【同步講義】（人教A版2019）高中數(shù)學(xué)必修二：第32講 直線與平面垂直 講義

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?第32講 直線與平面垂直

目標(biāo)導(dǎo)航


課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1. 了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念.2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用定理判定線面垂直.3.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并會(huì)用定理證明相關(guān)問題．


1.本節(jié)主要內(nèi)容是在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間直線與平而垂直的定義:通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理:能運(yùn)用直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題教學(xué)重點(diǎn)是通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的過程，其核心是理解判定定理、性質(zhì)定理的條件由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)在不同語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，把線面垂首問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題
2.直線與平面重直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，世為平面與平面重直的研究做了灘各線公全 屏面垂直是在學(xué)生掌握了線在面內(nèi)、線面平行之后緊接著研究的線面相交位置關(guān)系中的行中，我們研究了定義、判定定理以及性質(zhì)定理，為本節(jié)課提供了研究?jī)?nèi)容和研究方“下一篇面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的教學(xué)，盡管新課標(biāo)在必修課程中不要求證明，但通過5A程，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺以及運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)

知識(shí)精講


知識(shí)點(diǎn)01 直線與平面垂直的定義
定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法
l⊥α
有關(guān)概念
直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足
圖示

畫法
畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

【即學(xué)即練1】　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
答案　B
解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1?平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.


知識(shí)點(diǎn)02 直線與平面垂直的判定定理
文字語(yǔ)言
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號(hào)語(yǔ)言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
圖形語(yǔ)言



【即學(xué)即練2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.

證明　∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
反思感悟　證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)．
(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．
(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．
(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.
(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．

知識(shí)點(diǎn)03 直線與平面所成的角
有關(guān)概念
對(duì)應(yīng)圖形
斜線
一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA

斜足
斜線和平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)A
射影
過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO
直線與平面所成的角
定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO
規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°
取值范圍
設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°

【即學(xué)即練3】　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．

(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角．
解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.

∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.
反思感悟
　(1)求直線與平面所成角的關(guān)鍵是尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的垂線、垂足與斜足的連線即為直線在平面內(nèi)的射影，直線與直線在平面內(nèi)射影所成的角即為線面角．
(2)通過作輔助線找垂線，確定線面角，提升直觀想象、邏輯推理的素養(yǎng)．

知識(shí)點(diǎn)04 直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
符號(hào)語(yǔ)言
?a∥b
圖形語(yǔ)言


反思感悟
一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．
【即學(xué)即練4】如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求AE與平面BDE所成角的大小．
(1)證明　∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE?平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解　設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，如圖所示．

∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，即AE與平面BDE所成的角為30°.


能力拓展


考法01 直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解

【典例1】(多選)下列命題中，不正確的是(　　)
A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α
B．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線
C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直
D．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α
答案　ABD
解析　當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若l在α內(nèi)，l也可以和α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故D錯(cuò)誤．
反思感悟　對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事．
【變式訓(xùn)練】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào))
答案?、佗邰?br /> 解析　根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件．


考法02 直線與平面垂直的判定

【典例2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD.

證明　∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方體的棱長(zhǎng)為2，連接OM，A1M(圖略)，
則A1O＝，OM＝，A1M＝3，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，
∴A1O⊥平面MBD.
反思感悟　證明線面垂直的方法
(1)由線線垂直證明線面垂直：
①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時(shí)需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．
(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.

【變式訓(xùn)練】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．

(1)求證：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
證明　(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.


考法03 直線與平面垂直的性質(zhì)

【典例3】在四面體P－ABC中，若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影一定是△ABC的(　　)
A．外心 B．內(nèi)心
C．垂心 D．重心
答案　A
解析　如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)O，連接OP，則PO⊥平面ABC，

連接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
又PA＝PB＝PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB
≌Rt△POC，
則OA＝OB＝OC，
∴O為△ABC的外心．


【變式訓(xùn)練】如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，則AB1與平面BB1C1C所成角的大小為(　　)

A．45° B．60°
C．30° D．75°
答案　A
解析　取BC的中點(diǎn)D，連接AD，B1D，

∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即為AB1與平面BB1C1C所成的角．
設(shè)AB＝，則AA1＝1，AD＝，AB1＝，
∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.
即AB1與平面BB1C1C所成的角為45°.


