高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案，共11頁(yè)。學(xué)案主要包含了平行或垂直的直線系方程，過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程，過(guò)定點(diǎn)的直線系方程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?習(xí)題課　直線系方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解直線系方程的一般形式.2.會(huì)用直線系方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
一、平行或垂直的直線系方程
知識(shí)梳理
平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；
垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Bx－Ay＋λ＝0.
例1　過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線x－2y－2＝0垂直的直線的方程是(　　)
A．2x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案　A
解析　設(shè)直線的方程為2x＋y＋c＝0，把點(diǎn)(1,0)代入可得c＝－2，即2x＋y－2＝0.
延伸探究
本例求“過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線x－2y－2＝0”平行的直線方程．
解　設(shè)直線的方程為x－2y＋c＝0，把點(diǎn)(1,0)代入可得c＝－1，即x－2y－1＝0.
反思感悟　解決平行或垂直的直線系方程的思路
(1)利用與已知直線平行或垂直的關(guān)系設(shè)方程；
(2)根據(jù)平行與垂直的關(guān)系找斜率之間的關(guān)系，需要考慮斜率不存在的情況．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)過(guò)點(diǎn)P(2,2)，且與直線5x－3y＋8＝0平行的直線方程為_(kāi)_______．
答案　5x－3y－4＝0
解析　由題意，得直線5x－3y＋8＝0的斜率是，所求直線的斜率是，
所以所求直線的方程為y－2＝(x－2)，
即5x－3y－4＝0.
(2)過(guò)點(diǎn)(3,5)與直線y＝x＋m垂直的直線方程是____________________．
答案　x＋y－8＝0
解析　設(shè)所求直線為y＝－x＋n，
過(guò)點(diǎn)(3,5)，故n＝8，
直線方程為x＋y－8＝0.
二、過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程
知識(shí)梳理
過(guò)兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)．
例2　求經(jīng)過(guò)直線l1：x＋y－2＝0與l2：x－y－4＝0的交點(diǎn)且與直線l：3x＋2y－1＝0平行的直線方程．
解　方法一　l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－1)，設(shè)直線3x＋2y＋c＝0，解得c＝－7，
故所求的方程為3x＋2y－7＝0.
方法二　設(shè)過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線方程為x＋y－2＋λ(x－y－4)＝0，
即(1＋λ)x＋(1－λ)y－2－4λ＝0，
故有2(1＋λ)＝3(1－λ)，所以λ＝，代入上式，
化簡(jiǎn)得3x＋2y－7＝0.
延伸探究
本例條件不變，求與l垂直的直線方程．
解　過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線方程為(1＋λ)x＋(1－λ)y－2－4λ＝0，
故有3(1＋λ)＋2(1－λ)＝0，所以λ＝－5，
代入上式，化簡(jiǎn)得2x－3y－9＝0.
反思感悟　求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程的思路
(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)是基本方法；
(2)根據(jù)題目不同的要求，可設(shè)A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
跟蹤訓(xùn)練2　求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)且經(jīng)過(guò)直線l1：x＋3y－4＝0與l2：5x＋2y＋6＝0的交點(diǎn)的直線方程．
解　聯(lián)立解得
所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(－2,2)．
由兩點(diǎn)式可得所求直線的方程為＝，
即x－4y＋10＝0.
三、過(guò)定點(diǎn)的直線系方程
例3　無(wú)論m為何值，直線l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒過(guò)一定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解　方法一　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴∴
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,3)．
方法二　令m＝－1，得y＝3，
令m＝0，得x＝7，故P(7,3)．
反思感悟　解含參數(shù)的直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的策略
(1)任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過(guò)的定點(diǎn)，從而問(wèn)題得解．
(2)含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數(shù)，這就說(shuō)明了它表示的直線必過(guò)定點(diǎn)，其定點(diǎn)可由方程組解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)．
跟蹤訓(xùn)練3　已知直線m的方程為(a＋1)x＋ay－3a－1＝0(a∈R)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到m的距離的最大值為_(kāi)_______．
答案　
解析　直線m的方程為(a＋1)x＋ay－3a－1＝0(a∈R)，
即a(x＋y－3)＋x－1＝0，
令解得
所以直線m恒過(guò)定點(diǎn)B(1,2)，
所以原點(diǎn)O到直線m的距離d≤|OB|＝，
即O到直線m的距離的最大值為.

