七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略(蘇科版)專題07同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方壓軸題八種模型全攻略(原卷版+解析)

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專題07 同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方壓軸題八種模型全攻略 【考點(diǎn)導(dǎo)航】 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc20622" 【典型例題】  PAGEREF _Toc20622 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3782" 【考點(diǎn)一 同底數(shù)冪相乘】  PAGEREF _Toc3782 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc4504" 【考點(diǎn)二 同底數(shù)冪乘法的逆用】  PAGEREF _Toc4504 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc31264" 【考點(diǎn)三 已知代數(shù)式的值，求式子的值】  PAGEREF _Toc31264 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc12610" 【考點(diǎn)四 新定義關(guān)于同底數(shù)冪的運(yùn)算】  PAGEREF _Toc12610 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc11938" 【考點(diǎn)五 冪的乘方運(yùn)算】  PAGEREF _Toc11938 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc12125" 【考點(diǎn)六 冪的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc12125 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc24327" 【考點(diǎn)七 積的乘方運(yùn)算】  PAGEREF _Toc24327 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc9512" 【考點(diǎn)八 積的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc9512 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc21334" 【過關(guān)檢測】  PAGEREF _Toc21334 \h 5  【典型例題】 【考點(diǎn)一 同底數(shù)冪相乘】 例題： (2023·江蘇南京·七年級期末）計算的結(jié)果是___________． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·湖南郴州·七年級期末）計算：______． 2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）計算：（1）； （2）； （3）． 【考點(diǎn)二 同底數(shù)冪乘法的逆用】 例題： (2023·山西太原·八年級階段練習(xí)）已知，，則的值為______． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·福建泉州·八年級期中）若，，則＝________． 2． (2023·上海市閔行區(qū)梅隴中學(xué)七年級期中）已知，求_____． 【考點(diǎn)三 已知代數(shù)式的值，求式子的值】 例題： (2023·四川雅安·七年級期中）已知，則的值是__________． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語學(xué)校期末）若，則m的值是________. 2． (2023·湖南·郴州市五雅高級中學(xué)有限公司七年級階段練習(xí)）若a+b+c=3，求的值． 【考點(diǎn)四 新定義關(guān)于同底數(shù)冪的運(yùn)算】 例題： (2023·福建·泉州市第六中學(xué)八年級期中）如果，那么我們規(guī)定，例如：因為，所以． (1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：____________，____________． (2)記，，．求證：． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·江蘇·江陰市青陽初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料： 一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記為an． 如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即=3）． 一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為（即=n）． 如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即=4）． (1)計算以下各對數(shù)的值：=_________，=_________，=_________． (2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式_________________________； (3)由（2）的結(jié)果，請你能歸納出一個一般性的結(jié)論： =_________ ????．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 2． (2023·福建·廈門市杏南中學(xué)八年級期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么． 例如：因為，所以． (1)根據(jù)上述規(guī)定，填空： ______，______，______； (2)小明在研究這種運(yùn)算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：，他給出了如下的證明： 設(shè)，則，即 ∴，即， ∴． 請你嘗試運(yùn)用上述這種方法說明下面這個等式成立的理由．． 【考點(diǎn)五 冪的乘方運(yùn)算】 例題： (2023·上海金山·七年級期末）計算：___________． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海市天山第二中學(xué)七年級期中）計算：． 2． (2023·上海市民辦立達(dá)中學(xué)七年級期中）計算： 【考點(diǎn)六 冪的乘方的逆用】 例題： (2023·福建省福州第十六中學(xué)八年級期中）若，，則______． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·新疆·烏魯木齊市第70中八年級期中）若，，則___________ 2． (2023·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級期中）若，，則___________． 【考點(diǎn)七 積的乘方運(yùn)算】 例題： (2023·吉林長春·八年級期中）計算： ． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海楊浦·七年級期中）計算：． 2． (2023·內(nèi)蒙古·科爾沁左翼中旗教研室八年級期中）計算 (1)； (2)； 【考點(diǎn)八 積的乘方的逆用】 例題： (2023·河北·邯鄲市邯山區(qū)揚(yáng)帆初中學(xué)校八年級期中）計算： (1)已知，求 n 的值； (2)已知 n 是正整數(shù)，且，求的值． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·廣西貴港·七年級期中）（1）算一算，再選“或=”填空： ①_________； ②_________． （2）想一想：____________． （3）利用上述結(jié)論，求． 2． (2023·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中七年級階段練習(xí)）若都是正整數(shù)），則，利用上面結(jié)論解決下面的問題： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代數(shù)式表示． 