分層提分


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一、單選題
1．已知所在的平面為，，是兩條不同的直線，，，，，則直線，的位置關(guān)系是（??????）
A．相交 B．異面 C．平行 D．不確定
【答案】C
【解析】由，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得結(jié)果
【詳解】因?yàn)?，?br /> 又，所以，
同理可證，所以//.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理，屬基礎(chǔ)題.
2．設(shè)l，m是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（????）
A．若，，則 B．若，，
C．若，，則 D．若，，，則
【答案】D
【分析】依據(jù)線面垂直判定定理去判斷各個(gè)選項(xiàng)即可解決.
【詳解】選項(xiàng)A：若，，則或或相交.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：若，，則或或相交.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：若，，則或或相交.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：若，，則，又，則.判斷正確.
故選：D
3．下列命題為真命題的是（????）
A．若直線l與平面α上的兩條直線垂直，則直線l與平面α垂直
B．若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行
C．若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直
D．若直線l上的不同兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α平行
【答案】B
【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理、空間直線平面間的位置關(guān)系判斷．
【詳解】A. 若直線l與平面α上的兩條直線垂直，當(dāng)平面內(nèi)兩條直線平行時(shí)，直線l與平面α不一定垂直，A錯(cuò)；
B. 若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行，這是線面垂直的性質(zhì)定理，B正確；
C. 若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直，這兩個(gè)平面可以相交，也可以平行，C錯(cuò)；
D. 若直線l上的不同兩點(diǎn)到平面α的距離相等，直線l與平面α可能相交也可能平行，D錯(cuò)．
故選：B．
4．已知、是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則（????）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】根據(jù)空間中線與面的位置關(guān)系判斷即可.
【詳解】解：對(duì)于A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，，則或或或與相交（不垂直），故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，，由線面垂直的性質(zhì)可得，故D正確；
故選：D
5．如圖，正方體中，E?F是線段A1C1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF長(zhǎng)為定值，下列結(jié)論中不正確的是（????）

A． B．面CEF
C．三角形BEF和三角形CEF的面積相等 D．三棱錐B-CEF的體積為定值
【答案】C
【分析】由正方體的性質(zhì)知面，由△BEF和△CEF的底邊上的高不相等可知它們的面積不相等，又點(diǎn)到面的距離為定值，即可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】面，面，面與面重合，所以A，B均正確，
到的距離為的高，到的距離即為，所以的面積大于的面積， C錯(cuò)誤；
點(diǎn)到面的距離為定值，為長(zhǎng)，的面積也為定值， D正確.
故選：C.
6．已知四面體中，，，，是的中點(diǎn)，，，則四面體的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知題意作出幾何圖形，經(jīng)過分析可知為所在小圓的直徑，所以球心與的中點(diǎn)的連線垂直于平面，然后根據(jù)勾股定理列出方程，則求出球心與的中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)度，再解方程即可求得結(jié)果.
【詳解】
如圖，四面體的外接球?yàn)榍?，連接，．因?yàn)椋?br /> 則為所在小圓的直徑．
又因?yàn)?，且，則．
又是的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)椋瑒t或．
設(shè)球的半徑為，則．
在中，由余弦定理知，
，
則（不合題意，舍去）．
又，則，
則，解得，則球的表面積為．
故選：D
【點(diǎn)睛】求空間幾何體的外接球半徑的常用方法：
1、補(bǔ)形法：側(cè)面為直角、或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ汀？梢赃€原到正方體或長(zhǎng)方體中求解；
2、利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也就是球直徑；
3、定義法：到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)其到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列出方程求解即可.

