2021學(xué)年7.3* 復(fù)數(shù)的三角表示導(dǎo)學(xué)案及答案

這是一份2021學(xué)年7.3* 復(fù)數(shù)的三角表示導(dǎo)學(xué)案及答案，共7頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)過程，學(xué)習(xí)小結(jié)，精煉反饋，學(xué)習(xí)重難點，學(xué)習(xí)目標(biāo)，核心素養(yǎng)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
復(fù)數(shù)的三角表示 【學(xué)習(xí)重難點】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】復(fù)數(shù)的三角形式了解復(fù)數(shù)的三角形式，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象復(fù)數(shù)三角形式乘、除運算的三角表示及其幾何意義了解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算【學(xué)習(xí)過程】一、問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角形式是什么？2．復(fù)數(shù)的輻角、輻角的主值是什么？3．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算公式是什么？4．復(fù)數(shù)三角形式乘、除運算的幾何意義是什么？      二、合作探究1．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化角度一  代數(shù)形式化為三角形式把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：（1）＋i；（2）－i.   【解】（1）r＝＝2，因為＋i對應(yīng)的點在第一象限，所以cos θ＝，即θ＝，所以＋i＝2.（2）r＝＝2，cos θ＝，又因為－i對應(yīng)的點位于第四象限，所以θ＝.所以－i＝2.角度二  三角形式化為代數(shù)形式分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．（1）4；（2）(cos 60°＋isin 60°)；（3）2.      【解】（1）復(fù)數(shù)4的模r＝4，輻角的主值為θ＝.4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i＝2＋2i.（2）(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，輻角的主值為θ＝60°.(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i＝＋i.（3）2＝2＝2.所以復(fù)數(shù)的模r＝2，輻角的主值為π.2＝2cos π＋2isin π＝2×＋2×i＝1－i.2．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算計算：（1）8×4；（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；（3）4÷.      【解】（1）8×4＝32＝32＝32＝32＝16＋16i.（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝(cos 75°＋isin 75°)＝＝＋i＝＋i.（3）4÷＝4(cos 0＋isin 0)÷＝4＝2－2i.3．復(fù)數(shù)三角形式乘、除運算的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－i對應(yīng)的向量分別按逆時針和順時針方向旋轉(zhuǎn)，求所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)．       【解】因為3－i＝2＝2所以2×＝2＝2＝2＝3＋i，2×＝2＝2＝－2i.故把復(fù)數(shù)3－i對應(yīng)的向量按逆時針旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為3＋i，按順時針旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為－2i.【學(xué)習(xí)小結(jié)】1．復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量所在射線(射線)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，我們規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．2．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算若復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．（2）＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．【精煉反饋】1．復(fù)數(shù)1－i的輻角的主值是(    )A．π                 B．πC．π   D．解析：選A．因為1－i＝2＝2，所以1－i輻角的主值為π.2．復(fù)數(shù)9(cos π＋isin π)的模是________．答案：93．arg(－2i)＝________．答案：π4．計算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷.解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos 90°＋isin 90°＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷＝2÷＝＝＝－＋i.