高中人教B版 (2019)2.8 直線與圓錐曲線的位置關系學案

這是一份高中人教B版 (2019)2.8 直線與圓錐曲線的位置關系學案，共8頁。學案主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
1．過點P(3，－2)且傾斜角為eq \f(π,2)的直線方程是( )
A．x＝－2 B．x＝3
C．y＝－2 D．y＝3
答案 B
解析 傾斜角為eq \f(π,2)，直線垂直于x軸，直線方程為x＝3.
2．已知A(3，－2)，B(－1,2)，則線段AB中點的坐標為( )
A．(1,2) B．(2,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) D．(1,0)
答案 D
解析 由A(3，－2)，B(－1,2)，
得線段AB中點的坐標為(1,0)．
3．過坐標原點O作單位圓x2＋y2＝1的兩條互相垂直的半徑OA，OB，若在該圓上存在一點C，使得eq \(OC,\s\up6(→))＝aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))(a，b∈R)，則以下說法正確的是( )
A．點P(a，b)一定在單位圓內
B．點P(a，b)一定在單位圓上
C．點P(a，b)一定在單位圓外
D．當且僅當ab＝0時，點P(a，b)在單位圓上
答案 B
解析 ∵eq \(OC,\s\up6(→))2＝(aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→)))2，且eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，∴a2＋b2＋2abeq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝a2＋b2＝1，因此點P(a，b)一定在單位圓上，故選B.
4．已知圓C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圓C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，則兩圓公切線的條數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 圓C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圓心C1(3，－2)，半徑r1＝1，
圓C2：(x－7)2＋(y－1)2＝16，圓心C2(7,1)，半徑r2＝4，
圓心距d＝eq \r(?3－7?2＋?－2－1?2)＝5，d＝r1＋r2，
所以兩圓相外切，公切線條數(shù)是3.
5．若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
答案 B
解析 由題意可知圓心在第一象限，設為(a，b)．
∵圓與兩坐標軸都相切，
∴a＝b，且半徑r＝a，
∴圓的標準方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵點(2,1)在圓上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
當a＝1時，圓心坐標為(1,1)，
此時圓心到直線2x－y－3＝0的距離為
d＝eq \f(|2×1－1－3|,\r(22＋?－1?2))＝eq \f(2\r(5),5)；
當a＝5時，圓心坐標為(5,5)，
此時圓心到直線2x－y－3＝0的距離為
d＝eq \f(|2×5－5－3|,\r(22＋?－1?2))＝eq \f(2\r(5),5).
綜上，圓心到直線2x－y－3＝0的距離為eq \f(2\r(5),5).
6．“天問一號”推開了我國行星探測的大門，通過一次發(fā)射，將實現(xiàn)火星環(huán)繞、著陸、巡視，是世界首創(chuàng)，也是我國真正意義上的首次深空探測.2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道(將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點).2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道“遠火點(橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點)平面機動”，同時將近火點高度調整至約265公里．若此時遠火點距離約為11 945公里，火星半徑約為3 395公里，則調整后“天問一號”的運行軌跡(環(huán)火軌道曲線)的離心率約為( )
A．0.61 B．0.67
C．0.71 D．0.77
答案 A
解析 設橢圓的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由橢圓的性質可得橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a－c，最大值為a＋c，
根據(jù)題意可得近火點滿足a－c＝3 395＋265＝3 660，a＋c＝3 395＋11 945＝15 340，
解得a＝9 500，c＝5 840，
所以橢圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5 840,9 500)≈0.61.
二、多項選擇題
7．已知直線l：x－ay＋1＝0(a∈R)，則下列說法正確的是( )
A．直線l過定點(－1,0)
B．直線l一定不與坐標軸垂直
C．直線l與直線l′：－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行
D．直線l與直線l′：ax＋y＋m＝0(m∈R)一定垂直
答案 AD
解析 l：x－ay＋1＝0(a∈R)整理為ay＝x＋1，恒過定點(－1,0)，故A正確；當a＝0時，直線l與x軸垂直，故B錯誤；當m＝－1時，兩直線重合，故C錯誤；因為1×a＋1×(－a)＝0，故直線l與直線l′一定垂直，故D正確．
8．下列判斷正確的是( )
A．拋物線y2＝x與直線x＋y－eq \r(2)＝0僅有一個公共點
B．雙曲線x2－y2＝1與直線x＋y－eq \r(2)＝0僅有一個公共點
C．若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則eq \f(5,2)0，所以拋物線y2＝x與直線x＋y－eq \r(2)＝0有兩個公共點，故A錯誤；
對于B，雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，直線x＋y－eq \r(2)＝0與漸近線y＝－x平行，故雙曲線x2－y2＝1與直線x＋y－eq \r(2)＝0僅有一個公共點，故B正確；
對于C，若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則4－t>t－1>0，解得10)相交于A，B兩點．若|AB|＝6，則r的值為_________．
答案 5
解析 設圓心為O(0,0)，
圓心到直線的距離d＝eq \f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4.
