數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)11.1 反比例函數(shù)優(yōu)秀綜合訓(xùn)練題

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1．若點(diǎn)在雙曲線上，則代數(shù)式的值為（ ）
A．－12B．－7C．－5D．5
【答案】C
【分析】把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出的值．
【解析】解：把代入得，
=3，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，然后整體代入求值．
2．如圖，直線與雙曲線交于A、兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則不等式的解為（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式與直線和雙曲線解析式的關(guān)系，相當(dāng)于把直線向下平移個(gè)單位，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得交點(diǎn)坐標(biāo)與原直線的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再找出直線在雙曲線下方的自變量的取值范圍即可．
【解析】解：解：由，得，，
所以，不等式的解集可由雙曲線不動(dòng)，直線向下平移個(gè)單位得到，
直線向下平移個(gè)單位的圖象如圖所示，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)或時(shí)，雙曲線圖象在直線圖象上方，
所以，不等式的解是：或．
故選C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)不等式與函數(shù)解析式得出不等式的解集與雙曲線和向下平移個(gè)單位的直線的交點(diǎn)有關(guān)是解題的關(guān)鍵．
3．已知點(diǎn)A（x1，y1）在反比例函數(shù)y1＝的圖象上，點(diǎn)B（x2，y2）在一次函數(shù)y2＝kx﹣k的圖象上，當(dāng)k＞0時(shí)，下列判斷中正確的是（ ）
A．當(dāng)x1＝x2＞2時(shí)，y1＞y2B．當(dāng)x1＝x2＜2時(shí)，y1＞y2
C．當(dāng)y1＝y(tǒng)2＞k時(shí)，x1＜x2D．當(dāng)y1＝y(tǒng)2＜k時(shí)，x1＞x2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，首先列分式方程并求解，得到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)；再根據(jù)x和y的不同取值范圍，結(jié)合反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像的性質(zhì)分析，即可得到答案．
【解析】當(dāng)y1= y2時(shí)，得
∴
∴，
經(jīng)檢驗(yàn)，，為原方程的解
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∵y1隨x1增大而減小，y2隨x2增大而增大，
∴當(dāng)x1＝x2＞2時(shí)，,
∵k＞0
∴，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
當(dāng)-1＜x1＝x2＜0時(shí)，y1＜y2
∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
∴當(dāng)y1＝y(tǒng)2＞k時(shí)，,
∴x1＜x2，即選項(xiàng)C正確；
∴當(dāng)-k＜y1＝y(tǒng)2＜0時(shí)，,
∴x1＜x2，即選項(xiàng)D不正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程、反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，從而完成求解．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，第四個(gè)頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，CF⊥x軸于F，作BH∥x軸，交CF于H，利用AAS得到三角形ADE與三角形BCH全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=BH=2，DE=CH=1，求出OE的長(zhǎng)，確定出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可．
【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，CF⊥x軸于F，作BH∥x軸，交CF于H，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴BH=4-2=2，CH=3-2=1，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵BH∥x軸，
∴∠ABH=∠BAF，
∵∠DAE+∠BAF+∠DAB=180°=∠CBH+∠ABH+∠DAB，
∴∠DAE=∠CBH，
在△ADE和△BCH中，
，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴AE=BH=2，DE=CH=1，
∴OE=1，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，1），
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k=-1×1=-1，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
5．關(guān)于反比例函數(shù)的圖像——雙曲線，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，則的面積為6．
B．此雙曲線分布在第二、四象限，y隨x的增大而增大．
C．雙曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱
D．此雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為
【答案】B
【分析】A．根據(jù)k的意義即可判斷此選項(xiàng)正確；
B．根據(jù)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
C．根據(jù)反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
D．設(shè)反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：
，根據(jù)，即可得出，即可判斷此選項(xiàng)正確．
【解析】解：A．∵反比例函數(shù)，
∴，故A正確，不符合題意；
B．∵，
∴此雙曲線分布在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故B錯(cuò)誤，符合題意；
C．∵，
∴此雙曲線分布在第二、四象限，關(guān)于直線成軸對(duì)稱，故C正確，不符合題意；
D．設(shè)反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為，故D正確，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像位于一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像位于二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
6．函數(shù)的圖像可以由的圖像先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到.根據(jù)所獲信息判斷，下列直線中與函數(shù)的圖像沒(méi)有公共點(diǎn)的是（ ）
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線
B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線
C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線
D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線
【答案】D
【分析】分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的自變量的值或函數(shù)值即可判斷．
