高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章　平面解析幾何2.7 拋物線及其方程2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)測試題

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章　平面解析幾何2.7 拋物線及其方程2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)測試題，共5頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標準方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12yD．x2＝±6y
2．若拋物線y2＝2px的焦點與雙曲線－y2＝1的右焦點重合，則p的值( )
A．1B．－1
C．4D．6
3．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，則|AB|的值為( )
A．10B．8
C．6D．4
4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點M在拋物線C上，點N在準線l上，且MN⊥l.若|MF|＝8，∠MFN＝60°，則p的值為( )
A．8B．4
C．2D．1
二、填空題
5．拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為________．
6．直線3x－4y＝0與拋物線W：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線W的焦點，若|AB|＝5，則△ABF的面積為________．
7．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線＝1相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________．
三、解答題
8．已知定點A(－3，0)，B(3，0)，動點P在拋物線y2＝2x上移動，求·的最小值．
9.已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．
(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離．
[尖子生題庫]
10．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)為定值；
(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.
課時作業(yè)(二十四) 拋物線的幾何性質(zhì)
1．解析：依題意知拋物線方程為x2＝±2py(p＞0)的形式，又eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，2p＝12，故方程為x2＝±12y.
答案：C
2．解析：eq \f(p,2)＝eq \r(3＋1)?p＝4，解得p＝4.
答案：C
3.
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由拋物線定義知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
答案：B
4．解析：由拋物線的定義可得|NM|＝|MF|＝8，又∠MFN＝60°，
故△MFN為等邊三角形，所以∠NMF＝60°且|MN|＝|MF|＝|NF|＝8，
因為MN平行于x軸，故MF的傾斜角為60°.
故∠NFO＝60°，F(xiàn)到準線的距離為8cs60°＝4，即p＝4.故選B.
答案：B
5．解析：不妨設(shè)A(x，2eq \r(3))，則(2eq \r(3))2＝4x，所以x＝3，所以AB的方程為x＝3，拋物線的焦點為(1，0).所以焦點到AB的距離為2.
答案：2
6．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝0,y2＝2px))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(32p,9),y＝\f(8p,3)))，
所以|AB|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(\f(322p2,81)＋\f(64p2,9))＝eq \r(\f(322＋242,81)p2)，
而|AB|＝5，
可得eq \r(\f(322＋242,81)·p2)＝5，解得p＝eq \f(9,8)，即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，0))，
所以F到直線AB的距離
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3×\f(9,16))),\r(32＋（－4）2))＝eq \f(27,16×5)，
所以S△ABF＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \f(1,2)×5·eq \f(27,16×5)＝eq \f(27,32).
答案：eq \f(27,32)
7．解析：由題意知Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,\r(3))，－\f(p,2)))，代入方程eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得p＝6.
答案：6
8．解析：設(shè)P(x，y)，則y2＝2x，因為A(－3，0)，B(3，0)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(x＋3，y)·(x－3，y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，故當x＝0時，取得最小值為－9.
9．解析：(1)因為直線l的傾斜角為60°，
所以其斜率k＝tan60°＝eq \r(3).
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以直線l的方程為y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0.
若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是線段AB的中點M的橫坐標是3，又準線方程是x＝－eq \f(3,2)，
所以M到準線的距離等于3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
10．證明：(1)由已知得拋物線焦點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px，
得y2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
由y1，y2是方程(*)的兩個實數(shù)根，所以y1y2＝－p2.
因為y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2px1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2px2，所以y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4p2x1x2，
所以x1x2＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4p2)＝eq \f(p4,4p2)＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))
＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4)).
因為x1x2＝eq \f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，
代入上式，
得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)（|AB|－p）＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)(定值).
(3)設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，分別過A，B作準線的垂線，垂足為C，D，過M作準線的垂線，垂足為N，
則|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)
＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|.
所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．