2022-2023學(xué)年新疆烏魯木齊三十六中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

這是一份2022-2023學(xué)年新疆烏魯木齊三十六中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)，共18頁。試卷主要包含了選擇題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2022-2023學(xué)年新疆烏魯木齊三十六中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共計9小題，每題3分，共計27分）
1．化簡﹣+﹣得（　?。?br /> A． B． C． D．
2．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為（　　）

A． B． C． D．
3．設(shè)b、c表示兩條直線，α、β表示兩個平面，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．若b∥α，c?α，則b∥c B．若b?α，b∥c，則c?α
C．若c∥α，α⊥β，則c⊥β D．若c∥α，c⊥β，則α⊥β
4．已知＝（2，3），＝（﹣3，y），若⊥，則||等于（　　）
A．2 B． C．5 D．
5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b＝，則B的大小為（　?。?br /> A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
6．已知，則tanθ的值為（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
7．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，則異面直線D1E與BC1所成角的余弦值為（　?。?br /> A． B． C． D．
8．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱，EF∥平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（　　）

A．6 B． C． D．12
9．已知三棱錐A﹣BCD的所有頂點都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2，AC＝AD＝4，CD＝2，則球O的表面積為（　?。?br /> A．20π B．18π C．36π D．24π
二、多選題（本題共計3小題，每題4分，共計12分）
（多選）10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）

A．ω＝π
B．
C．是函數(shù)的一條對稱軸
D．是函數(shù)的對稱中心
（多選）11．兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個平面間的距離是（　?。?br /> A．1 B．3 C．4 D．7
（多選）12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點．現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是（　?。?br /> A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF
三、填空題（本題共計4小題，每題4分，共計16分）
13．如圖所示，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高h＝　 ?。?br />
14．已知sin2（+α）＝，則sin2α的值是　 　．
15．已知單位向量，的夾角為45°，k﹣與垂直，則k＝　 ?。?br /> 16．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABC1D1和平面ABCD所成二面角的大小是　 　°．

四、解答題（本題共計5小題，每道題9分，共計45分）
17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinC＝ccosA．
（1）求角A；
（2）若a＝，c＝2，求△ABC的面積．
18．已知函數(shù)f（x）＝x．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
19．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，E為DD1中點．
（1）求證：BD1∥平面ACE；
（2）求證：BD1⊥AC．

20．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點．
（1）證明：BC⊥面PAC；
（2）若PA＝AC＝1，AB＝2，求直線PB與平面PAC所成角的正切值．

21．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M是AB的中點．
（1）求證：平面A1CM⊥平面ABB1A1；
（2）求點M到平面A1CB1的距離



