高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊第二章 等式與不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性質(zhì)教案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊第二章 等式與不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性質(zhì)教案，共7頁。教案主要包含了教學(xué)重點，教學(xué)難點，情境與問題，嘗試與發(fā)現(xiàn)，典型例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
  第二章  等式與不等式2.2.1 不等式及其性質(zhì)教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)：本節(jié)內(nèi)容為不等式及其性質(zhì)，教材給出了5個性質(zhì)和5個推論，其中有3個性質(zhì)初中已學(xué)習(xí)過。證明不等式，教材給出了配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法。教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生能在實際問題中找到不等關(guān)系，并能列出不等式和不等式組，抽象成數(shù)學(xué)問題；2.引導(dǎo)學(xué)生運用對比聯(lián)想，得到不等式的簡單性質(zhì)，并學(xué)會用綜合法證明不等式；3.使學(xué)生掌握“作差法”比較兩個數(shù)或兩個代數(shù)式的大小；4.讓學(xué)生對不等式性質(zhì)進行直觀解釋和邏輯證明，逐步提升學(xué)生的代數(shù)推理能力，發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).【教學(xué)重點】1.掌握不等式5個性質(zhì)與5個推論.2.掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式.3.熟練靈活運用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式.【教學(xué)難點】1.正確選用性質(zhì)推理和思想方法來證明不等式.教學(xué)過程【情境與問題】        在現(xiàn)實世界里，量與量之間的不等關(guān)系是普遍的，不等式是刻畫不等關(guān)系的工具，我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，稱為不等式.上述不等式符號中，要特別注意“≥”“≤”.事實上，住意給定兩個實數(shù)a，b，那么a≥b?a＞b或a=ba≤b?a＜b或a=b【想一想】  怎樣理解兩個實數(shù)之間的大小呢？我們已經(jīng)知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).一般地，如果點P對應(yīng)的數(shù)為x，則稱x為點P的坐標(biāo)，并記作P（x）.另外，數(shù)軸上的點往數(shù)軸的正方向運動時，它所對應(yīng)的實數(shù)會變大，這就是說，兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的相對位置決定了這兩個數(shù)的大小、如下圖所示的數(shù)軸中，A（a），B（b），不難看出b>1>0>a.    此外，我們也知道，一個數(shù)加上一個正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點向正方向移動了一段距離；一個數(shù)減去一個正數(shù)（即加上一個負數(shù)），相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點向負方向移動了一段距離。由此可以看出，要比較兩個實數(shù)a，b的大小，只要考察a-b與0的相對大小就可以了，即              初中的時候，我們就已經(jīng)歸納出了不等式的三個性質(zhì)：性質(zhì)1    如果a>b，那么a+c>b+c.性質(zhì)2    如果a>b，c>0，那么ac>bx.性質(zhì)3    如果a>b，c<0，那么ac<bc.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】     事實上，如下圖所示，a>b是指點A在點B的右側(cè)，a+c和b+c表示點A和點B在數(shù)軸上做了相同的平移，平移后得到的點A'和B'的相對位置，與A和B的相對位置是一樣的，因此a+c>b+c.   性質(zhì)1可以用如下方式證明：因為（a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b，又因為a>b，所以a-b>0，從而（a+c）-（b+c）>0.因此a+c>b+c.性質(zhì)2可以用類似的方法證明：因為ac-bc=（a-b）c，又因為a>b，所以a-b>0，而c>0，因此（a-b）c>0，因此ac-bx>0，即ac>bx.性質(zhì)3的證明留作練習(xí).【嘗試與發(fā)現(xiàn)】     在不等式的證明與求解中，我們還經(jīng)常用到以下不等式的性質(zhì)。性質(zhì)4     如果a>b，b>c，那么a>c.直觀上，如下圖所示，點A在點B的右側(cè)，點B在點C的右側(cè)，因此點A必定在點C的右側(cè).  證明     因為a-c=（a-b）+（b-c），又因為a>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此（a-b）+（b-c）>0，從而a-c>0，即a>c.性質(zhì)4通常稱為不等關(guān)系的傳遞性.我們前面在判斷x2>-1等類似命題的真假時就用過不等關(guān)系的傳遞性。性質(zhì)5   a>b?b<a.這只要利用a-b=-（b-a）就可以證明，請讀者自行嘗試.另外，值得注意的是，上述不等式性質(zhì)對任意滿足條件的實數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母。【典型例題】例1   比較x2-x和x-2的大小.解   因為(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,又因為(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，從而(x2-x)-(x-2)>0，因此x2-x>x-2. 例1的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，大家應(yīng)熟練掌握.需要注意的是，前面我們證明不等式性質(zhì)和解答例1的方法，其實質(zhì)都是通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法.在證明不等式時，當(dāng)然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等。從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法.下面我們用綜合法來得出幾個常用的不等式性質(zhì)的推論.推論1   如果a+b>c，那么a>c-b.證明     a+b>c?a+b+（-b）>c+（-b）?a>c-b.推論1表明，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊.推論1通常稱為不等式的移項法則.推論2  如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.證明    根據(jù)性質(zhì)1有a>b?a+c>b+c，b>d?b+c>b+d，再根據(jù)性質(zhì)4可知a+c>b+d.我們把a>b和c>d（或a<b和c<d）這類不等號方向相同的不等式，稱為同向不等式.推論2說明，兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向.很明顯，推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向。推論3    如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.證明    根據(jù)性質(zhì)2有a>b，c>0?ac>bc，c>d，b>0?bc>bd，再根據(jù)性質(zhì)4可知ac>bd.很明顯，這個推論也可以推廣為更一般的結(jié)論：幾個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向.推論4    如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）.這個結(jié)論的證明只要多次使用推論3的結(jié)論即可.推論5    如果a>b>0，那么>.證明   假設(shè)≤，即<或=，根據(jù)推論4和二次根式的性質(zhì)，得a<b或a=b.這都與a>b矛盾，因此假設(shè)不成立，從而>.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】 可以看出，推論5中證明方法的實質(zhì)是：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立。這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法. 例2   （1）已知a>b，c<d，求證：a-c>b-d；（2）已知a>b，ab>0，求證：（3）已知a>b>0，0<c<d，求證：證明（1）因為a>b，c<d，所以a>b，-c>-d，根據(jù)推論2，得a-c>b-d.（2）因為ab>0，所以又因為a>b，所以              即，      ，因此      （3）因為0<c<d，根據(jù)（2）的結(jié)論，得                       又因為a>b>0，所以根據(jù)推論3可知                  即可以看出，例2中所使用的方法是綜合法.綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結(jié)論，所以綜合法的實質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結(jié)論。【嘗試與發(fā)現(xiàn)】  直接證明并不容易，因此可以考慮用反證法，請同學(xué)們自行嘗試。不過，為了方便起見，人們通常用下述方式來證明這個結(jié)論：要證，只需證明 展開得10+2<20，即<5，這只需證明即21<25.因為21<25成立，所以成立.上述這種證明方法通常稱為分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為pg，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件.的證明過程也可簡寫為：因為                <521<25，又因為21<25成立，所以結(jié)論成立。例3  已知m>0，求證：證明  因為m>0，所以3+m>0，從而  又因為已知m>0，所以結(jié)論成立.教學(xué)反思 本節(jié)內(nèi)容介紹了多個不等式性質(zhì)和推論,還介紹了高中幾種常用的解題思想方法,學(xué)生需多練習(xí)這方面的習(xí)題。