【過關(guān)檢測】 一、選擇題 1． (2023·重慶巴蜀中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算的結(jié)果是（　?。?A． B． C． D． 2． (2023·四川廣元·八年級期中）下列計算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，則中正確的有（???）個． A．1 B．2 C．3 D．4 3． (2023·河北·邯鄲市邯山區(qū)揚(yáng)帆初中學(xué)校八年級期中）已知 ，則等于（????） A．36 B．72 C．108 D．24 4． (2023·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校七年級期中）已知為奇數(shù)，為偶數(shù)，則下列各式的計算中正確的是（????） A． B． C． D． 5． (2023·吉林· 八年級階段練習(xí)）已知，，則a，b，c的大小關(guān)系是（????） A． B． C． D． 二、填空題 6． (2023·廣西桂林·八年級期中）計算__________． 7． (2023·浙江·杭州綠城育華學(xué)校模擬預(yù)測）計算： ______ ． 8． (2023·上海普陀·七年級期中）已知，那么的值是______． 9． (2023·廣東·廣州市第十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，，則的值是________． 10． (2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關(guān)系式：①；②；③；④．其中，正確的關(guān)系式是____（填序號）． 三、解答題 11． (2023·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級期中）計算： (1)； (2)； (3)． 12． (2023·全國·八年級專題練習(xí)）計算： （1）； （2）（P為正整數(shù)）； （3）（n為正整數(shù)）． 13． (2023·江蘇鹽城·七年級階段練習(xí)）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 14． (2023·江蘇·江陰市華士實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知n為正整數(shù)，且，， (1)求的值； (2)的值； 15． (2023·江蘇·七年級專題練習(xí)）材料：一般地，若（且），那么叫做以為底的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式． 根據(jù)以上材料，解決下列問題： （1）計算： ， ， ； （2）觀察（1）中的三個數(shù)，猜測： （且，，），并加以證明這個結(jié)論； （3）已知：，求和的值（且）．  專題07 同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方壓軸題八種模型全攻略 【考點(diǎn)導(dǎo)航】 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc20622" 【典型例題】  PAGEREF _Toc20622 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3782" 【考點(diǎn)一 同底數(shù)冪相乘】  PAGEREF _Toc3782 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc4504" 【考點(diǎn)二 同底數(shù)冪乘法的逆用】  PAGEREF _Toc4504 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc31264" 【考點(diǎn)三 已知代數(shù)式的值，求式子的值】  PAGEREF _Toc31264 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc12610" 【考點(diǎn)四 新定義關(guān)于同底數(shù)冪的運(yùn)算】  PAGEREF _Toc12610 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc11938" 【考點(diǎn)五 冪的乘方運(yùn)算】  PAGEREF _Toc11938 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc12125" 【考點(diǎn)六 冪的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc12125 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc24327" 【考點(diǎn)七 積的乘方運(yùn)算】  PAGEREF _Toc24327 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc9512" 【考點(diǎn)八 積的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc9512 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc21334" 【過關(guān)檢測】  PAGEREF _Toc21334 \h 11  【典型例題】 【考點(diǎn)一 同底數(shù)冪相乘】 例題： (2023·江蘇南京·七年級期末）計算的結(jié)果是___________． 【答案】 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計算即可求解． 【詳解】解：原式＝ 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·湖南郴州·七年級期末）計算：______． 【答案】 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則計算，即可求解． 【詳解】解：． 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪相乘，熟練掌握同底數(shù)冪相乘法則是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）計算：（1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算即可； （2）先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算出各數(shù)，再合并同類項即可； （3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算即可． 【詳解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，熟知同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加是解答此題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)二 同底數(shù)冪乘法的逆用】 例題： (2023·山西太原·八年級階段練習(xí)）已知，，則的值為______． 【答案】45 【分析】利用同底數(shù)冪的相乘法則的逆運(yùn)算計算即可． 【詳解】解：∵，， ∴． 故答案為：45 【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)的冪的乘法的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的相乘法則的逆運(yùn)算． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·福建泉州·八年級期中）若，，則＝________． 【答案】 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的逆運(yùn)算可進(jìn)行求解． 【詳解】解：∵，， ∴； 故答案為12． 【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的逆運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·上海市閔行區(qū)梅隴中學(xué)七年級期中）已知，求_____． 【答案】6 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)用，即可求解． 