【解析】解：A、當(dāng)y=2時(shí)，，解得x=，故直線y=2與函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)；
B、當(dāng)y=-3時(shí)， =-3，解得x=0，故直線y=-3與函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)；
C、當(dāng)x=-1時(shí)，，故直線x=-1與函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)；
D、分式有意義的條件是x≠1，∴函數(shù)的圖像與直線x=1沒(méi)有公共點(diǎn)；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了求函數(shù)值或求自變量的值，分式有意義的條件，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
7．直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，與雙曲線（）相交于、兩點(diǎn)，若、恰好是線段的三等分點(diǎn)，則直線的存在情況是（ ）
A．不存在B．1條C．2條D．無(wú)數(shù)條
【答案】D
【分析】表示出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，由、恰好是線段的三等分點(diǎn)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，點(diǎn)D在反比例函數(shù)（）上可得，即可得出直線存在無(wú)數(shù)條．
【解析】如圖所示：
過(guò)點(diǎn)C、點(diǎn)D分別作CE⊥OB，DF⊥OB，CM⊥OA，DN⊥OA，
直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，
∵、恰好是線段的三等分點(diǎn)，CE⊥OB，DF⊥OB，CM⊥OA，DN⊥OA，
∴OE=EF=FB，ON=MN=MA，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，
∵點(diǎn)D在雙曲線（）上，
∴，
∴，
∴直線滿足且 中符合條件的直線有無(wú)數(shù)條，
∴直線有無(wú)數(shù)條，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，由、恰好是線段的三等分點(diǎn)，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D在反比例函數(shù)上，推出b與k之間的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．
8．如圖，點(diǎn)A在直線y＝x上，AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AB上，以AC為邊做正方形ACDE，點(diǎn)D恰好在反比例函數(shù)的圖像上，連接AD，若，則k的值為（ ）
A．10B．8C．9D．
【答案】A
【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，A（t，t），則OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根據(jù)反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)即可解答．
【解析】解：設(shè)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，A（t，t），則OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）
∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE
∴OA=t，AD=a
∵OA2-AD2=20
∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖像上，
∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題、正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，求正確設(shè)出未知數(shù)、根據(jù)題意表示出所需的量和等式是解答本題的關(guān)鍵．
9．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在第一象限，延長(zhǎng)與已知雙曲線交于點(diǎn)C，連接，若，直線與x軸所夾的銳角為，則的面積為（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】C
【分析】設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，先求出，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而可得，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，再利用待定系數(shù)法可得直線的函數(shù)解析式為，從而可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．
【解析】解：如圖，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，
，
直線與軸所夾的銳角為，
，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則直線的函數(shù)解析式為，
，
，
，
，
，
在中，，
則的面積為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．如圖，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)F在邊上（不與重合），過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)E，直線分別與y軸和x軸相交于點(diǎn)D和G．給出下列命題：①若，則的面積為；②若，則點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上；③滿足題設(shè)的k的取值范圍是；④若，則．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】①若，則計(jì)算，故命題①正確；②如答圖所示，若，可證明直線是線段的垂直平分線，故命題②正確；③因?yàn)辄c(diǎn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即可得出的范圍；④求出直線的解析式，得到點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后求出線段、的長(zhǎng)度；利用算式，求出，故命題④正確．
【解析】解：
命題①正確．理由如下：
，
，，，
，．
，故①正確；
命題②正確．理由如下：
，
，，，
，．
如答圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，；
在線段上取一點(diǎn)，使得，連接．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：．
，
又，
直線為線段的垂直平分線，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；
命題③正確．理由如下：
由題意，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以，
，故③正確；
命題④正確．理由如下：
設(shè)，則，．
設(shè)直線的解析式為，則有，解得，
．
令，得，
；
令，得，
．
如答圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．
在中，，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：．
，解得，
，故命題④正確．
綜上所述，正確的命題是：①②③④，共4個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法、矩形及勾股定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．本題計(jì)算量較大，解題過(guò)程中注意認(rèn)真計(jì)算．
二、填空題
11．若y＝（4﹣2a）是反比例函數(shù)，則a的值是________．
【答案】-2
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義直接解答即可．
【解析】解：∵若y＝（4﹣2a）是反比例函數(shù)，
∴a2-5=-1，
解得，a2=4，
∴a=±2，
∵4﹣2a≠0，
∴a≠2，
∴a=-2，
