人教A版 (2019)7.3* 復(fù)數(shù)的三角表示學(xué)案

這是一份人教A版 (2019)7.3* 復(fù)數(shù)的三角表示學(xué)案，共10頁(yè)。
【新教材】7.3.1 復(fù)數(shù)的三角表示式（人教A版）1. 掌握復(fù)數(shù)的三角形式，熟練進(jìn)行兩種形式的轉(zhuǎn)化; 2. 培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化，推理及運(yùn)算能力;3. 通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美與圖形美.1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)三角表示的理解;2.直觀想象：復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義;3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的轉(zhuǎn)化. 重點(diǎn)：復(fù)數(shù)三角表達(dá)式的理解及其與代數(shù)表達(dá)式之間的互化． 難點(diǎn)：復(fù)數(shù)三角表達(dá)式的理解.一、    預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本83-85頁(yè)，填寫(xiě)。1 .復(fù)數(shù)的輻角 以x軸的正半軸為始邊、_____________________為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。適合于 ____________的輻角θ的值，叫輻角的主值。記作：argz, 即____________.2.復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成____________的形式．其中，r是復(fù)數(shù)的_______；θ是復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角．____________叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái)____________叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)形式．注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點(diǎn)____________________________________.3、兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們____________與____________分別相等．1．復(fù)數(shù)1＋i化成三角形式，正確的是(　　)A．2(cos ＋isin )B．2(cos ＋isin )C．2(cos ＋isin )D．2(cos ＋isin )2．兩個(gè)復(fù)數(shù)z1、z2的模與輻角分別相等，是z1＝z2成立的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．復(fù)數(shù)－2(sin 10°＋icos 10°)的三角形式為___________．題型一  復(fù)數(shù)的三角形式例1　下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；(2) z2＝2(cos －isin )；(3) z3＝－sin θ＋icos θ .跟蹤訓(xùn)練一1．下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．(1)z1＝2(cos π＋isin π) ；(2) z2＝(cosπ－isinπ)；(3) z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．題型二  復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式例2 畫(huà)出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：（1）；   （2）.跟蹤訓(xùn)練二1．把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)－i; (4)－2(sin＋icos)．題型三  把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式例3 分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，畫(huà)出它們對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：（1）；（2）.跟蹤訓(xùn)練三1．把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)z1＝3(cos ＋isin )；(2)z2＝2[cos(－)＋isin (－)]；(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)．1．復(fù)數(shù)的輻角主值是（    ）A． B．  C． D．2．將復(fù)數(shù)化成代數(shù)形式，正確的是（    ）A．4 B．-4 C． D．3．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是_____________.4．復(fù)數(shù)的模是_____________.5．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化：（1）；（2）.答案小試牛刀1. B.2．A.3. 2(cos 260°＋isin 260°).自主探究例1　【答案】(1) z1＝(cos ＋isin )．  (2) z2＝2(cos ＋isin).    (3) z3＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z1＝cos 60°＋isin 30°＝＋i，模r＝＝，cos θ＝，與z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以取θ＝.即z1＝cos 60°＋isin 30°＝(cos ＋isin )．(2)由“加號(hào)連”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z2(2cos ，－2sin )在第四象限，不需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱(chēng)，可用誘導(dǎo)公式“2π－”變換到第四象限．所以z2＝2(cos －isin )＝2[(cos(2π－)＋isin (2π－)]＝2(cos ＋isin)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ為銳角)，需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱(chēng)，可用誘導(dǎo)公式“＋θ”將θ變換到第二象限．所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】(1)是三角形式．  (2) z2＝(cosπ＋isin π)．  (3) z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(cos π＋isin π)符合三角形式的結(jié)構(gòu)特征，是三角形式．(2)由“加號(hào)連”知，不是三角形式．z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，模r＝，cos θ＝－.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以取θ＝π，即z2＝(cos π－isinπ)＝(cosπ＋isin π)．(3) 由“模非負(fù)”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ為銳角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要變換三角函數(shù)名稱(chēng)，因此可用誘導(dǎo)公式“π＋θ”將θ變換到第三象限．所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．例2【答案】（1）作圖見(jiàn)解析;（2）作圖見(jiàn)解析;【解析】（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則.因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以.于是.（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則.因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以.于是.當(dāng)然，把一個(gè)復(fù)數(shù)表示成三角形式時(shí)，輻角不一定取主值.例如也是的三角形式.跟蹤訓(xùn)練二1．【答案】(1) 1＝cos 0＋isin 0.   (2)－2i＝2(cos ＋isin )．(3)－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．  (4)－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．【解析】(1)r＝1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸的正半軸上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos 0＋isin 0. (2) r＝2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，所以arg(－2i)＝.所以－2i＝2(cos ＋isin )．(3) r＝2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－.所以－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．(4)－2(sin＋icos)＝－＋i，r＝2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，且cos θ＝－，所以取θ＝.所以－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．例3【答案】（1）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，作圖見(jiàn)解析,（2）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，作圖見(jiàn)解析,【解析】（1）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示. 所以.（2）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示. 所以.跟蹤訓(xùn)練三1．【答案】(1)z1＝＋i.   (2)z2＝－2i.    (3)z3＝－＋i.【解析】(1)z1＝3(cos ＋isin)＝3×＋3×i＝＋i.(2)z2＝2[cos(－)＋isin(－)]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)＝5×(－)＋5×i＝－＋i.當(dāng)堂檢測(cè) 1-2.BD　3．4．35．【答案】（1）.（2）【解析】（1），所以.（2）所以=.