人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊《章末綜合測評+模塊綜合測評》含答案

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?章末綜合測評(二)　平面解析幾何
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若直線l1：ax＋2y＋6＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋5＝0垂直，則實數(shù)a的值是(　　)
A．　　　　　　　 B．1
C． D．2
A　[直線l1：ax＋2y＋6＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋5＝0垂直，
則a×1＋2(a－1)＝0，
解得a＝．]
2．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于P，Q，且線段PQ的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為(　　)
A．　　B．－　　　　C．3　　　　D．－3
B　[設(shè)P(a，1)，Q(7，b)，則有∴
故直線l的斜率為＝－．]
3．若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[由已知可得雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∵點(3，－4)在雙曲線的一條漸近線上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝．]
4．若圓C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1與圓C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2外切，則正數(shù)r的值是(　　)
A．2　　B．3　　C．4　　D．6
C　[圓C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2，
∴C1坐標(biāo)為(1，1)，半徑為1，C2坐標(biāo)為(－2，－3)，半徑為r，
∴|C1C2|＝r1＋r2?＝r＋1?r＝4．]
5．已知圓C與直線x＋y＋3＝0相切，直線mx＋y＋1＝0始終平分圓C的面積，則圓C的方程為(　　)
A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2
C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1
D　[∵直線mx＋y＋1＝0始終平分圓C的面積，
∴直線mx＋y＋1＝0始終過圓C的圓心(0，－1)．
又圓C與直線x＋y＋3＝0相切，
∴圓C的半徑r＝＝．
∴圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1．故選D．]
6．已知點P為雙曲線－＝1右支上一點，點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，M為△PF1F2的內(nèi)心．若S＝S＋8，則△MF1F2的面積為(　　)
A．2　　B．10　　C．8　　D．6
B　[由題意知，a＝4，b＝3，c＝5．又由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8．設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為R．∵S＝S＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即4R＝8，∴R＝2，∴S＝·2c·R＝10．故選B．]
7．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2＋y2≤1，若將軍從點A(2，0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為(　　)
A．－1　　B．2－1　　C．2　　D．
A　[設(shè)點A關(guān)于直線x＋y＝3的對稱點A′(a，b)，
AA′的中點為，kAA′＝，故解得
要使從點A到軍營總路程最短，即為點A′到軍營最短的距離，
“將軍飲馬”的最短總路程為－1＝－1，故選A．]
8．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為(　　)
A．　　B．2－　　C．－2　　D．－
D　[設(shè)|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m．
由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，則|AF2|＝2a－m＝(2－2)a．
在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－．]
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．
9．已知平面上一點M(5，0)，若直線上存在點P使|PM|＝4，則稱該直線為“切割型直線”．下列直線中是“切割型直線”的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
BC　[對于A，d1＝＝3>4；對于B，d2＝24，所以符合條件的有BC．]
10．已知圓O：x2＋y2＝4和圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1．現(xiàn)給出如下結(jié)論，其中正確的是(　　)
A．圓O與圓C有四條公切線
B．過C且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為x＋y＝5或x－y＋1＝0
C．過C且與圓O相切的直線方程為9x－16y＋30＝0
D．P，Q分別為圓O和圓C上的動點，則|PQ|的最大值為＋3，最小值為－3
AD　[由題意可得，圓O：x2＋y2＝4的圓心為O(0，0)，半徑r1＝2，
圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的圓心C(2，3)，半徑r2＝1，因為兩圓圓心距|OC|＝＞r1＋r2＝2＋1，所以兩圓相離，有四條公切線，A正確；
截距相等可以過原點或斜率只能為－1，B不正確；過圓外一點與圓相切的直線有兩條，C不正確；|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2，最小值為|OC|－r1－r2，D正確．