故答案為-2．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，直接開平方法解方程，解題的關(guān)鍵是掌握y=k（k≠0）是反比例函數(shù)．
12．如圖，已知直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，且△的面積為12，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為_________．
【答案】
【分析】先求出于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解析】解：當(dāng)x=0時(shí)，y＝4，即AO=4，
∵△ABO的面積為12，
∴×4×OB=12，
∴OB=6，
如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AO，垂足為D，
∵AB的中點(diǎn)為C，
∴DO=2，CD=3，即C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為，把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
，
解得，k=6，
反比例函數(shù)解析式為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)求解析式和三角形中位線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，利用中位線求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
13．已知點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為______．
【答案】1
【分析】根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，即可求得p的值
【解析】解：∵點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象上，
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
∴
∴p=1
故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)的思想解答．
14．如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為_____．
【答案】-6．
【分析】先由正方形ADEF的面積為4，得出邊長(zhǎng)為2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（t，6），則E點(diǎn)坐標(biāo)（t﹣2，2），根據(jù)點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，利用根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．
【解析】解：∵正方形ADEF的面積為4，
∴正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2，
∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（t，6），則E點(diǎn)坐標(biāo)（t﹣2，2），
∵點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴k＝6t＝2（t﹣2），
解得t＝﹣1，k＝﹣6．
故答案為﹣6．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)中k的幾何意義，注意，此題函數(shù)圖像在第二象限，則k＜0．
15．如圖，已知等腰三角形的底邊落在軸上，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖像上．若的面積等于，則_______．
\
【答案】
【分析】連接，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而可得，再證明，則可得，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求得；
【解析】連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的幾何意義，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
16．將反比例函數(shù)y＝－作如下變換：令＝代入y＝－中，所得的函數(shù)值記為， 又將＝＋1代入函數(shù)中，所得函數(shù)值為，再將＝＋1代入函數(shù)…，如此循環(huán)，＝_______
【答案】2
【分析】算出每一個(gè)x值和y值，找到其中的規(guī)律即可解答．
【解析】將代入中，得：，
∴，
將代入中，得：，
∴，
將代入中，得：，
∴，
將代入中，得：，
……
所以可知y的值每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，
∵2021÷3=673……2，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求反比例函數(shù)值，求出每一個(gè)反比例函數(shù)值再找出其規(guī)律，再歸納總結(jié)是解答本題的關(guān)鍵．
17．如圖，四邊形是平行四邊形，對(duì)角線在y軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限內(nèi)的點(diǎn)C分別在雙曲線和的一支上，分別過(guò)點(diǎn)A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：
①陰影部分的面積為；
②若B點(diǎn)坐標(biāo)為，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則；
③當(dāng)時(shí)，；
④若是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱．
其中正確的結(jié)論是_______（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．
【答案】②④
【分析】作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，①由，，得到；②由平行四邊形的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得系數(shù)的值．③當(dāng)，得到四邊形是矩形，由于不能確定與相等，則不能判斷，所以不能判斷，則不能確定；④若是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，可判斷，則，所以，即，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得兩雙曲線既關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱．
【解析】解：作軸于，軸于，如圖，
①，，
，
而，，
，故①錯(cuò)誤；
②四邊形是平行四邊形，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．
．
又點(diǎn)位于上，
．故②正確；
③當(dāng)，
四邊形是矩形，
不能確定與相等，
而，
不能判斷，
不能判斷，
不能確定，故③錯(cuò)誤；
④若是菱形，則，
而，
，
，
，
，
兩雙曲線既關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱，故④正確．
故答案是：②④．
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），D是x軸正半軸上的一點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)A的右邊），以BD為邊向外作正方形BDEF（E，F(xiàn)兩點(diǎn)在第一象限），連接FC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，G兩點(diǎn)，則k的值為 ______________．
【答案】5
【分析】過(guò)F作FN垂直于x軸,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,利用AAS得到三角形ABD與三角形BMF全等, 利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=FM,進(jìn)而表示出F坐標(biāo), 根據(jù)B為CM中點(diǎn),得出G的CF中點(diǎn),表示出G坐標(biāo),進(jìn)而得出E坐標(biāo), 把G與E代入反比例解析式求出a的值,確定出E坐標(biāo),代入反比例解析式求出k的值即可.
