人教B版 (2019)第一章　空間向量與立體幾何1.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.2 空間中的平面與空間向量精品ppt課件

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1.2.2 空間中的平面與空間向量
第一章　空間向量與立體幾何
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解平面的法向量的定義并能在空間直角坐標(biāo)系中正確地求出某一平面的法向量.2.會(huì)用向量語(yǔ)言表達(dá)線面、面面的垂直、平行關(guān)系.3.理解并會(huì)用三垂線定理及其逆定理.
牌樓與牌坊類似,是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?
情境導(dǎo)學(xué)
問題1：我們已經(jīng)知道空間中的直線，根據(jù)它的方向向量和一個(gè)點(diǎn)可以描述這條直線的位置，那么，對(duì)于空間中的平面，能否引進(jìn)類似的向量來(lái)描述其位置？
探究新知
1.平面的法向量 如果α是空間中的一個(gè)平面,n是空間中的一個(gè)非零向量,且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直,則稱n為平面α的一個(gè)法向量.此時(shí),也稱n與平面α垂直,記作n⊥α.
思考1：一個(gè)平面的法向量是否唯一?
提示:不唯一,一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè).
平面的法向量
2.平面的法向量的求法在空間直角坐標(biāo)系下,求平面的法向量的一般步驟:(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z);(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);(4)解方程組,取其中的一組解,即得平面的一個(gè)法向量.
1.點(diǎn)A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),則平面ABC的一個(gè)法向量為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(bc,ac,ab) B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac) D.(ab,ac,bc)
答案:A
小試牛刀
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探究新知
3.用空間向量處理平行或垂直關(guān)系(1)如果v是直線l的一個(gè)方向向量,n是平面α的一個(gè)法向量,則n∥v?l⊥α;n⊥v?l∥α,或l?α.(2)如果n1是平面α1的一個(gè)法向量,n2是平面α2的一個(gè)法向量,則n1⊥n2?α1⊥α2;n1∥n2?α1∥α2,或α1與α2重合.
點(diǎn)睛：解答這類問題的關(guān)鍵:一是要清楚直線的方向向量,平面的法向量和直線、平面的位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系;二是熟練掌握判斷向量共線、垂直的方法.在把向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時(shí),要注意兩者的區(qū)別,直線的方向向量和平面平行,則直線可能在平面內(nèi),也可能與平面平行.
平行與垂直
2.判斷(1)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直,則該直線與平面平行.(　　)(2)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí),直線與平面垂直.(　　)(3)兩個(gè)平面的法向量平行,則這兩個(gè)平面平行或重合;兩個(gè)平面的法向量垂直,則這兩個(gè)平面垂直.(　　)
小試牛刀
答案:(1)√　(2)√　(3)√
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探究新知
4.三垂線定理及三垂線定理的逆定理三垂線定理:如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直,則它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.
思考：三垂線定理及其逆定理有何區(qū)別與聯(lián)系?
三垂線定理
提示:聯(lián)系:都是一面四線,三種垂直關(guān)系.區(qū)別:①?gòu)臈l件或結(jié)論上看,三垂線定理是“線與射影垂直?線與斜線垂直”,而逆定理恰好相反;②從作用上看,三垂線定理是“共面直線垂直?異面直線垂直”,而逆定理恰好相反.
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典例解析
通過(guò)此類例題的解答,在求平面的法向量時(shí)要注意:(1)選向量:在選取平面內(nèi)的向量時(shí),要選取不共線的兩個(gè)向量.(2)取特值:在求n的坐標(biāo)時(shí),可令x,y,z中一個(gè)為特殊值得另兩個(gè)值,得到平面的一個(gè)法向量.(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值時(shí)一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為0.
歸納總結(jié)
跟蹤訓(xùn)練1 如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).AB=AP=1,AD= ,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面ACE的一個(gè)法向量.
跟蹤訓(xùn)練
延伸探究 本例條件不變,試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量.
例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.
典例解析
證明:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
證明線面、面面平行問題的方法(1)用向量法證明線面平行:①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi);②證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi);③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi),如(1)中,FC1?平面ADE一定不能漏掉.(2)利用空間向量證明面面平行,通常是證明兩平面的法向量平行.當(dāng)然要注意當(dāng)法向量坐標(biāo)中有0時(shí),要使用n1=λn2這一形式.