取AB的中點M，連接OM(圖略)，則OM⊥AB.
在Rt△OMA中，r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2)＝5.
11．已知F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．
答案 2
解析 如圖，A(a,0)．
由BF⊥x軸且AB的斜率為3，
知點B在第一象限，且Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
則kAB＝eq \f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
12．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且|AF|＝c，則雙曲線的漸近線方程為________．
答案 y＝±x
解析 由已知|OA|＝a，|AF|＝c，
得|OF|＝eq \f(p,2)＝b，
把y＝－eq \f(p,2)＝－b代入雙曲線方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，得x2＝2a2，
所以直線y＝－eq \f(p,2)被雙曲線截得的線段長為2eq \r(2)a，
從而2eq \r(2)a＝2c，c＝eq \r(2)a，
所以a2＋b2＝2a2，
所以a＝b，所以所求漸近線方程為y＝±x.
四、解答題
13．已知F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，點A(1，m)在拋物線C上，且|AF|＝eq \f(3,2).
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知過點Q(2,1)的直線l與拋物線交于M，N兩點，且點Q是線段MN的中點，求直線l的方程．
解 (1)根據(jù)拋物線的定義得
|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)，
解得p＝1，
∴拋物線C的方程為y2＝2x.
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵Q(2,1)是線段MN的中點，
∴y1＋y2＝2，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在拋物線C上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2x1，,y\\al(2,2)＝2x2，))
于是得(y2－y1)(y2＋y1)＝2(x2－x1)，
即eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(2,y2＋y1)＝eq \f(2,2)＝1，
得直線l的斜率為1，
則直線l的方程為x－y－1＝0.
14．在△ABC中，已知A(1,1)，B(3，－2)，
(1)若直線l過點M(2,0)，且點A，B到l的距離相等，求直線l的方程；
(2)若直線m：2x－y－6＝0為∠C的平分線，求直線BC的方程．
解 (1)∵點A，B到l的距離相等，
∴直線l過線段AB的中點或l∥AB，
①當直線l過線段AB的中點Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))時，直線l的斜率不存在，則l的方程為x＝2；
②當l∥AB時，則斜率kl＝kAB＝eq \f(－2－1,3－1)＝－eq \f(3,2)，
則l的方程為y－0＝－eq \f(3,2)(x－2)，即3x＋2y－6＝0，
綜上，l的方程為x＝2或3x＋2y－6＝0.
(2)∵直線m為∠C的平分線，
∴點A關于直線m的對稱點A′(a，b)在直線BC上，
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2·\f(a＋1,2)－\f(b＋1,2)－6＝0，,\f(b－1,a－1)·2＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－1，))即A′(5，－1)，
∴直線BC的斜率kBC＝eq \f(－1－?－2?,5－3)＝eq \f(1,2)，
∴直線BC的方程為y＋1＝eq \f(1,2)(x－5)，即x－2y－7＝0.
15．已知A，B分別為橢圓E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(GB,\s\up6(→))＝8.P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.
(1)求E的方程；
(2)證明：直線CD過定點．
(1)解 依據(jù)題意作圖，如圖所示，
由橢圓方程E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)可得，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝(a,1)，eq \(GB,\s\up6(→))＝(a，－1)，
∴eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(GB,\s\up6(→))＝a2－1＝8，∴a2＝9，即a＝3，
∴E的方程為eq \f(x2,9)＋y2＝1.
(2)證明 設P(6，y0)，
則直線AP的方程為y＝eq \f(y0－0,6－?－3?)(x＋3)，
即y＝eq \f(y0,9)(x＋3)，
聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋y2＝1，,y＝\f(y0,9)?x＋3?，))
整理得(yeq \\al(2,0)＋9)x2＋6yeq \\al(2,0)x＋9yeq \\al(2,0)－81＝0，
解得x＝－3或x＝eq \f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)，
將x＝eq \f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)代入直線y＝eq \f(y0,9)(x＋3)可得
y＝eq \f(6y0,y\\al(2,0)＋9)，
∴點C的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)，\f(6y0,y\\al(2,0)＋9))).
同理可得點D的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)，\f(－2y0,y\\al(2,0)＋1)))，
∴直線CD的方程為
y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2y0,y\\al(2,0)＋1)))＝eq \f(\f(6y0,y\\al(2,0)＋9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2y0,y\\al(2,0)＋1))),\f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)))，
整理可得y＋eq \f(2y0,y\\al(2,0)＋1)＝eq \f(8y0?y\\al(2,0)＋3?,6?9－y\\al(4,0)?)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)))
＝eq \f(4y0,3?3－y\\al(2,0)?)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)))，
整理得y＝eq \f(4y0,3?3－y\\al(2,0)?)x＋eq \f(2y0,y\\al(2,0)－3)＝eq \f(4y0,3?3－y\\al(2,0)?)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
故直線CD過定點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0)).