【解析】詳解: 過(guò)F作FN⊥x軸,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)E作EH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H,
∵∠FBM+∠MBD=90°,∠MBD+∠ABD=90°,
∴∠FBM=∠ABD,
∵四邊形BDEF為正方形,
∴BF=BD,
在△ABD和△BMF中,
∠BAD=∠BMF,∠ABD=∠MFB,BD=BF,
∴△ABD≌△BMF(AAS),
設(shè)AD=FM=a,則有F(4,2+a),C(0,2),
由三角形中位線可得G為CF的中點(diǎn),
∴G(2,2+12a),同理得到△DHE≌△BAD,
∴EH=AD=a,OH=OA+AD+DH=4+a,
∴E(4+a,a),∴2(2+12a)=a(4+a),即a2+3a-4=0,解得:a=1或a=-4(舍去),
∴E(5,1),
把F代入反比例解析式得:k=5.
故答案為:5.
【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),解一元二次方程,以及反比例函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
三、解答題
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，連接CO，過(guò)C作CD⊥x軸于D，已知tan∠ABO＝，OB＝4，OD＝2．
（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上有一點(diǎn)E，使△CDE與△COB的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）（－6，0）或（2，0）
【分析】（1）根據(jù)解直角三角形求得點(diǎn)A、點(diǎn)B以及點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得一次函數(shù)解析式，利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)△CDE與△COB的面積相等，求得DE的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【解析】解：（1）∵OB=4，OD=2
∴DB=2+4=6
∵CD⊥x軸， tan∠ABO＝
∴OA=2，CD=3
∴A（0，2），B（4，0），C（－2，3）
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則

解得
∴直線AB解析式為
設(shè)反比例函數(shù)解析式為，
得m=－2×3=－6
∴反比例函數(shù)解析式為
（2）∵△CDE與△COB的面積相等
∴
∴DE=OB=4
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－6，0）或（2，0）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，需要掌握根據(jù)待定系數(shù)法求兩個(gè)函數(shù)解析式的方法．解答此類試題時(shí)注意：求一次函數(shù)解析式需要圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而求反比例函數(shù)解析式需要圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
20．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)（m，n為常數(shù)，且，）與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
(1)若；
①求m，n的值；
②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
(2)當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，求的值．
【答案】(1)①， ②
(2)20
【分析】（1）①根據(jù)題意得到m與n的關(guān)系式，再結(jié)合，求出m、n的值即可；②分類討論解不等式即可；
（2）根據(jù)題意得到mn的值，再結(jié)合，利用完全平方公式即可求得的值．
【解析】（1）解： ①（m，n為常數(shù)，且，）與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
，
，
，
解得，
，；
②、由①可知，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
；
當(dāng)時(shí)，，
解得，
無(wú)解；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，求的取值范圍為；
（2）點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
，
由（1）可知，
，
的值為20．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，反比例函數(shù)性質(zhì)，完全平方公式．熟練掌握完全平方公式的變形以及反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
21．某品牌的飲水機(jī)的運(yùn)作程序：開機(jī)后，20℃的水經(jīng)過(guò)熱交換器吸收熱能，以每分鐘上升6℃的速度加熱到80℃，再進(jìn)入開水器，以每分鐘上升10℃的速度從80℃加熱到100℃，停止加熱，水溫下降，此時(shí)水溫與開機(jī)后用時(shí)成反比例關(guān)系，直至水溫降至20℃，開機(jī)后進(jìn)入此程序的整個(gè)過(guò)程中，水溫y（℃）與開機(jī)后用時(shí)x（min）之間的函數(shù)圖象如圖所示，求在這個(gè)過(guò)程中：
（1）水溫第一次達(dá)到80℃的時(shí)間；
（2）經(jīng)過(guò)熱交換器過(guò)程中，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式與水溫下降過(guò)程中，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）水溫不低于20℃且不超過(guò)50℃的時(shí)間段．
【答案】（1）10min；（2）y1=6x+20 （0≤x≤10） ；；（3）0≤x≤5或 24≤x≤60．
【分析】（1）根據(jù)每分鐘上升6℃直接列式計(jì)算；
（2）求出一次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，20）和（10，80），反比例函數(shù)解析式過(guò)點(diǎn)（12，100），用待定系數(shù)法分別求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式即可；
（3）分別將y=50代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x的值，即可得出結(jié)果.
