北師大版 (2019)1.1 復數的概念學案

這是一份北師大版 (2019)1.1 復數的概念學案，共6頁。
§1　復數的概念及其幾何意義1.1　復數的概念  學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.了解引進虛數單位i的必要性，了解數集的擴充過程．(重點)2．理解在數系的擴充中由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念．(重點、難點)3．掌握復數代數形式的表示方法，理解復數相等的充要條件．(重點)1.通過對復數的相關概念的學習，培養(yǎng)學生數學抽象素養(yǎng)．2．借助復數的分類、復數的相等的相關運算，培養(yǎng)學生數學運算素養(yǎng).1．復數的有關概念形如a＋bi(其中a，b是實數)的數叫作復數，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．其中a稱為復數z的實部，記作Re z, b稱為復數z的虛部，記作Im z.2．復數的分類根據復數中a，b的取值不同，復數可以有以下的分類：復數a＋bi(a，b∈R)3．復數集全體復數構成的集合稱為復數集，記作C．顯然RC．4．復數相等兩個復數a＋bi與c＋di(a，b，c，d∈R)相等定義為：它們的實部相等且虛部相等，即a＋bi＝c＋di當且僅當a＝c且b＝d時成立．思考：1.兩個復數一定能比較大小嗎？提示：當兩個復數為實數時，能夠比較大小；否則不能比較大?。?/span>2．若復數a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是什么？提示：因為a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.1．在2＋，i, 8＋5i，(1－)i, 0.68這幾個數中，純虛數的個數為(　　)A．0　　　　　　　 B．1C．2 D．3C　[i, (1－)i是純虛數，故選C．]2．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，則復數x＋yi等于(　　)A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2iB　[由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，則由題意得1＋xi＝y＋2i，根據復數相等的充要條件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]3．設m∈R，復數z＝－1－m＋(2m－3)i.(1)若z為實數，則m＝________；(2)若z為純虛數，則m＝________.(1)　(2)－1　[(1)若復數z＝－1－m＋(2m－3)i為實數，則2m－3＝0，所以m＝；(2)若z為純虛數，則－1－m＝0，所以m＝－1.]復數的概念【例1】　(1)給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實部是0.其中真命題的個數為(　　)A．0　　　　　　 B．1C．2 D．3(2)已知復數z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數a，b的值分別是________．(1)B　(2)±　 5　[(1)對于①，當z∈R時，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①為假命題；對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部是2，不是2i，②為假命題；對于③，2i＝0＋2i，其實部是0，③為真命題．故選B．(2)由題意知∴a＝±，b＝5.]?1?復數的代數形式：若z＝a＋bi，只有當a，b∈R時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.?2?不要將復數與虛數的概念混淆，實數也是復數，實數和虛數是復數的兩大構成部分.?3?舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這類題時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答.1．下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數，則實數x＝±2；③實數集是復數集的真子集．其中正確說法的個數是(　　)A．0 B．1C．2 D．3B　[對于復數a＋bi(a，b∈R)，當a＝0且b≠0時，為純虛數．對于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數，故①錯誤．對于②，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數，故②錯誤．顯然，③正確．故選B．]復數相等【例2】　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數x，y的值；(2)關于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數a的值．[解]　 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或(2)設方程的實數根為x＝m，則3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，∴解得a＝11或a＝－.復數相等問題的解題技巧?1?必須是復數的代數形式才可以根據實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.?2?根據復數相等的條件，將復數問題轉化為實數問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數問題實數化思想的體現.?3?如果兩個復數都是實數，可以比較大小，否則是不能比較大小的.2．復數z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________.5　[因為m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由復數相等的充要條件得解得m＝5.]復數的分類[探究問題]1. 復數z＝a＋bi(a，b∈R)何時為虛數？提示：b≠0.2．復數z＝a＋bi(a，b∈R)何時為純虛數？提示：a＝0，b≠0.【例3】　當m為何實數時，復數z＝＋(m2－2m－15)i.(1)是虛數；(2)是純虛數．[思路點撥]　(1)→→(2)→→[解]　(1)當即m≠5且m≠－3時，z是虛數．(2)當即m＝3或m＝－2時，z是純虛數．1．例3的條件不變，當m為何值時，z為實數？[解]　當即m＝5時，z是實數．2．例3的條件不變，當m為何值時，z>0.[解]　因為z>0，所以z為實數，需滿足解得m＝5.3．已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虛數，求m的取值范圍．[解]　∵z是虛數，∴log(3－m)≠0，且1＋m>0，即∴－1<m<2或2<m<3. ∴m的取值范圍為(－1,2)∪(2,3)．復數分類的關鍵?1?利用復數的代數形式，對復數進行分類，關鍵是根據分類標準列出實部、虛部應滿足的關系式.求解參數時，注意考慮問題要全面，當條件不滿足代數形式z＝a＋bi?a，b∈R?時應先轉化形式.?2?注意分清復數分類中的條件,設復數z＝a＋bi?a，b∈R?，則①z為實數?b＝0，②z為虛數?b≠0，③z為純虛數?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0.1．對于復數z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到復數z的不同情況．2．兩個復數相等，要先確定兩個復數的實、虛部，再利用兩個復數相等的充要條件進行判斷．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若a，b為實數，則z＝a＋bi為虛數． (　　)(2)復數z＝bi是純虛數．  (　　)(3)若兩個復數的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復數相等．  (　　)[提示]　(1)錯誤．若b＝0，則復數z＝a＋bi是實數．(2)錯誤．若b＝0，則復數z＝bi＝0是實數．(3)正確．若兩個復數的實部的差和虛部的差都等于0，則這兩個復數的實部和虛部分別相等，所以兩個復數相等．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．以3i－的虛部為實部，以3i2＋i的實部為虛部的復數是(　　)A．3－3i　　　　　 B．3＋iC．－＋i D．＋iA　[3i－的虛部為3,3i2＋i＝－3＋i的實部為－3，故選A．]3．已知復數z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，則a＝(　　)A．2 B．3C．－3 D．9B　[因為z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故選B．]4．已知復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，求實數m的值．[解]　因為復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.