二、多選題
7．設(shè)，為不重合的兩條直線，，為不重合的兩個(gè)平面，下列命題正確的是（????）
A．若且，則； B．若且，則；
C．若且，則； D．若且，則.
【答案】BD
【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系和面面的位置關(guān)系可以得出答案.
【詳解】解：A：若且，則，可能相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；
B：若且，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；
C：若且，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得與可能平行也可能相交，故C錯(cuò)誤；
D：若且，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確.
故選：BD
8．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.

對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.

對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則，
因?yàn)椋?，故?br /> 所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.

三、填空題
9．在正四面體中，直線與所成角的大小為________．
【答案】
【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系直接證明判斷即可.
【詳解】
如圖所示，
取中點(diǎn)，連接，，
由已知為正四面體，
則，均為正三角形，
所以，，
所以平面，
故，
即直線與直線的夾角為，
故答案為：.
10．若，線段所在直線和平面成30°角，且，則點(diǎn)到平面的距離=___________
【答案】1
【分析】作出線段所在直線和平面成30°角的圖形求解.
【詳解】如圖所示：

，
因?yàn)榫€段所在直線和平面成30°角，
所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
故答案為：1
11．對(duì)于任意給定的兩條異面直線，存在______條直線與這兩條直線都垂直．
【答案】無數(shù)
【分析】平移一條直線與另一條相交并確定一個(gè)平面，再由線面垂直的意義及異面直線所成角判斷作答.
【詳解】令給定的兩條異面直線分別為直線，平移直線到直線，使與直線相交，如圖，

則直線與確定平面，點(diǎn)A是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A有唯一直線，
因此，，即有，由于點(diǎn)A的任意性，
所以有無數(shù)條直線與異面直線都垂直.
故答案為：無數(shù)
12．如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，.固定容器底面一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時(shí)，水面恰好過四點(diǎn)，則的值為___________.

【答案】
【分析】作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，作于點(diǎn)，利用邊角關(guān)系以及線面位置關(guān)系結(jié)合余弦定理求出的值，證明面，即可得點(diǎn)到面的距離，從而得平面到平面的距離，進(jìn)而可得的值.
【詳解】
如圖：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
因?yàn)?，則，
，
又因?yàn)椋詾榈冗吶切?，則，
取的中點(diǎn)，連接，，則，，
，
因?yàn)?，所以面?br /> 則，
，
由余弦定理可得：，
所以，
作于點(diǎn)，因?yàn)槊?，面?br /> 所以，因?yàn)?，所以面?br /> 所以點(diǎn)到面的距離為，
故平面到平面的距離為，
由題意可知：所盛水的體積為平行六面體容器的一半，
所以；
故答案為：.

四、解答題
13．如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，，且，．求證：平面．

【答案】證明見解析.
【分析】由題可得，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得，然后利用線面垂直的判定定理即得.
【詳解】∵在中，D是AB的中點(diǎn)，，
∴,
∵E是PB的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面．
14．如圖所示，在中，側(cè)棱底面，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）設(shè)與交于E，連接DE，則DE為的中位線，即，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）取中點(diǎn)F，連接AF、EF，由題意可得，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理可證，所以平面，所以為直線與平面所成平面角，根據(jù)題中長(zhǎng)度，即可求得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，又，所以即為二面角所成的平面角，根據(jù)題中長(zhǎng)度，即可求得答案；
【詳解】（Ⅰ）證明：設(shè)與交于E，連接DE，如圖所示：

由題意得E、D分別為、AC的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）取中點(diǎn)F，連接AF、EF，如圖所示

由題意得四邊形為矩形，且AC=2，，D為AC中點(diǎn)，
所以且，
所以為等腰直角三角形，又F為中點(diǎn)，
所以.
又D為AC中點(diǎn)，且BA=BC，
所以，
又側(cè)棱底面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，
所以為直線與平面所成平面角，
在中，，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，又平面，
所以，又，
所以即為二面角所成的平面角，
在中，，
所以，且二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．

