2022屆江西省臨川一中、臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題含解析

這是一份2022屆江西省臨川一中、臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題含解析，共22頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
江西省臨川一中、臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022屆高三第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式求出集合，再進(jìn)行交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：C.2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的分別為，則共軛復(fù)數(shù)的模為（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，，，再計(jì)算共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，故，，，故.故選：A.3．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（    ）A．10 B．5 C．3 D．4【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解．【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則有，，則；故選：C．4．若，則“是”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先化簡，再由充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】由可得，即，所以，可得，當(dāng)時(shí)，得不出，由可得出，所以是的必要不充分條件，即“是”的必要不充分條件，故選：B.5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：的定義域?yàn)?/span>，，所以是偶函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A不正確；對于B：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)B不正確；對于C：定義域?yàn)?/span>，且，由是偶函數(shù)，，其圖象如圖所示：在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；對于D：由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：為偶函數(shù)，在上不具有單調(diào)性，故選項(xiàng)D不正確；故選：C.6．已知曲線在處的切線方程為，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線方程可得的方程，解方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求．【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線的斜率為，由切線方程，可得，解得，切點(diǎn)為，則，所以故選：B．7．已知為平面區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)動點(diǎn)，向量，則的最大值是（    ）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出線性約束條件所表示的平面區(qū)域，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可知（當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向時(shí)等號成立）從而求得最大值.【詳解】作出線性約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖：根據(jù)向量的數(shù)量積定義可知：（當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向時(shí)等號成立），即當(dāng)所在直線平行于所在直線且方向相同的時(shí)候得到大值，與平行的直線是，所以的最大長度為線段的長，由可得，由可得所以，故選：C.8．某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的表面積（單位：cm2）是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三視圖可知，這個(gè)幾何體是由一個(gè)長方體和一個(gè)直三棱柱拼接而成的，其中長方體的底面是邊長為1的正方形，高為3，直三棱柱的高為1，底面三角形為底邊長為1的等腰三角形，這條邊上的高為1，作出幾何體的原圖形，如圖所示，分別求出兩個(gè)棱柱的表面積，再結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)三視圖可知，這個(gè)幾何體是由一個(gè)長方體和一個(gè)直三棱柱拼接而成的，其中長方體的底面是邊長為1的正方形，高為3，直三棱柱的高為1.，底面三角形為底邊長為1的等腰三角形，這條邊上的高為1，作出幾何體的原圖形，如圖所示：則長方體的表面積為：，直三棱柱的表面積為：，所以該幾何體的表面積（單位：cm2）是.故選：D.9．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?/span>，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，的中點(diǎn)為，故解得，要使從點(diǎn)A到軍營總路程最短，即為點(diǎn)到軍營最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化問題、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等等，解決問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立出數(shù)學(xué)模型，從而解決問題.10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)，.若，，，則的大小關(guān)系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)判斷出函數(shù)的對稱性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，最后利用單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長度，得到的圖象，而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，即關(guān)于縱軸對稱，因此是偶函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，即，所以在時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以，即，，，因?yàn)?/span>，所以，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11．不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用參變分離法，然后求函數(shù)最值即可.【詳解】由得，對恒成立，即對恒成立，從而求，的最小值，設(shè)，則，令得，∴，∴，即恒成立所以故即當(dāng)時(shí)，等號成立，方程在內(nèi)有根，故，所以。故選：C． 二、多選題12．若函數(shù)，則（    ）A．是周期函數(shù) B．在上有4個(gè)零點(diǎn)C．在上是增函數(shù) D．的最小值為【答案】BC【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)，對于A：函數(shù)不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，令，在，上，求得，，，，故B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，，所以，由于，所以且，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D：由于，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：BC． 三、填空題13．的展開式中的系數(shù)為___________.【答案】-4704【分析】分兩種情況討論，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意得，，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以的系數(shù)為：.故答案為：-4704.14．已知，則____________.【答案】或【分析】將已知條件兩邊同時(shí)平方結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，再計(jì)算的值，進(jìn)而可得的值，由平方差公式計(jì)算即可求解.【詳解】由可得，即，所以，可得，所以，所以所以，故答案為：或.15．