【詳解】解：∵， ∴． 故答案為：6． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)用，熟練掌握同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)用法則是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)三 已知代數(shù)式的值，求式子的值】 例題： (2023·四川雅安·七年級期中）已知，則的值是__________． 【答案】 【分析】由可得；然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則代入計算即可 【詳解】解：由可得： ∴ 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、代數(shù)式的值；熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語學(xué)校期末）若，則m的值是________. 【答案】4 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計算即可． 【詳解】解：∵， ∴， ∴1+2m+3m＝21 解得m＝4． 故答案為：4． 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解決此題的關(guān)鍵． 2． (2023·湖南·郴州市五雅高級中學(xué)有限公司七年級階段練習(xí)）若a+b+c=3，求的值． 【答案】1024 【分析】首先利用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，然后計算指數(shù)部分，最后將a+b+c=3代入進(jìn)行計算即可． 【詳解】解： ， ∵a+b+c=3， ∴原式=1024． 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是同底數(shù)的乘法，將a+b+c=3整體代入是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)四 新定義關(guān)于同底數(shù)冪的運(yùn)算】 例題： (2023·福建·泉州市第六中學(xué)八年級期中）如果，那么我們規(guī)定，例如：因為，所以． (1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：____________，____________． (2)記，，．求證：． 【答案】(1)3；4 (2)見解析 【分析】（1）根據(jù)示例要求，直接可求解； （2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘的逆用可求解． （1） 解：∵=27，， ∴，． 故答案為：3；4． （2） 解：因為，，， ∴，，； ∵ 又∵， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪相乘的逆應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確的找到題目給出的規(guī)律． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·江蘇·江陰市青陽初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料： 一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記為an． 如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即=3）． 一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為（即=n）． 如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即=4）． (1)計算以下各對數(shù)的值：=_________，=_________，=_________． (2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式_________________________； (3)由（2）的結(jié)果，請你能歸納出一個一般性的結(jié)論： =_________ ????．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 【答案】(1)2；4；6 (2) (3) 【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解； （2）認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：4×16＝64，； （3）由特殊到一般，得出結(jié)論：． （1） 解：（1）∵22=4，24=16，26=64 ∴， 故答案為：2，4，6； （2） ∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6， ∴， 故答案為：； （3） 由（2）的結(jié)果可得， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題是開放性的題目，借考查同底數(shù)冪的乘法，對數(shù)，實際考查學(xué)生對指數(shù)的理解、掌握的程度；要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會類比、歸納，推測出對數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)． 2． (2023·福建·廈門市杏南中學(xué)八年級期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么． 例如：因為，所以． (1)根據(jù)上述規(guī)定，填空： ______，______，______； (2)小明在研究這種運(yùn)算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：，他給出了如下的證明： 設(shè)，則，即 ∴，即， ∴． 請你嘗試運(yùn)用上述這種方法說明下面這個等式成立的理由．． 【答案】(1)2，2，4； (2)見解析． 【分析】（1）根據(jù)題中規(guī)定的新運(yùn)算結(jié)合有理數(shù)的乘方求解即可； （2）設(shè)，，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可得，然后結(jié)合題中規(guī)定的新運(yùn)算即可證明． 【詳解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案為：2，2，4； （2）解：設(shè)，，則， ∴，，， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)五 冪的乘方運(yùn)算】 例題： (2023·上海金山·七年級期末）計算：___________． 【答案】 【分析】先計算冪的乘方，然后根據(jù)同底數(shù)冪乘法的計算法則求解即可． 【詳解】解：原式 ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方和同底數(shù)冪乘法，熟知冪的乘方指數(shù)相乘，同底數(shù)冪乘法指數(shù)相加是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海市天山第二中學(xué)七年級期中）計算：． 【答案】 【分析】先算同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，再合并同類項即可． 【詳解】解： 【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解題關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握． 2． (2023·上海市民辦立達(dá)中學(xué)七年級期中）計算： 【答案】 【分析】先計算同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方運(yùn)算，再合并同類項即可． 【詳解】解： ． 【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方運(yùn)算，合并同類項，掌握“冪的乘方運(yùn)算與同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)六 冪的乘方的逆用】 例題： (2023·福建省福州第十六中學(xué)八年級期中）若，，則______． 