參考答案
一、選擇題（本題共計9小題，每題3分，共計27分）
1．化簡﹣+﹣得（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】利用向量的運算法則即可得出．
解：原式＝﹣＝＝．
故選：A．
【點評】熟練掌握向量的運算法則是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由題意連接A1C1，則∠AC1A1為所求的角，在△AC1A1計算．
解：連接A1C1，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成角．
在△AC1A1中，sin∠AC1A1＝＝＝．
故選：D．
【點評】本題主要考查了求線面角的過程：作、證、求，用一個線面垂直關(guān)系．
3．設(shè)b、c表示兩條直線，α、β表示兩個平面，則下列命題正確的是（　　）
A．若b∥α，c?α，則b∥c B．若b?α，b∥c，則c?α
C．若c∥α，α⊥β，則c⊥β D．若c∥α，c⊥β，則α⊥β
【分析】由直線與平面平行分析直線與平面內(nèi)直線的關(guān)系判斷A；由直線與直線平行分析線面關(guān)系判斷B；由直線與平面平行、平面與平面垂直分析線面關(guān)系判斷C；由線面平行的性質(zhì)及平面與平面垂直的判定判斷D．
解：若b∥α，c?α，則b∥c或b與c異面，故A錯誤；
若b?α，b∥c，則c?α或c∥α，故B錯誤；
若c∥α，α⊥β，則c?β或c∥β或c與β相交，相交也不一定垂直，故C錯誤；
若c∥α，過c的平面與α相交，設(shè)交線為a，則c∥a，又c⊥β，則a⊥β，而a?α，則α⊥β，故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．
4．已知＝（2，3），＝（﹣3，y），若⊥，則||等于（　?。?br /> A．2 B． C．5 D．
【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求出y的值，可得的坐標(biāo)，從而求得向量的模．
解：∵已知＝（2，3），＝（﹣3，y），若⊥，
∴?＝﹣6+3y＝0，y＝2，∴＝（﹣5，y﹣3）＝（﹣5，﹣1），
則||＝＝，
故選：B．
【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，求向量的模，屬于基礎(chǔ)題．
5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b＝，則B的大小為（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【分析】由正弦定理求得sinB＝，再由大邊對大角求得B的值．
解：在△ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得sinB＝．
∵b＜a，∴B＜A＝45°，∴B＝30°，
故選：A．
【點評】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，大邊對大角，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．
6．已知，則tanθ的值為（　?。?br /> A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】整理已知條件可得4cosθ＝sinθ，進一步計算可得tanθ的值．
解：因為，
故sinθ+2cosθ＝2sinθ﹣2cosθ，即4cosθ＝sinθ，
顯然cosθ≠0，
所以tanθ＝4，
故選：D．
【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．
7．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，則異面直線D1E與BC1所成角的余弦值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】連接AD1，AE，得到AD1∥BC1，把異面直線D1E與BC1所成角轉(zhuǎn)化為直線D1E與AD1所成角，取AD1的中點F，在直角△D1EF中，即可求解．
解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接AD1，AE，可得AD1∥BC1，
所以異面直線D1E與BC1所成角即為直線D1E與AD1所成角，
即∠AD1E為異面直線D1E與BC1所成角，
不妨設(shè)AA1＝2，則，，
取AD1的中點F，因為D1E＝AE，所以EF⊥AD1，
在直角△D1EF中，可得．
故選：B．

【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．
8．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱，EF∥平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（　　）

A．6 B． C． D．12
【分析】作FN∥AE，F(xiàn)M∥ED，則多面體被分割為棱柱與棱錐部分，由此能求出該芻甍的體積．
解：如圖，作FN∥AE，F(xiàn)M∥ED
則多面體被分割為棱柱與棱錐部分，
則該芻甍的體積為：

＝．
故選：B．

【點評】本題考查空間幾何體的體積，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運算求解能力，是中檔題．
9．已知三棱錐A﹣BCD的所有頂點都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2，AC＝AD＝4，CD＝2，則球O的表面積為（　?。?br /> A．20π B．18π C．36π D．24π
【分析】由已知可得底面三角形BCD為等腰直角三角形，求出棱錐的底面外接圓的半徑，然后求解幾何體的外接球的半徑，即可求解外接球的表面積．
解：如圖，
∵AB⊥平面BCD，BC、BD?平面BCD，
∴AB⊥BC，AB⊥BD，
∵AB＝2，AC＝AD＝4，∴BC＝BD＝，
又CD＝2，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，
取CD中點G，則G為△BCD的外心，設(shè)球O的半徑為R，三角形BCD的外接圓半徑為r，
則r＝CD＝，R＝，
∴球O的表面積為S＝4πR2＝20π．
故選：A．