1.知識(shí)清單：
(1)平行或垂直的直線系方程．
(2)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程．
(3)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程．
2．方法歸納：消元法、直線系法、賦值法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：求與已知直線平行的直線方程忽略重合．

1．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－3)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l在y軸上的截距為(　　)
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案　B
解析　易知2x－y－5＝0的斜率為2，
故直線l的斜率為－，
根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y＝－(x－2)－3，
整理可得y＝－x－2，
故直線l在y軸上的截距為－2.
2．經(jīng)過(guò)直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－2y＝0的直線方程是(　　)
A．x－2y＋11＝0 B．x＋2y＋11＝0
C．x－2y－11＝0 D．x＋2y－11＝0
答案　A
解析　聯(lián)立解得
設(shè)所求直線方程為x－2y＋C＝0(C≠0)，代入點(diǎn)(1,6)有1－12＋C＝0，∴C＝11，
故所求直線方程為x－2y＋11＝0.
3．已知y1，y2∈R，直線y－3＝(y1＋y2)(x＋2)恒過(guò)定點(diǎn)(　　)
A．(2，－3) B．(－2,3)
C．(－2,0) D．(0,3)
答案　B
解析　由y－3＝(y1＋y2)(x＋2)得(y－3)－(y1＋y2)(x＋2)＝0，
由于y1，y2∈R恒成立，所以
即恒過(guò)定點(diǎn)(－2,3)．
4．斜率為－2，且過(guò)兩條直線3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交點(diǎn)的直線方程為_(kāi)_____________．
答案　2x＋y－4＝0
解析　設(shè)所求直線方程為3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直線方程為2x＋y－4＝0.