(1)求證：PA⊥平面PCD；
(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，可得DN⊥PC，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得DN⊥平面PAC，從而得到DN⊥PA，利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）連接AN，由線面角的定義可得，∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，在三角形中，利用邊角關(guān)系求解即可．
【詳解】（1）證明：取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，
由題意可知，DN⊥PC，又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，
所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，
故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN?平面PCD，
則PA⊥平面PCD；

（2）連接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，
則∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，
因?yàn)闉榈冗吶切危珻D＝2且N為PC的中點(diǎn)，
所以DN＝，又DN⊥AN，
在中，sin∠DAN＝，
故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為．
16．如圖，在三棱錐中，，，平面平面，點(diǎn)、（與、不重合）分別在棱，上，且平面．求證：

（1）；
（2）．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得.
（2）通過證明平面證得.
【詳解】（1）由于平面，平面，平面平面，所以.
由于，所以.
（2）平面平面，且這兩個(gè)平面的交線為，，所以平面，
所以，由于，，
所以平面，所以.



題組B 能力提升練

一、單選題
1．在正方體中，直線平面（l與直線不重合），則（????）
A． B．
C．與l異面但不垂直 D．與l相交但不垂直
【答案】B
【分析】由正方體可知平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定．
【詳解】∵平面，直線平面
∴
故選：B．
2．上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（　　）

A．0 B．2 C．4 D．12
【答案】B
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)即可.
【詳解】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)時(shí)針垂直于相鄰的平面，故此時(shí)兩個(gè)時(shí)針互相垂直.
∴每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），
相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2，
故選：B
3．已知點(diǎn)、在平面的兩側(cè)，且點(diǎn)、到的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到的距離為（????）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由線面垂直性質(zhì)得到線線平行，將空間點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為平面線段長(zhǎng)度，再由平面中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，過A、B分別作平面的垂線，垂足為、.
則，四點(diǎn)共面. 過C作，垂足為，則，
又，則.即即為所求點(diǎn)到平面的距離.
在平面中，，C為AB中點(diǎn)，則.
故選：D.

【點(diǎn)睛】立體幾何中點(diǎn)面距離求解的常用方法有：一是“找——證——求”三步法；二是等體積法；三是法向量法.
4．如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（????）

A． B．//平面
C． D．//平面
【答案】B
【分析】A選項(xiàng)可以利用三線合一證明垂直關(guān)系，
B選項(xiàng)可利用“線面平行時(shí)，直線無論怎么平移不會(huì)和平面相交”的性質(zhì)來判斷.
C選項(xiàng)先通過類似A選項(xiàng)的證明得到線線垂直，結(jié)合AC的結(jié)論得到線面垂直后判斷，
D選項(xiàng)可以構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定證明，
【詳解】不妨設(shè)棱柱的高為，.
B選項(xiàng)，根據(jù)棱柱性質(zhì)，//，而平面，若//平面，無論怎樣平移直線，都不會(huì)和平面只有一個(gè)交點(diǎn)，于是得到矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
A選項(xiàng)，計(jì)算可得，，又為的中點(diǎn)，故（三線合一），A選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，連接，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，過，計(jì)算可得，，又為的中點(diǎn)，故（三線合一），結(jié)合A選項(xiàng)，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的側(cè)棱//，故，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，結(jié)合為的中點(diǎn)可知，為中位線，故//，且，即//，且，故四邊形為平行四邊形，故//，由平面，平面，故//平面，D選項(xiàng)正確.
故選：B

5．已知平面內(nèi)的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圖形，如圖，通過分析，可得為與平面所成的角的補(bǔ)角，利用余弦定理可以計(jì)算.
【詳解】作出如下圖形，令，則，，

取中點(diǎn)，連接，則即為與平面所成的角的補(bǔ)角，
在中，，
在中，，
，
，
與平面所成的角的余弦值是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求法，找出所成角，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵.
6．如圖，在中，點(diǎn)Р在所在平面外，點(diǎn)O是P在平面ABC上的射影，且點(diǎn)O在的內(nèi)部．若PA，PB，PC兩兩垂直，那么點(diǎn)О是的（????）

