guī)則陰影部分與空白部分組合，構(gòu)造規(guī)則圖形或分割后為規(guī)則圖形，再進行面積和差計算.
2、計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積通過對圖形的變換，為利用公式法或和差法求解創(chuàng)造條件.
解題技巧提煉
本題考查軌跡，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，弧長公式，扇形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．