【答案】45 【分析】利用同底數(shù)冪乘法和冪的乘方公式對進(jìn)行變形成含和的形式，再代入計算即可． 【詳解】∵，， ∴． 故答案為：45． 【點(diǎn)睛】考查了同底數(shù)冪乘法和冪的乘方，解題關(guān)鍵是利用同底數(shù)冪乘法和冪的乘方公式對進(jìn)行變形成含和的形式． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·新疆·烏魯木齊市第70中八年級期中）若，，則___________ 【答案】135 【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則把變形為，然后把，代入計算即可． 【詳解】解：，， ， 故答案為：135． 【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方運(yùn)算的的逆運(yùn)算，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級期中）若，，則___________． 【答案】36 【分析】根據(jù)逆用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方進(jìn)行計算即可求解． 【詳解】解：∵，， ∴， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，掌握同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)七 積的乘方運(yùn)算】 例題： (2023·吉林長春·八年級期中）計算： ． 【答案】 【分析】根據(jù)冪的乘方法則和積的乘方法則以及合并同類項法則解答即可． 【詳解】解： 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方，關(guān)鍵是根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法的法則計算． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海楊浦·七年級期中）計算：． 【答案】 【分析】先算積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，再算加減法即可求解． 【詳解】解：原式= = =． 【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，掌握積的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則以及合并同類項法則是關(guān)鍵． 2． (2023·內(nèi)蒙古·科爾沁左翼中旗教研室八年級期中）計算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由積的乘方進(jìn)行化簡，然后合并同類項，即可求出答案； （2）由同底數(shù)冪乘法，冪的乘方進(jìn)行化簡，然后合并同類項，即可求出答案． 【詳解】（1）解： ； （2）解： ； 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法，冪的乘方，積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進(jìn)行化簡． 【考點(diǎn)八 積的乘方的逆用】 例題： (2023·河北·邯鄲市邯山區(qū)揚(yáng)帆初中學(xué)校八年級期中）計算： (1)已知，求 n 的值； (2)已知 n 是正整數(shù)，且，求的值． 【答案】(1)3； (2)4． 【分析】（1）由，得到一元一次方程 ，即可求解； （2）把變形為，再把代入計算即可． 【詳解】（1）解：， ， 解得. （2）解：， 當(dāng)時， 原式 ． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·廣西貴港·七年級期中）（1）算一算，再選“或=”填空： ①_________； ②_________． （2）想一想：____________． （3）利用上述結(jié)論，求． 【答案】（1）①=，②=；（2）；（3）8 【分析】先計算（1）找到計算規(guī)律，然后按照計算規(guī)律計算（2）（3）即可 【詳解】解：（1）① ② 故答案為：①=，②= （2）， 故答案為： （3）． 【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律探究、積的乘方等于乘方的積，根據(jù)初步計算積的乘方發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律是解題關(guān)鍵． 2． (2023·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中七年級階段練習(xí)）若都是正整數(shù)），則，利用上面結(jié)論解決下面的問題： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代數(shù)式表示． 【答案】(1)2 (2)3 (3)y 【分析】（1）利用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，得出關(guān)于x的等式，進(jìn)而即可得出結(jié)果； （2）利用冪的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，即可得出結(jié)果； （3）由，可得，把變形為y，代入即可． （1） ∴x+3=5， ∴x=2； （2） ∴ ∴x+1=4， ∴x=3； （3） ． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，掌握冪的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵． 【過關(guān)檢測】 一、選擇題 1． (2023·重慶巴蜀中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算的結(jié)果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則解決此題． 【詳解】解： 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵． 2． (2023·四川廣元·八年級期中）下列計算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，則中正確的有（???）個． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接利用積的乘方、冪的乘方，同底數(shù)冪的運(yùn)算，即可計算得出選項． 【詳解】解：（1），原計算錯誤，不符合題意； （2），原計算錯誤，不符合題意； （3），原計算正確，符合題意； （4）若，，則，原計算正確，符合題意； 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方、積的乘方，同底數(shù)冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是能熟記法則的內(nèi)容． 3． (2023·河北·邯鄲市邯山區(qū)揚(yáng)帆初中學(xué)校八年級期中）已知 ，則等于（????） A．36 B．72 C．108 D．24 【答案】B 【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方的法則對所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值進(jìn)行運(yùn)算． 【詳解】解：， 當(dāng)時， 原式 ； 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則． 4． (2023·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校七年級期中）已知為奇數(shù)，為偶數(shù)，則下列各式的計算中正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則分別運(yùn)算，即可獲得答案． 【詳解】解：若為奇數(shù)，為偶數(shù)，則 A．，該選項運(yùn)算錯誤，不符合題意； B．，該選項運(yùn)算錯誤，不符合題意； C．，該選項運(yùn)算錯誤，不符合題意； D． ，該選項運(yùn)算正確，符合題意． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵． 5． (2023·吉林· 八年級階段練習(xí)）已知，，則a，b，c的大小關(guān)系是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算，可得，，，即可求解． 