故選AD．]
11．已知雙曲線C過點(3，)，且漸近線方程為y＝±x，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．雙曲線C的方程為－y2＝1
B．雙曲線C的離心率為
C．曲線y＝ex－2－1經(jīng)過雙曲線C的一個焦點
D．直線x－y－1＝0與雙曲線C有兩個公共點
AC　[對于選項A，由雙曲線C的漸近線方程y＝±x，可得y2＝x2，從而設(shè)所求雙曲線方程為x2－y2＝λ，又由雙曲線C過點(3，)，所以×32－()2＝λ，解得λ＝1，故正確；
對于選項B，由雙曲線方程可知a＝，b＝1，c＝2，所以離心率e＝＝＝，故錯誤；
對于選項C，雙曲線的右焦點坐標(biāo)為(2，0)，滿足y＝ex－2－1，故正確；
對于選項D，聯(lián)立整理得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(－2)2－4×1×2＝0，且直線斜率大于漸近線斜率，知直線與雙曲線C只有一個公共點，故錯誤．]
12．把方程＋＝－1的曲線作為函數(shù)y＝f(x)的圖像，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．函數(shù)y＝f(x)的圖像不經(jīng)過第一象限
B．函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增
C．函數(shù)y＝f(x)的圖像上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為3
D．函數(shù)g(x)＝4f(x)＋3x不存在零點
ACD　[由方程＋＝－1可知，當(dāng)x≥0時，y＜0，這時有－＝1；當(dāng)－4＜x＜0時，y＜0，這時有＋＝1；當(dāng)x≤－4時，y≥0，這時有－＝1．根據(jù)以上討論，作出函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示．

從圖中可以看出，函數(shù)y＝f(x)的圖像不經(jīng)過第一象限，且f(x)在R上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤；由圖可知函數(shù)y＝f(x)的圖像上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為3，故C正確；因為雙曲線－＝1和－＝1的漸近線方程均為y＝±x，所以函數(shù)y＝f(x)的圖像與直線y＝－x沒有交點，所以方程f(x)＝－x沒有實數(shù)解，即函數(shù)g(x)＝4f(x)＋3x不存在零點，故D正確．故選ACD．]
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0關(guān)于直線x－y＝1對稱的圓的方程為x2＋y2＝1，則實數(shù)a的值為________．
2　[圓的方程可化為＋(y＋1)2＝，表示以A為圓心，以為半徑的圓，關(guān)于直線x－y＝1對稱的圓x2＋y2＝1的圓心為(0，0)，故有×1＝－1，得a＝2．]
14．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交橢圓C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則橢圓C的方程為________．
＋＝1　[由橢圓的定義，可知△AF1B的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝．又離心率＝，所以c＝1．由a2＝b2＋c2，得b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1．]
15．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心(三邊中垂線的交點)、重心(三邊中線的交點)、垂心(三邊高的交點)依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點為A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，則該三角形的歐拉線方程為________．
x＋2y－5＝0　[因為△ABC的頂點為A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，所以重心G，設(shè)△ABC的外心為W，則|OW|＝|WC|，即＝，解得a＝，所以W．所以該三角形的歐拉線方程為y－＝，即x＋2y－5＝0．]
16．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則雙曲線方程為________，離心率為________．(本題第一空2分，第二空3分)
－＝1　　[雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，由題意知兩條漸近線互相垂直，由雙曲線的對稱性可知＝1，又正方形OABC的邊長為2，所以c＝2，由a2＋b2＝c2可得2a2＝(2)2，解得a＝2．∴b＝2，
∴雙曲線方程為－＝1，離心率為e＝＝．]
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)已知直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直線l1過點(－3，－1)；
(2)l1∥l2且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等．
[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0．①
又直線l1過點(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．②
由①②得
(2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直線l1的斜率存在，且＝1－a．③
又坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，
∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b．④
由③④得或
18．(本小題滿分12分)在①經(jīng)過直線l1：x－2y＝0與直線l2：2x＋y－1＝0的交點．②圓心在直線2x－y＝0上．③被y軸截得弦長|AB|＝2；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的圓存在，求圓的方程；若問題中圓不存在，請說明理由．問題：是否存在圓Q，點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上，且圓Q________？