歸納總結(jié)
跟蹤訓(xùn)練2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1,問在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
跟蹤訓(xùn)練
解:存在點(diǎn)E使CE∥平面PAB.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),
例3 如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.
典例解析
證明:如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OO1,OA所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,
即EF⊥EA,EF⊥ED,又EA∩ED=E,EA,ED?平面ADE,∴EF⊥平面ADE.
延伸探究 本例中增加條件,E,F分別是BC,BB1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面ADE.
1.用坐標(biāo)法證明線面垂直的常用方法:方法一:基向量法(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積,得到數(shù)量積為0.方法二:坐標(biāo)法(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)求出平面的法向量.(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.2.對(duì)于容易建系的幾何載體要盡量用坐標(biāo)法處理有關(guān)垂直問題,如果只用基向量法解決涉及的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算比較復(fù)雜.而建系后只需一切交給坐標(biāo)即可.
歸納總結(jié)
跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn).求證:EF⊥平面B1AC.
跟蹤訓(xùn)練
證明:方法一　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).
例4 如圖,空間四邊形ABCD中,點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影 O1是△BCD的垂心,求證:B在平面ACD內(nèi)的射影O2必是△ACD的垂心.
分析應(yīng)用三垂線定理一定要分清斜線與射影,并注意第三條垂線要與射影在同一平面內(nèi).
典例解析
證明:連接DO1,BO1,AO2,CO2.∵O1是△BCD的垂心,∴DO1⊥BC.又AO1⊥平面BCD,∴BC⊥AD(三垂線定理).∵BC是平面ACD的斜線,BO2⊥平面ACD,CO2是BC在平面ACD內(nèi)的射影,∴CO2⊥AD(三垂線定理的逆定理).同理,AO2⊥CD.∴O2是△ACD的垂心.
1.三垂線定理及其逆定理常用于判定空間直線互相垂直,在引用時(shí)要清楚以下問題:(1)從條件上看,三垂線定理的條件是“和射影垂直”;其逆定理的條件是“和斜線垂直”.顯然本例中三垂線定理和三垂線定理的逆定理都充分利用了.(2)從功能上看,三垂線定理用于解決已知共面垂直,證明異面垂直的問題;逆定理正好相反.解決垂心問題需要兩次垂直的證明,都能用上定理和其逆定理的框架結(jié)構(gòu).2.三垂線定理及其逆定理應(yīng)用中的三個(gè)環(huán)節(jié)用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直的關(guān)鍵在于構(gòu)造三垂線定理的基本圖形,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用定理的環(huán)境.構(gòu)造三垂線定理基本圖形時(shí)要抓住下面三個(gè)環(huán)節(jié):(1)確定投影面;(2)作出垂線;(3)確定射影.
歸納總結(jié)
跟蹤訓(xùn)練4 如圖,BC是Rt△ABC的斜邊,過(guò)點(diǎn)A作△ABC所在平面α的垂線AP,連接PB,PC,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,連接PD,那么圖中的直角三角形共有(　　)A.4個(gè)　　 B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)
跟蹤訓(xùn)練
解析:∵AP⊥平面α,∴PD在平面α內(nèi)的射影為AD,∵AD⊥BC,由三垂線定理可得,PD⊥BC,∴△ABC,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD,△PAB,△PAD,△PAC均為直角三角形,共8個(gè).故選D.答案:D
1.若直線l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(　　)A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l與α斜交
當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
解析:∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.答案:B
答案:C
3.若平面α,β的法向量分別為a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),則α與β的位置關(guān)系是(　　)A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.無(wú)法確定
解析:a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b,∴α⊥β.答案:B
解析:由題意可得,AC⊥BC.∵PA⊥平面ABC,由三垂線定理的逆定理可得,BC⊥PC.∴∠PCB=90°,即∠PCB的度數(shù)保持不變.故選C.答案:C
4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,直線l過(guò)點(diǎn)A且垂直于平面ABC,動(dòng)點(diǎn)P∈l,當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí),∠PCB的度數(shù)(　　)A.逐漸變大 B.逐漸變小C.不變 D.先變大再變小
答案:①②③
6.如圖所示,在空間圖形P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,CD∥AB,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,且PB=4PM,∠PBC=30°,求證:CM∥平面PAD.
課堂小結(jié)
謝謝欣賞