【詳解】解∶ ， ， ， ∵， ∴． 故答案為：A 【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方的逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． 二、填空題 6． (2023·廣西桂林·八年級期中）計算__________． 【答案】 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的計算法則求解即可． 【詳解】解：， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，熟知同底數(shù)冪乘法底數(shù)不變，指數(shù)相加是解題的關(guān)鍵． 7． (2023·浙江·杭州綠城育華學(xué)校模擬預(yù)測）計算： ______ ． 【答案】 【分析】利用積的乘方、冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算求值即可． 【詳解】解： 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方、冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 8． (2023·上海普陀·七年級期中）已知，那么的值是______． 【答案】 【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，之后根據(jù)，即可得出答案． 【詳解】解： ， ， ． 故答案為： ． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與同底數(shù)冪乘法，掌握冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵． 9． (2023·廣東·廣州市第十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，，則的值是________． 【答案】5 【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)用，即可求解． 【詳解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案為：5 【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)用．熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵． 10． (2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關(guān)系式：①；②；③；④．其中，正確的關(guān)系式是____（填序號）． 【答案】①②③ 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求出a、b、c的關(guān)系，代入各式驗證即可． 【詳解】解：∵，，． ∴，，， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， 于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， 所以a+c＝2b，因此①正確； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，因此②正確； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正確； ④b＝a+1，因此④不正確； 綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③三個， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則，得出a、b、c的關(guān)系． 三、解答題 11． (2023·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級期中）計算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法即可 （2）計算各項的冪的乘方即可 （3）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法即可 【詳解】（1） （2） （3） 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的混合運(yùn)算，掌握冪的運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵． 12． (2023·全國·八年級專題練習(xí)）計算： （1）； （2）（P為正整數(shù)）； （3）（n為正整數(shù)）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先根據(jù)乘方的符號法則化簡，再利用同底數(shù)冪的乘法計算即可； （2）先根據(jù)乘方的符號法則化簡，再利用同底數(shù)冪的乘法計算即可； （3）先把32化為的形式，利用乘方的符號法則化簡，再利用同底數(shù)冪的乘法計算即可． 【詳解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【點(diǎn)睛】本題考察同底數(shù)冪的乘法，乘方的符號法則．熟記同底數(shù)冪的乘法的計算法則，能用乘方的符號法則化簡負(fù)號是解題關(guān)鍵． 13． (2023·江蘇鹽城·七年級階段練習(xí)）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用冪的乘方法則，同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，即可得出答案； （2）由，得出，再利用冪的乘方法則，同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，即可得出答案． 【詳解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與同底數(shù)冪乘法，掌握冪的乘方法則，同底數(shù)冪的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵． 14． (2023·江蘇·江陰市華士實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知n為正整數(shù)，且，， (1)求的值； (2)的值； 【答案】(1)72 (2)20 【分析】（1）根據(jù)，，運(yùn)用整體代入法計算即可； （2）根據(jù)，運(yùn)用整體代入法計算即可． （1） ∵，， ∴原式=， ， ； （2） ∵， ∴原式=， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法法則，掌握冪的乘方法則是解題的關(guān)鍵． 15． (2023·江蘇·七年級專題練習(xí)）材料：一般地，若（且），那么叫做以為底的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式． 根據(jù)以上材料，解決下列問題： （1）計算： ， ， ； （2）觀察（1）中的三個數(shù)，猜測： （且，，），并加以證明這個結(jié)論； （3）已知：，求和的值（且）． 【答案】（1）2，4，6；（2），證明見解析；（3）10，15． 【分析】（1）根據(jù)22=4，24=16，26=32寫成對數(shù)式即可； （2）設(shè)logaM=x，logaN=y，根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：ax=M，ay=N，據(jù)此計算即可； （3）由loga3=5，得a5=3，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可． 【詳解】（1）∵22=4，24=16，26=32， ∴l(xiāng)og24=2；log216=4；log264=6． 故答案為：2；4；6； （2）設(shè)logaM=x，logaN=y， 則ax=M，ay=N，∴M?N=ax?ay=ax+y， 根據(jù)對數(shù)的定義，x+y=logaMN， 即logaM+logaN=logaMN． 故答案為：logaMN． （3）由loga3=5，得a5=3． ∵9=3×3=a5?a5=a10，27=3×3×3=a5?a5?a5=a15， ∴根據(jù)對數(shù)的定義，loga9=10，loga27=15． 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解新定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．