【解析】解：（1）由題意得：(80－20)÷6=10(min)，
∴水溫第一次達(dá)到80℃的時(shí)間是10min；
（2）設(shè)熱交換器過(guò)程中，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y1=kx+b（k≠0），
∵函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)（0，20）和（10，80），
∴，解得：，
∴熱交換器過(guò)程中，y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y1=6x+20（0≤x≤10）；
(100-80)÷10=2min，2+10=12，
∴反比例函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)（12，100）
設(shè)水溫下降過(guò)程中，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：，
將點(diǎn)（12，100）代入可得：k=12×100=1200，
∴，
當(dāng)y2=20時(shí)，x=60，
∴水溫下降過(guò)程中，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為： ；
（3）將y=50代入y1=6x+20可得：x=5，
將y=50代入可得：x=24，
∴當(dāng)0≤x≤5或 24≤x≤60時(shí)水溫不低于20℃且不超過(guò)50℃.
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)的思想解答．
22．平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在函數(shù)y1＝（x＞0），與y2＝﹣（x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標(biāo)分別為a、b．（a、b為任意實(shí)數(shù)）
（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；
（2）作邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE，使AC∥x軸，點(diǎn)D在點(diǎn)A的左上方，那么，當(dāng)a≥3時(shí)，CD邊與函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象有交點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）3；（2）見(jiàn)解析．
【分析】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（a，）、（b，﹣），AB∥x軸，則，即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)A（a，），則點(diǎn)C（a﹣2，），點(diǎn)D（a﹣2，），點(diǎn)F（a﹣2，），驗(yàn)證2﹣FC≥0，即可求解
【解析】解：（1）A、B的橫坐標(biāo)分別為a、b，
則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（a，）、（b，﹣），
AB∥x軸，則，
則a＝﹣b，AB＝a﹣b＝2a，
S△OAB＝×2a×＝3；
（2）如圖所示：
∵a≥3，AC＝2，則直線CD在y軸右側(cè)且平行于y軸，CD與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為F，
設(shè)點(diǎn)A（a，），則點(diǎn)C（a﹣2，），點(diǎn)D（a﹣2，），點(diǎn)F（a﹣2，）
則2﹣FC＝2﹣+＝，
∵a≥3，∴a﹣3≥0，a﹣2＞0，
故2﹣FC≥0，F(xiàn)C≤2，
即點(diǎn)F在線段CD上，
即當(dāng)a≥3時(shí)，CD邊與函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象有交點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)和正方形的性質(zhì)，該類問(wèn)題最重要的就是，確定關(guān)鍵點(diǎn)如點(diǎn)D、F的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
23．如圖，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與一次函數(shù)y＝x的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限）．
（1）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4時(shí)．
①求k的值；
②根據(jù)反比例函數(shù)的圖象，直接寫出當(dāng)﹣4＜x＜2（x≠0）時(shí)，y的取值范圍；
（2）點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，∠ACB＝90°，且△ACB的面積為10，求k的值．
【答案】（1）①k＝12；②y的取值范圍是y＜﹣3或y＞6；（2）k＝6.
【分析】（1）①先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝（k＞0）即可求得k值；②求得當(dāng)x＝﹣4和 x＝2時(shí)y的值，結(jié)合圖像，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求得y的取值范圍；（2）設(shè)點(diǎn)A為（a，），根據(jù)勾股定理求得OA＝，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性及直角三角形斜邊的性質(zhì)可得OA＝OB＝OC＝，根據(jù)三角形的面積公式求得a＝，即可得點(diǎn)A為（2，），代入即可求得k值.
【解析】（1）①將x＝4代入y＝x得，y＝3，
∴點(diǎn)A（4，3），
∵反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與一次函數(shù)y＝x的圖象交于A點(diǎn)，
∴3＝，∴k＝12；
②∵x＝﹣4時(shí)，y＝＝﹣3，x＝2時(shí)，y＝6，
∴由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)﹣4＜x＜2（x≠0）時(shí)，
y的取值范圍是y＜﹣3或y＞6；
（2）設(shè)點(diǎn)A為（a，），
則OA＝＝，
∵點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，∠ACB＝90°，且△ACB的面積為10，
∴OA＝OB＝OC＝，
∴S△ACB＝ ==＝10，
解得，a＝，
∴點(diǎn)A為（2，），
∴＝，
解得，k＝6.