A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【分析】通過線線垂直證線面垂直以及線面垂直證線線垂直，依次可證平面PBC，，，平面PAO，；同理可證，，即得點(diǎn)O是的垂心
【詳解】連接OA、OB、OC，
∵，，平面PBC，，∴平面PBC，
∵平面PBC，∴．
由題意，平面ABC，平面ABC，∴，
又平面PAO，，∴平面PAO，
平面PAO，∴，
同理可證，，∴點(diǎn)O是的垂心．
故選：C


二、多選題
7．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是DD1的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（????）
A．AC⊥B1E
B．B1C∥平面A1BD
C．三棱錐C1﹣B1CE的體積為
D．異面直線B1C與BD所成的角為45°
【答案】AB
【分析】對(duì)于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，從而可得AC⊥B1E；對(duì)于B，利用線面平行的判定定理可判斷；對(duì)于C，由進(jìn)行求解即可；對(duì)于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，從而可得結(jié)果
【詳解】解：如圖，

∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，
又B1E?平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正確；
∵B1C∥A1D，A1D?平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正確；
三棱錐C1﹣B1CE的體積為，故C錯(cuò)誤；
∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，又△CB1D1是等邊三角形，
∴異面直線B1C與BD所成的角為60°，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
【點(diǎn)睛】此題考查線線垂直的判定、線面平行的判定、異面直線所成的角以及體積的計(jì)算等知識(shí)，考查推理能力，屬于中檔題
8．如圖所示，在三棱錐中，，且，為線段的中點(diǎn).則（ ）

A．與垂直
B．與平行
C．點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離相等
D．與平面，與平面所成的角可能相等
【答案】AC
【解析】由題設(shè)可證底面，作中點(diǎn)，由中位線定理可證，易證，再由為外心得到三點(diǎn)距離相等，為外心，可證點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離相等；結(jié)合正切定義可證與平面，與平面所成的角不相等
【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，連接，可得為的中點(diǎn).
因?yàn)椋?，所以平面，所以，從而A正確；
由條件可知，而與有交點(diǎn)，因而與不平行，B錯(cuò)誤；
點(diǎn)是的外心，所以到，，的距離相等，
根據(jù)條件可知平面，從而平面，又因?yàn)槭堑耐庑?，所以點(diǎn)到，，的距離相等，所以點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離都相等，C正確；
與平面所成的角即，與平面所成的角即，，，所以兩個(gè)角不可能相等，D錯(cuò)誤.

故選：AC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查錐體基本性質(zhì)的應(yīng)用，線線垂直的證明，兩直線平行的判斷，錐體外接球球心的判斷，線面角大小的判斷，綜合性強(qiáng)，需掌握以下方法：
（1）能利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理證明線線垂直；
（2）要證兩直線不平行只需證明兩直線或?qū)?yīng)的平行直線相交即可；
（3）尋找錐體外接球球心關(guān)鍵在于先尋找底面三角形外接圓圓心，在垂直于底面外接圓圓心的線段上，再尋找跟頂點(diǎn)與底面任意一頂點(diǎn)相等的點(diǎn).

三、填空題
9．在三棱錐中，點(diǎn)Р在底面ABC內(nèi)的射影為Q，若，則點(diǎn)Q定是的______心．
【答案】外
【分析】由可得，故是的外心.
【詳解】
解：如圖，∵點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影為,∴平面
又∵平面、平面、平面，
∴、、.
在和中，,∴，∴
同理可得：,故
故是的外心.
故答案為：外.
10．菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為O，P是菱形所在平面外一點(diǎn)，平面ABCD，則異面直線AC與PD所成角大小為______．
【答案】##
【分析】根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定進(jìn)行推理即可作答.
【詳解】菱形中，，因平面，平面，則有，