已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，滿足，且，則不等式的解集是____________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，將已知不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于不等式，然后利用單調(diào)性即可求解．【詳解】設(shè)，則 ，因?yàn)?/span>，，所以，可得在上單調(diào)遞增，不等式，即，即，所以，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，解得：，所以不等式的解集為：，故答案為：．16．如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_____________.【答案】【分析】結(jié)合圖形，由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，利用已知條件，結(jié)合勾股定理，推出結(jié)果即可．【詳解】解：由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，如圖，設(shè)大圓的圓心為O，小圓的圓心為C，E為小圓與上底面的切點(diǎn)，作交于點(diǎn)D，由題意可知，，，，所以，即，，解得，故答案為：． 評卷人得分  四、解答題17．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）令等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，求得，即可得出答案；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法和裂項(xiàng)相消求和法即可求出答案.【詳解】解：（1）令等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題知：，解得，所以，∴，∴，∴；（2）由（1）知，∴.18．如圖在四棱錐，棱底面，底面四邊形為梯形，其中，，點(diǎn)在線段，且滿足.（1）求證：平面；（2）若，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接與，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，證明可得，由線面平行的判定定理即可求證；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）如圖，連接與，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，在梯形中，且，所以，又因?yàn)?/span>滿足，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?/span>平面且，所以，，兩兩垂直，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，可知：，，由點(diǎn)為線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故，所以，令平面與平面的一個(gè)法向量分別為，，由，令，則，所以，由，令，則，所以，令二面角的平面角為，已知為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.19．為了提高學(xué)生身體素質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生廣泛發(fā)展其體育愛好，某大學(xué)每年會舉辦一次盛大的羽毛球比賽，其賽制如下：采用七局四勝制，比賽過程中采用兩種模式：前三場采用“模式1”，后四場采用“模式2”.某位選手率先在7局中拿下4局，比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩位選手進(jìn)行比賽，在“模式1”中，每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為；在“模式2”中，每局比賽雙方獲勝的概率都為，每局比賽結(jié)果互相獨(dú)立.（1）求5局比賽決出勝負(fù)的概率；（2）比賽結(jié)束時(shí)，甲乙總共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)記為，求的分布列與期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）設(shè)在“模式1”比賽中，甲勝的場數(shù)為變量，“模式2”的比賽中甲勝的場數(shù)為變量，則令5場比賽甲勝為事件A，乙勝為事件，5場比賽之后決出勝負(fù)為事件，分別求得，從而可得出答案；（2）寫出隨機(jī)變量的所有取值，求出對應(yīng)隨機(jī)變量的概率，從而可得出答案.【詳解】解：（1）設(shè)在“模式1”比賽中，甲勝的場數(shù)為變量，“模式2”的比賽中甲勝的場數(shù)為變量，則令5場比賽甲勝為事件A，乙勝為事件，5場比賽之后決出勝負(fù)為事件，則：，，所以所以5場比賽決出勝負(fù)的概率為；（2）分析值隨機(jī)變量的所有可能取值為4，5，6，7，則所以的分布列為：4567其期望為.20．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)為橢圓位于軸左側(cè)部分上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求三角形的面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合，，聯(lián)立，即得解；（2）借助導(dǎo)數(shù)求兩條切線斜率，分別表示兩條切線的方程， ，聯(lián)立可得 ，將直線 與拋物線聯(lián)立，借助韋達(dá)定理可將P點(diǎn)坐標(biāo)表示為，令線段 的中點(diǎn)為 ，則，借助韋達(dá)定理和，即得解【詳解】（1）由拋物線的焦點(diǎn)為與橢圓的焦點(diǎn)重合，所以，且離心率，，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）如圖，令，由題意直線的，故設(shè)直線的方程為，不妨令在軸上方，在軸的下方，則∴則過兩點(diǎn)的切線的直線方程分別為：，即：，聯(lián)立直線，即解得聯(lián)立消得∴，又點(diǎn)在橢圓的軸左側(cè)部分，則，∴，∴，令線段的中點(diǎn)為，則，，∴又∵，∴21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為且，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分時(shí)，時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知的兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩根，則，則，則可得，令，，得，則等價(jià)于對任意的恒成立，令，求出函數(shù)的最小值，從而可得答案.【詳解】解：（1）由題知，則，當(dāng)時(shí)，對恒成立，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知的兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩根，即，∴，則可得，令，由知道，∴，，解得，∴等價(jià)于對任意的恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則，所以在上單調(diào)遞增，則不成立，舍去.當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，則，則在上單調(diào)遞增，所以，∴在上單調(diào)遞減，則成立，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，對任意，，所以在上單調(diào)遞增，所以與題設(shè)矛盾舍去，綜上：.22．在平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線的距離的最大值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程；結(jié)合兩角和的正弦公式，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化公式把曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)曲線的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由曲線：得即：曲線的普通方程為，則其極坐標(biāo)方程為；由曲線：得： ，即其直角坐標(biāo)方程為：.（2）令點(diǎn)，則其到的距離為，其中，當(dāng)時(shí)，有最大值為，點(diǎn)到曲線的距離的最大值為.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對分情況討論，去絕對值處理，從而求解出結(jié)果；（2）對任意x∈R，不等式恒成立，即求函數(shù)，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得f(x)的最小值為|a+2|，故原不等式等價(jià)于，進(jìn)行求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，的解集為；（2）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，∴，即，∴，所以的取值范圍為：