人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊7.4 二項分布與超幾何分布優(yōu)秀學案

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊7.4 二項分布與超幾何分布優(yōu)秀學案，共8頁。學案主要包含了學習目標，自主學習，小試牛刀，經典例題，跟蹤訓練，當堂達標，參考答案等內容，歡迎下載使用。
?7.4　二項分布與超幾何分布
7.4.1　二項分布
【學習目標】
課程標準
素養(yǎng)要求
1.結合生活中的實例,了解二項分布;
2.了解二項分布的均值和方差及其意義.
1.通過具體實例，了解伯努利試驗，了解二項分布的概念.(數學抽象)
2.會利用公式求服從二項分布的隨機變量的概率、均值以及方差.(數學運算)
3.能利用二項分布概率模型解決簡單的實際問題．(數學建模)
【自主學習】
一、 n重伯努利試驗
1. 只包含__________可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
將一個伯努利試驗獨立地重復進行________次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：
（1）同一個伯努利試驗重復做________次；
（2）各次試驗的結果________.
思考：定義中“重復”的含義是什么?

二、 二項分布
1. 一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p（），用X表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為__________，k=0,1,2,…,n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作__________.
2.一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：
（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；
（2）確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的__________；
（3）設X為n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數，則.
3. 如果，那么__________，__________.

【小試牛刀】
1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)
(1）在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響．(　　）
(2）在n次獨立重復試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同．(　　）
(3）如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k）＝，k＝0，1，2，…，n.(　?。?br /> (4）兩點分布是二項分布的特殊情況．(　　）
2.某一批植物種子,如果每1粒發(fā)芽的概率為,那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是(　　)
A. B. C. D.
【經典例題】
題型一 二項分布概念
點撥：二項分布中需要注意的問題
1.當X服從二項分布時，應弄清X～B(n，p）中的試驗次數n與成功概率p.
2.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次．
例1（1）下列說法正確的是________．
①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數X是一個隨機變量，且X～B(10，0.6）；②某福彩的中獎概率為P，某人一次買了8張，中獎張數X是一個隨機變量，且X～B(8，P）；③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數X是隨機變量，且X～B.
（2）已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，則n＝________，p＝________．
【跟蹤訓練】1
某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經過3次射擊,設X表示擊中目標的次數,則P(X≥2)等于________.?
題型二　二項分布的簡單應用
例2 某籃球運動員在訓練過程中,每次從罰球線罰球的命中率是,且每次罰球的結果相互獨立.已知該名籃球運動員連續(xù)4次從罰球線罰球.
(1)求他第1次罰球不中,后3次罰球都中的概率;
(2)求他4次罰球恰好命中3次的概率.




【跟蹤訓練】2 某商場為了了解顧客的購物信息,隨機在商場收集了100位顧客購物的相關數據如表:
一次購物款
(單位:元)
[0,50)
[50,100)
[100,150)
[150,200)
[200,+∞)
顧客人數
20
a
30
20
b
統(tǒng)計結果顯示100位顧客中購物款不低于150元的顧客占30%,該商場每日大約有4 000名顧客,為了增加商場銷售額度,對一次購物不低于100元的顧客發(fā)放紀念品.
(1)試確定a,b的值,并估計每日應準備紀念品的數量;
(2)現(xiàn)有4人前去該商場購物,求獲得紀念品的數量ξ的分布列.
　