，平面，因此，平面，又平面，從而有，
所以異面直線AC與PD所成角為.
故答案為：
11．在三棱錐中，，點(diǎn)在平面中的射影是的垂心，若，，的面積之和為4，則三棱錐的外接球表面積的最小值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，證明兩兩垂直，進(jìn)而設(shè)，結(jié)合題意得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而得三棱錐的外接球的半徑滿足，最后根據(jù)球的表面積公式求解即可.
【詳解】解：如圖，設(shè)的垂心為，延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面中的射影是的垂心，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面，平面，
因?yàn)槠矫?，平?br /> 所以，
因?yàn)?，，平面?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
所以，兩兩垂直，
所以，三棱錐的外接球即為以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球.
不妨設(shè)，
因?yàn)椋?，的面積之和為4
所以，，即，
因?yàn)?br /> 所以，，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=c等號(hào)成立
所以三棱錐的外接球的半徑滿足，
所以，三棱錐的外接球表面積
所以三棱錐的外接球表面積的最小值為
故答案為：

12．在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.
【答案】##
【分析】設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，O為外接圓的圓心，則，證得平面PAB，則，O即為三棱錐外接球的球心，再由球的表面積公式求解即可.
【詳解】
如圖所示：設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，O為外接圓的圓心，∵，∴O在CD上，且，
，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，
又AB，平面PAB，∴，，在中，，D為AB的中點(diǎn)，∴，
∴，∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，
∴該三棱錐外接球的表面積.
故答案為：.

四、解答題
13．如圖，平面，四邊形為矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動(dòng).

(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）等體積法解決即可；（2）線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理相結(jié)合解決即可.
【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，
，
.
（2）證明：平面，
，
又，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
又，，，
平面，
又平面，
，
由，，，
平面，
平面，
.
14．如圖，在五面體ABCDEF中，已知平面ABCD，，，，．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）先證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)，證明；
（2）在平面內(nèi)作于點(diǎn)，證明是三棱錐的高，即可求三棱錐的體積．
【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面?br /> 所以平面，又平面，平面平面，
所以．
（2）如圖，

在平面內(nèi)過點(diǎn)B作于點(diǎn)．
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br /> 又，平面，，
所以平面，
所以是三棱錐的高．
在直角三角形中，，，所以．
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br /> 又由（1）知，，且，所以，所以，
所以三棱錐的體積．
15．如圖，三棱柱中，是底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐．

（1）求證：；
（2）若異面直線與所成的角為，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，交于，連、，通過證明平面，得到，再根據(jù)，可證結(jié)論成立；
（2）求出，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積可求出結(jié)果.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連，交于，連、，

因?yàn)槭钦忮F，所以三角形為正三角形，所以為三角形的中心，
所以平面，所以，
因?yàn)?，且，所以平面，所以?br /> 又，所以.
（2）因?yàn)?，異面直線與所成的角為，
所以，又是底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐．所以為正三角形，
所以，連，則，
所以，
所以，
所以.
題組C 培優(yōu)拔尖練

1.(多選)如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的是(　　)

A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
答案　ABC
解析　對(duì)于選項(xiàng)A，由題意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD?平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵AB∥CD，AB?平面
SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由對(duì)稱性知SA與平面SBD所成的角與SC與平面SBD所成的角相等，故C正確．

2.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時(shí)，有AB1⊥BC1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)

答案　∠A1C1B1＝90°
解析　如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因?yàn)锳1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等)
3.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求AE與平面BDE所成角的大?。?br /> (1)證明　∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE?平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解　設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，如圖所示．

∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，即AE與平面BDE所成的角為30°.
4.如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)若PD與平面ABCD所成的角為α，當(dāng)α為多少度時(shí)，MN⊥平面PCD?
(1)證明　取PD的中點(diǎn)E，連接NE，AE，如圖．

又∵N是PC的中點(diǎn)，
∴NE∥DC且NE＝DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，
AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)解　當(dāng)α＝45°時(shí)，MN⊥平面PCD，證明如下．
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.