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
[解]　因為點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上，所以圓心在直線AB的垂直平分線上，又直線AB的方程為y＝－1，直線AB的垂直平分線所在直線方程為：x＝＝－，則可設(shè)圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為r．
若選①，由解得即直線l1和l2的交點為，則圓過點，所以r2＝＋＝＋(b＋1)2，解得b＝－1，則r2＝，即存在圓Q，且圓Q的方程為＋(y＋1)2＝．
若選②，由圓心在直線2x－y＝0上可得2×－b＝0，則b＝－1，
所以r2＝＋(－1＋1)2＝，
即存在圓Q，且圓Q的方程為＋(y＋1)2＝．
若選③，圓被y軸截得弦長|AB|＝2，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，r2＝＋＝，
由r2＝＋(b＋1)2＝，解得b＝－1，
即存在圓Q，且圓Q的方程為＋(y＋1)2＝．
所以，存在圓Q，且圓Q的方程為＋(y＋1)2＝．
19．(本小題滿分12分)已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x＋y－1＝0與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝．
(1)求拋物線的方程；
(2)在x軸上是否存在一點C，使△ABC為正三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)由題意，設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)．
由消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1．
∵|AB|＝，
即＝，
∴121p2＋242p－48＝0，
解得p＝或p＝－(舍去)，
∴拋物線的方程為y2＝x．
(2)設(shè)AB的中點為點D，則D．
假設(shè)在x軸上存在滿足條件的點C(x0，0)，連接CD．
∵△ABC為正三角形，
∴CD⊥AB，即·(－1)＝－1，
解得x0＝，∴C，
∴|CD|＝＝．
又|CD|＝|AB|＝≠，
∴矛盾，不符合題目條件，
∴在x軸上不存在一點C，使△ABC為正三角形．
20．(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p＞0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H．
(1)求；
(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由．
[解]　(1)由已知得M(0，t)，P．
又點N為點M關(guān)于點P的對稱點，故N，直線ON的方程為y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x＝0或x＝．因此H．所以N為OH的中點，即＝2．
(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點．理由如下：
直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y＝2t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點．
21．(本小題滿分12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圓的方程；
(2)若直線ax－y＋5＝0(a≠0)與圓相交于A，B兩點，是否存在實數(shù)a，使得過點P(－2，4)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為M(m，0)(m∈Z)，
由于圓與直線4x＋3y－29＝0相切，且圓的半徑為5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
即4m－29＝25或4m－29＝－25，
解得m＝或m＝1．
因為m為整數(shù)，故m＝1，
故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝25．
(2)設(shè)符合條件的實數(shù)a存在，
因為a≠0，則直線l的斜率為－，所以直線l的方程為y＝－(x＋2)＋4，
即x＋ay＋2－4a＝0．
由于直線l垂直平分弦AB，故圓心M(1，0)必在直線l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝．
經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝時，直線ax－y＋5＝0與圓有兩個交點，
故存在實數(shù)a＝，使得過點P(－2，4)的直線l垂直平分弦AB．
22．(本小題滿分12分)設(shè)斜率不為0的直線l與拋物線x2＝4y交于A，B兩點，與橢圓＋＝1交于C，D兩點，記直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為k1，k2，k3，k4．
(1)若直線l過(0，4)，證明：OA⊥OB；
(2)求證：的值與直線l的斜率的大小無關(guān)．
[證明]　(1)設(shè)直線方程為y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x＝4y1，x＝4y2，兩式相乘可得(x1x2)2＝16y1y2，
由可得x2－4kx－16＝0，
則x1x2＝－16，y1y2＝16，x1x2＋y1y2＝0，
即·＝0，OA⊥OB．
(2)設(shè)直線y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
由可得x2－4kx－4m＝0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
k1＋k2＝＋＝＋＝k．
聯(lián)立y＝kx＋m和橢圓2x2＋3y2＝12，可得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
Δ＝36k2m2－4(2＋3k2)(3m2－12)＞0，即4＋6k2＞m2，
x3＋x4＝－，x3x4＝，
k3＋k4＝＋＝＋＝2k＋m＝2k＋＝2k－＝－，
則＝－與直線l的斜率的大小無關(guān)．