題型三　可轉化為與二項分布有關的應用題
例3　一次數學測驗由25道選擇題構成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每道題選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學生選對任一題的概率均為0.6，求此學生在這一次測驗中的成績的數學期望和方差．





【跟蹤訓練】3一出租車司機從某飯店到火車站途中有6個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率是.
(1）求這位司機遇到紅燈數ξ的期望與方差．
(2）若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機總共等待時間η的期望與方差．



【當堂達標】
1.下列隨機變量X不服從二項分布的是(　　)
A.投擲一枚均勻的骰子5次,X表示點數為6出現(xiàn)的次數
B.某射手射中目標的概率為p,設每次射擊是相互獨立的,X為從開始射擊到擊中目標所需要的射擊次數
C.實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球比賽,X表示甲獲勝的次數
D.某星期內,每次下載某網站數據被病毒感染的概率為0.3,X表示下載n次數據電腦被病毒感染的次數
2.在比賽中運動員甲獲勝的概率是,假設每次比賽互不影響,那么在五次比賽中運動員甲恰有三次獲勝的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.某班有14名學生數學成績優(yōu)秀，如果從該班隨機找出5名學生，那么其中數學成績優(yōu)秀的學生數，則( )
A. B. C.3 D.
4.若，則_______________.
5.甲、乙兩隊參加世博會知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯者得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中每人答對的概率分別為，，，且各人答對正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．
(1）求隨機變量ξ的分布列．
(2）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB）.




【參考答案】
【自主學習】
一、兩個；n；n；相互獨立
思考:“重復”意味著各次試驗成功的概率相同.
二、1.； 2.獨立性 3.；
【小試牛刀】
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C 解析：由n重伯努利試驗恰有k次發(fā)生的概率公式得:P==.
【經典例題】
例1（1）①② 解析：①②顯然滿足獨立重復試驗的條件，而③雖然是有放回地摸球，但隨機變量X的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項分布的定義．
（2）10　0.8 解析：因為隨機變量X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.
【跟蹤訓練】1 解析：擊中目標的次數X≥2,則擊中次數為3次或2次.P(x=3)=0.63=,
P(x=2)=0.62×0.4=,所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=.
例2 解：設該籃球運動員第1次罰球不中,后3次罰球都中為事件A,則第i(i=1,2,3,4)次罰球命中為事件Bi,則A=B2B3B4;
因為每次罰球的結果相互獨立,所以所求的概率為P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)=×××=.
(2)因為該名籃球運動員4次罰球恰好命中次數X是一個隨機變量,則X～B,所以所求的概率為P(X=3)=··=.
【跟蹤訓練】2 解：(1)由已知,100位顧客中購物款不低于150元的顧客有
b+20=100×30%,b=10;a=100-(20+30+20+10)=20.
該商場每日應準備紀念品的數量大約為4 000×=2 400.
(2)由(1)可知1人購物獲得紀念品的頻率即為概率P==,
故4人購物獲得紀念品的數量ξ服從二項分布ξ～B,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
所以ξ的分布列為:
ξ
0
1
2
3
4
P





例3　解：設該學生在這次數學測驗中選對答案的題目的個數為ξ，
所得的分數為η，由題意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
則E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
所以該學生在這一次測驗中的成績的數學期望與方差分別是60和96.
【跟蹤訓練】3　解：(1)易知司機遇上紅燈次數ξ服從二項分布，
且ξ～B，所以E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
【當堂達標】
1.B 解析：選項A,試驗出現(xiàn)的結果只有兩種:點數為6和點數不為6,且點數為6的概率在每一次試驗中都為,每一次試驗都是獨立的,故隨機變量X服從二項分布;選項B,雖然隨機變量在每一次試驗中的結果只有兩種,每一次試驗事件相互獨立且概率不發(fā)生變化,但隨機變量的取值不確定,故隨機變量X不服從二項分布;選項C,甲、乙的獲勝率相等,進行5局比賽,相當于進行了5次獨立重復試驗,故X服從二項分布;選項D,由二項分布的定義,可知被感染次數X～B(n,0.3).
2.B 解析：由n次獨立重復試驗的概率計算公式,得·=.
3.D 解析：因為，所以，則.
4. 解析：由題意得，，
.
5. 解：(1)由已知，甲隊中3人回答問題相當于3次獨立重復試驗，所以ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×＝，P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P




(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．
P(C)＝C×××＝.
P(D)＝××＝.
所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.