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟知反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
24．已知反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一、三象限．
（1）判斷點(diǎn)在第幾象限
（2）若點(diǎn)，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，試比較a，b，c的大小關(guān)系
（3）設(shè)反比例函數(shù)，已知，且滿足當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是．求x為何值時(shí)，．
【答案】（1）第二象限；（2）a＞c＞b；（3）
【分析】（1）由反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一三象限確定的取值范圍，從而判斷點(diǎn)所在象限；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性及點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行分析判斷；
（3）利用反比例函數(shù)的增減性確定函數(shù)最值時(shí)的值，從而列方程求解．
【解析】解：（1）反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，
，，
點(diǎn)在第二象限；
（2）反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，
在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，
又點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，
可得，
解得：a＞c＞b，
，，的大小關(guān)系為：a＞c＞b；
（3），
反比例函數(shù)位于第二、四象限，
在每一象限內(nèi)隨的增大而增大，
又，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
，
解得：（不合題意，舍去）或，
將時(shí)，代入中，
，
，，
若，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
25．如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)(x>0,m是常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),B(a,b),其中a>1.過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB.
(1)若△ABD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)求證：DC∥AB；
(3)當(dāng)AD=BC時(shí)，求直線AB的函數(shù)解析式.
【答案】（1）(3, )；（2）見(jiàn)解析；（3）y=?2x+6或y=?x+5.
【分析】（1）由函數(shù)（x>0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)A（1，4），可求m=4，由已知條件可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，），又由△ABD的面積為4，即a（4-）=4，得a=3，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）；
（2）依題意可證， ，，所以DC∥AB；
（3）由于DC∥AB，當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)AD∥BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入），是y=-2x+6．
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，可求點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入），是y=-x+5．
【解析】(1)∵函數(shù) (x>0,m是常數(shù))圖象經(jīng)過(guò)A(1,4)，
∴m=4.
∴y= ，
設(shè)BD,AC交于點(diǎn)E,據(jù)題意,可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, ),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, ),E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, )，
∵a>1，
∴DB=a,AE=4?.
由△ABD的面積為4,即a(4?)=4，得a=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, )；
(2)證明：據(jù)題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)，DE=1，
∵a>1，
易得EC=，BE=a?1，
∴.
∴且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；
(3)∵DC∥AB，
∴當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)AD∥BC時(shí),四邊形ADCB是平行四邊形,由(2)得，
=a?1，
∴a?1=1，得a=2.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2).
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得 ，
解得.
故直線AB的函數(shù)解析式是y=?2x+6.
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，
∴a=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,1).
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得 ，
解得 ，
故直線AB的函數(shù)解析式是y=?x+5.
綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=?2x+6或y=?x+5.
【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵在于把已知點(diǎn)代入解析式.
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)，分別是軸和軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．
（1）求，的值及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1），，；（2），矩形，理由見(jiàn)解析；（3），
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式可求出，的值，然后利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)題意求出AB和CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，然后求出∠BCD的度數(shù)，即可判斷四邊形的形狀；
（3）分兩種情況和討論，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入表達(dá)式求解即可．
【解析】（1）把和分別代入得：，；
把代入得：．
所求反比例函數(shù)解析式為．
（2），
設(shè)的解析式為，
又：，在軸的正半軸上，
的坐標(biāo)為，
將代入得：．
∴解析式為，
∴，
以點(diǎn)、、、構(gòu)成的四邊形是矩形，理由如下：
，，，
又
四邊形是平行四邊形
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則
故和都等腰直角三角形，
，
是矩形．
（3）①當(dāng)時(shí)，
作軸，過(guò)A點(diǎn)作軸，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴在和中，
，
∴．
又∵，
∴，
∴設(shè)，
將代入，
得：，
解得：，
，
②當(dāng)時(shí)，
如圖所示，過(guò)M點(diǎn)作軸，作，
同理，可證得，
∴，
∴設(shè)，
將代入，
得：，
解得：，（舍去）
，
綜上所述：的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和幾何圖形結(jié)合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
27．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿足，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸，垂足分別為，，與反比例函數(shù)分別交于，兩點(diǎn)，連結(jié)，，．
（1）求的值并結(jié)合圖象求出的取值范圍；
（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將沿著直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，得到四邊形，問(wèn)：四邊形能否為菱形？若能，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．
【答案】（1），；（2） 或；（3）能，
【分析】（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由兩函數(shù)有交點(diǎn)求出m的值，根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)，則，，可得，再設(shè)，則，進(jìn)而求出，，將代入可得知，將代入可得知，進(jìn)而求出a、b的值即可得出結(jié)論.