【點評】本題考查幾何體的外接球的表面積，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．
二、多選題（本題共計3小題，每題4分，共計12分）
（多選）10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．ω＝π
B．
C．是函數(shù)的一條對稱軸
D．是函數(shù)的對稱中心
【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的部分圖象求出T、ω和φ的值，再求函數(shù)f（x）的對稱軸和對稱中心．
解：根據(jù)函數(shù)f（x）的部分圖象知，＝﹣＝1，T＝2，ω＝＝π，所以A正確；
由f（）＝cos（π×+φ）＝0，得+φ＝+2kπ，k∈Z；
解得φ＝+2kπ，k∈Z；
又|φ|＜，所以φ＝，B錯誤；
由f（x）＝cos（πx+），令πx+＝kπ，k∈Z；
解得x＝k﹣，k∈Z；
當(dāng)k＝1時，x＝是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，C正確；
令πx+＝kπ+，k∈Z；
解得x＝k+，k∈Z；
所以（k+，0）（k∈Z）是函數(shù)f（x）的對稱中心，D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理能力，是中檔題．
（多選）11．兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個平面間的距離是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．7
【分析】根據(jù)球的半徑和兩個截面圓的面積求出對應(yīng)圓的半徑，再分析出兩個截面所存在的位置分別求出兩個平行平面間的距離．
解：球的半徑為R＝5，設(shè)兩個截面圓的半徑別為r1，r2，球心到截面的距離分別為d1，d2；
球的半徑為R，由πr12＝9π，得r1＝3；
由πr22＝16π，得r2＝4；
如圖①所示，當(dāng)球的球心在兩個平行平面的外側(cè)時，
這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之差；
即d2﹣d1＝﹣＝﹣＝4﹣3＝1；
如圖②所示，當(dāng)球的球心在兩個平行平面的之間時，
這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之和．
即d2+d1＝+＝+＝4+3＝7；
所以這兩個平面間的距離為1或7．
故選：AD．

【點評】本題主要考查了兩個平行平面間的距離計算問題，易錯點在于只考慮一種情況，從而漏解，是中檔題．
（多選）12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點．現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是（　?。?br /> A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF
【分析】利用正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)即可判斷出正誤．
解：由題意可得：AH⊥HE，AH⊥HF．
∴AH⊥平面EFH，而AG與平面EFH不垂直．∴B正確，A不正確．
又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正確．
HG與AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正確．D不正確．
故選：BC．
【點評】本題考查了空間位置關(guān)系、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力，屬于中檔題．
三、填空題（本題共計4小題，每題4分，共計16分）
13．如圖所示，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高h＝　8cm?。?br />
【分析】根據(jù)題意用球的體積公式求得的半球的體積，用圓錐的體積公式求得其體積，讓兩體積相等建立方程求解．
解：如圖所示：半球的體積為：V＝
棱錐的體積為：V＝
根據(jù)題意兩體積相等：即：
所以h＝8cm
故答案為：8cm
【點評】本題主要考查球的體積公式，圓錐的體積公式及兩個幾何體間體積關(guān)系．
14．已知sin2（+α）＝，則sin2α的值是　?。?br /> 【分析】根據(jù)二倍角公式即可求出．
解：因為sin2（+α）＝，則sin2（+α）＝＝＝，
解得sin2α＝，
故答案為：
【點評】本題考查了二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．
15．已知單位向量，的夾角為45°，k﹣與垂直，則k＝　?。?br /> 【分析】由已知求得，再由k﹣與垂直，可得（）＝0，展開即可求得k值．
解：∵向量，為單位向量，且，的夾角為45°，
∴，
又k﹣與垂直，
∴（）＝，
即，則k＝．
故答案為：．
【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
16．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABC1D1和平面ABCD所成二面角的大小是　45　°．