1．直線kx＋y＋1＝2k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)(　　)
A．(2，－1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(－2,1)
答案　A
解析　kx＋y＋1＝2k，可化為y＋1＝k(2－x)，
故該直線恒過(guò)定點(diǎn)(2，－1)．
2．過(guò)兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案　D
解析　過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得λ＝－，故所求直線方程為x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
3．經(jīng)過(guò)兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為(　　)
A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0
答案　A
解析　由解得
因?yàn)樗笾本€與直線3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直線方程為4x－3y＋9＝0.
4．經(jīng)過(guò)直線3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為(　　)
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
答案　C
解析　設(shè)直線方程為3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝.
由＝，得λ＝或λ＝.
所以直線方程為x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直線(　　)
A．恒過(guò)定點(diǎn)(－2,3)
B．恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)
C．恒過(guò)點(diǎn)(－2,3)和點(diǎn)(2,3)
D．都是平行直線
答案　A
解析　(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化為－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由得
6．(多選)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．若l1∥l2，則m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，則m＝3
C．若l1⊥l2，則m＝－
D．若l1⊥l2，則m＝
答案　BD
解析　直線l1∥l2，則3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線方程分別為x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0，即x－y－1＝0，兩直線重合，只有當(dāng)m＝3時(shí)兩直線平行，A錯(cuò)誤，B正確；l1⊥l2，則m－2＋3m＝0，m＝，C錯(cuò)誤，D正確．
7．過(guò)點(diǎn)P(3,4)，且與直線2x－y＋1＝0平行的直線方程為_(kāi)___________________．
答案　2x－y－2＝0
解析　設(shè)與直線2x－y＋1＝0平行的直線方程為2x－y＋m＝0，把點(diǎn)P(3,4)的坐標(biāo)代入直線方程，求得m＝－2，所以所求直線方程為2x－y－2＝0.
8．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，且垂直于直線2x＋3y－1＝0，則直線l的方程是________．
答案　3x－2y＋7＝0
解析　由題意，知所求直線l垂直于直線2x＋3y－1＝0，
設(shè)直線l的方程是3x－2y＋c＝0，
又由直線l過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，代入可得－3－4＋c＝0，
解得c＝7，
故l的方程是3x－2y＋7＝0.
9．已知兩條直線l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交點(diǎn)為P.求：
(1)過(guò)點(diǎn)P與Q(1,4)的直線方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P且與直線x－3y－1＝0垂直的直線方程．
解　設(shè)過(guò)直線l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交點(diǎn)的直線方程為x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0，
即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0.①
(1)把點(diǎn)Q(1,4)代入方程①，
化簡(jiǎn)得3－5m＝0，解得m＝，
所以過(guò)兩直線交點(diǎn)P與Q的直線方程為
x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0.
(2)由直線①與直線x－3y－1＝0垂直，
得(m＋1)－3(2－2m)＝0，解得m＝，
所以所求直線的方程為x＋y－＝0，
即3x＋y－8＝0.
10．已知直線l1：x＋2y－4＝0與直線l2：x－y－1＝0的交點(diǎn)為A，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P(1，－1)到直線l的距離為2，直線l3與直線l1關(guān)于直線l2對(duì)稱．
(1)求直線l的方程；
(2)求直線l3的方程．
解　(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l：x＋2y－4＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－4－λ＝0.
點(diǎn)P到直線l的距離
d＝＝＝2，
解得λ＝－1或，分別代入直線l方程中，
所以直線l：y＝1或4x＋3y－11＝0.
(2)設(shè)直線l3上任一點(diǎn)M(x，y)關(guān)于直線l2對(duì)稱的點(diǎn)為N(x′，y′)，則lMN⊥l2，MN連線中點(diǎn)在l2上，且N在l1上．
所以解得
點(diǎn)N(y＋1，x－1)代入直線l1：x＋2y－4＝0中，得y＋1＋2(x－1)－4＝0，
整理得2x＋y－5＝0，即為所求直線l3的方程．

11．已知a>0，b>0，兩直線l1：(a－2)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，則＋的最小值為(　　)
A．2 B．4 C. D．8
答案　C
解析　∵a>0，b>0，l1⊥l2，
∴a－2＋2b＝0，整理得a＋2b＝2，
∴＋＝(a＋2b)＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時(shí)等號(hào)成立，
故＋的最小值為.
12．當(dāng)點(diǎn)P(2,3)到直線ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d最大時(shí)，d與a的值依次為(　　)
A．3，－3 B．5,2
C．5,1 D．7,1
答案　C
解析　直線l恒過(guò)點(diǎn)A(－3,3)，
根據(jù)已知條件可知，當(dāng)直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時(shí)，距離最大，最大值為5，此時(shí)a＝1.
13．已知定點(diǎn)P(－2,0)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，則點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值為(　　)
A．2 B. C. D．2
答案　B
解析　(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，
整理得x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，
令
解得x＝y(tǒng)＝1，
所以直線過(guò)定點(diǎn)Q(1,1)，
所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為d＝|PQ|＝＝.
14．經(jīng)過(guò)兩直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點(diǎn)，且和原點(diǎn)相距為1的直線的條數(shù)為_(kāi)_______．
答案　2
解析　設(shè)所求直線l的方程為x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離d＝＝1，
所以λ＝±3，即直線方程為x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原點(diǎn)相距為1的直線的條數(shù)為2.

15．已知直線l：(m＋3)x＋(m－2)y－m－2＝0，點(diǎn)A(－2，－1)，B(2，－2)，若直線l與線段AB相交，則m的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－2,2)
C. D．(4，＋∞)
答案　C
解析　直線l方程變形得(x＋y－1)m＋(3x－2y－2)＝0.

由得
∴直線l恒過(guò)點(diǎn)C，
kAC＝＝，kBC＝＝－，
由圖可知直線l的斜率k的取值范圍為k≤－或k≥，
又k＝－，
∴－≤－或－≥，
即2