（3）當(dāng)OC＝OD時(shí)，四邊形O′COD為菱形，由對(duì)稱性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，由此時(shí)P橫縱坐標(biāo)相等且在直線y＝?x＋6上即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴把代入，解得，
∴令，
解得：，
由圖像可知表示一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方的取值范圍，
∴；
（2）如圖，連接OP，
設(shè)，則，
∵點(diǎn)D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，，
在上，
∴，∴①，
在上，∴②，
解①②得，，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)是或.
（3）四邊形能為菱形，
∵當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，
∴由對(duì)稱性得到，即，
∴此時(shí)橫縱坐標(biāo)相等且在直線上，即，
解得：，即.
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，在解答此題時(shí)要注意利用數(shù)形結(jié)合求解．
28．探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)
（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是 ；
（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中，函數(shù)的圖象大致是 ；
（3）對(duì)于函數(shù)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
請(qǐng)將下面求解此問(wèn)題的過(guò)程補(bǔ)充完整：
解：∵，
∴ ．
∵，
∴的取值范圍為 ．
【拓展應(yīng)用】
（4）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）C；（3）6，；（4）．
【分析】（1）根據(jù)分母不為0即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)自變量的取值范圍和特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可；
（3）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行等價(jià)變形，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
（4）模仿（3）中的解題過(guò)程即可．
【解析】解：（1）∵自變量x在分母的位置，
∴函數(shù)的自變量的取值范圍是．
故答案為：．
（2）∵函數(shù)的自變量的取值范圍是，
∴排除A選項(xiàng)．
當(dāng)x>0時(shí)，，所以，所以排除B，D選項(xiàng)．
故選：C．
（3）∵，
∴．
∵，
∴的取值范圍為．
故答案為：6；．
（4）．
∵
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)圖象，反比例函數(shù)和一次函數(shù)知識(shí)的遷移，正確理解題意是解題關(guān)鍵，
29．如圖1，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)分別作軸和軸的平行線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)、，作直線，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為．
①點(diǎn)坐標(biāo)為______，點(diǎn)坐標(biāo)為______，直線的函數(shù)表達(dá)式為______；
②點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；
（2）連接、．
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；
②如圖2，試證明的面積是個(gè)定值．
【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝?2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（?1，0），E（0，2）；（2）①；②見(jiàn)詳解
【分析】（1）①把x＝2代入中，求得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得C點(diǎn)坐標(biāo)，把y＝4代入中，求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得B點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得BC的解析式；
②設(shè)D（m，0），E（0，n），顯然BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)不存在，則BC必為平行四邊形的邊，分別兩種情況BE∥CD或BD∥CE，求出結(jié)果便可；
（2）①設(shè)M（m，），則B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由兩點(diǎn)距離公式求得OB；②延長(zhǎng)MC與x軸交于點(diǎn)A，設(shè)M（m，），則B（，），C（m，），A（m，0），根據(jù)梯形面積公式和三角形的面積公式計(jì)算便可得答案．
【解析】解：（1）①∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），BM∥x軸，CM∥y軸，
∴xC＝2，yB＝4，
把y＝4代入中，得x＝1，
∴B(1，4)，
把x＝2代入中，得y＝2，
∴C（2，2），
把B、C的坐標(biāo)都代入y＝kx＋b中，得，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y＝?2x＋6．
故答案為：(1，4)；（2，2）；y＝?2x＋6；
②設(shè)D（m，0），E（0，n），
當(dāng)四邊形BEDC為平行四邊形時(shí)，
∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，
∴1?0＝2?m，4?n＝2?0，
∴m＝1，n＝2，
∴D(1，0)，E(0，2)，
當(dāng)四邊形BDEC為平行四邊形時(shí)，
∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE，
∴1?m＝2?0，4?0＝2?n，
∴m＝?1，n＝?2，
∴D（?1，0），E（0，2），
綜上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（?1，0），E（0，2）；
（2）①設(shè)M（m，），則B（，），C（m，），
∵OB＝OC，
∴OB2＝OC2，
∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8，
∴OB＝；
②延長(zhǎng)MC與x軸交于點(diǎn)A，
設(shè)M（m，），則B（，），C（m，），A（m，0），
∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m，
∴S△OBC＝S梯形OAMB?S△BCM?S△OAC
＝(＋m)? ?×??m?＝3，
∴△BOC的面積是個(gè)定值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵在于分情況討論，數(shù)形結(jié)合正確根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)表示線段長(zhǎng)度．