【分析】先判斷∠C1BC是平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的平面角，進而可求其大?。?br /> 解：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體
∴AB⊥平面B1C1CB
∴AB⊥BC1，AB⊥BC
∴∠C1BC是平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的平面角
∵∠C1BC＝45°
∴平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的平面角為45°
故答案為：45°
【點評】本題以正方體為載體，考查面面角，解題的關(guān)鍵是判斷出平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的平面角．
四、解答題（本題共計5小題，每道題9分，共計45分）
17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinC＝ccosA．
（1）求角A；
（2）若a＝，c＝2，求△ABC的面積．
【分析】（1）由正弦定理，同角三角函數(shù)基本公式化簡已知等式可得tanA＝，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得A的值．
（2）由余弦定理可得b2﹣2b﹣3＝0，解方程可得b，利用三角形的面積公式即可求解．
解：（1）因為asinC＝ccosA，
所以由正弦定理可得sinAsinC＝sinCcosA，
因為sinC≠0，
所以sinA＝cosA，即tanA＝，
又A∈（0，π），
所以A＝．
（2）由余弦定理可知a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b2﹣2b﹣3＝0，解得b＝3，
所以S△ABC＝bcsinA＝＝．
【點評】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本公式，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
18．已知函數(shù)f（x）＝x．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的有界性進行求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．
解：（1）f（x）＝x＝sin2x+1+cos2x＝2sin（2x+）+1，
∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣2≤2sin（2x+）≤2，﹣1≤2sin（2x+）+1≤3，
即﹣1≤f（x）≤3，即f（x）的值域為[﹣1，3]．
（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合函數(shù)的值域單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．難度不大．
19．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，E為DD1中點．
（1）求證：BD1∥平面ACE；
（2）求證：BD1⊥AC．

【分析】（1）設(shè)AC與BD交于點O，接OE，可得OE∥D1BB，即可證明BD1∥平面ACE；
（2）由底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，又DD1⊥底面ABCD，可得DD1⊥AC，證明AC⊥平面BDB1D1，利用線面垂直的性質(zhì)可證AC⊥BD1．
【解答】證明：（1）設(shè)AC與BD交于點O，接OE，
∵底面ABCD是菱形，

∴O為DB中點，
又因為E是DD1的中點，
∴OE∥D1BB，
∵OE?面AEC，BD1?平面AEC
∴BD1∥平面ACE．
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DD1⊥底面ABCD，
∴DD1⊥AC，且DB∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDB1D1．
∵BD1?平面BDB1D1，
∴AC⊥BD1．
【點評】本題主要考查了平面與平面垂直、直線與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力和論證推理的能力，屬于中檔題．
20．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點．
（1）證明：BC⊥面PAC；
（2）若PA＝AC＝1，AB＝2，求直線PB與平面PAC所成角的正切值．

【分析】（1）證明AC⊥BC，PA⊥BC，即可證明BC⊥面PAC．
（2）說明∠BPC為PB與平面PAC所成的角，通過求解三角形，推出結(jié)果即可．
【解答】（1）證明：∵AB為圓O直徑，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，
∵AC∩PA＝A，AC?面PAC，PA?面PAC，
∴BC⊥面PAC．
（2）解：∵BC⊥面PAC，∴∠BPC為PB與平面PAC所成的角，
PA＝AC＝1，AB＝2，
直線PB與平面PAC所成角的正切值：tan∠BPC＝．

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
21．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M是AB的中點．
（1）求證：平面A1CM⊥平面ABB1A1；
（2）求點M到平面A1CB1的距離

【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得AA1⊥CM，由等腰三角形的性質(zhì)得AB⊥CM，根據(jù)線面垂直的判定有CM⊥平面ABB1A1，進而由面面垂直的判定可證明平面A1CM⊥平面ABB1A1；
（2）取A1B1的中點N，連接MN，設(shè)M到面A1CB1的距離為h，利用等體積法可知＝，結(jié)合錐體的體積公式即可求h．
解：（1）證明：由A1A⊥平面ABC，CM?平面ABC，則AA1⊥CM，
由AC＝CB，M是AB的中點，則AB⊥CM，
又AA1∩AB＝A，∴CM⊥平面ABB1A1，
又CM?平面A1CM，∴平面A1CM⊥平面ABB1A1；
（2）如圖，取A1B1的中點N，連接MN，設(shè)M到平面A1CB1的距離為h，

由題意知：A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2，，
∴＝＝2，＝＝2，
∵＝，∴＝，
∴點M到平面A1CB1的距離為h＝＝．
【點評】本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．