高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案及答案

這是一份高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案及答案，共9頁。學(xué)案主要包含了導(dǎo)數(shù)的概念，求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)在實際問題中的意義等內(nèi)容，歡迎下載使用。
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解導(dǎo)數(shù)的概念.2.會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù).3.理解導(dǎo)數(shù)的實際意義．
導(dǎo)語
中國高速鐵路，常被簡稱為“中國高鐵”．中國是世界上高速鐵路發(fā)展最快、系統(tǒng)技術(shù)最全、集成能力最強、運營里程最長、運營速度最快、在建規(guī)模最大的國家．同學(xué)們，高速列車，風(fēng)馳電掣，呼嘯而過，怎樣確定它的瞬時速度？怎樣研究它的速度與路程的關(guān)系呢？
一、導(dǎo)數(shù)的概念
問題 一質(zhì)點按規(guī)律s＝2t2＋2t做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)．
(1)質(zhì)點在前3 s內(nèi)的平均速度是多少？在3 s時的瞬時速度是多少？
(2)對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x從x0變到x0＋Δx時，y關(guān)于x的平均變化率是多少？當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)嗎？
提示 (1)8 m/s,14 m/s.
(2)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)，當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)．
知識梳理
導(dǎo)數(shù)的定義
1．定義：設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x從x0變到x1時，函數(shù)值從f(x0)變到f(x1)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x1?－f?x0?,x1－x0)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).當(dāng)x1趨于x0，即Δx趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值，那么這個值就是函數(shù)y＝f(x)在x0的瞬時變化率．在數(shù)學(xué)中，稱瞬時變化率為函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)．
2．記法：函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，通常用符號f′(x0)表示，記作f′(x0)＝eq \f(f?x1?－f?x0?,x1－x0)
＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
注意點：
(1)函數(shù)應(yīng)在x0的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在．
(2)導(dǎo)數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)y＝f(x)在x＝x0及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與Δx無關(guān)．
(3)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是一個極限值．
例1 若f′(x0)＝a，則eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0－3Δx?,2Δx)的值為( )
A．－2a B．2a
C．a(chǎn) D．－a
答案 B
解析 ∵f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝a，
∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0－3Δx?,2Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?＋f?x0?－f?x0－3Δx?,2Δx)
＝eq \f(1,2)eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＋eq \f(3,2)eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0－3Δx?－f?x0?,－3Δx)
＝eq \f(a,2)＋eq \f(3a,2)＝2a.
反思感悟 利用導(dǎo)數(shù)定義解題時，要充分體會導(dǎo)數(shù)定義的實質(zhì)，雖然表達(dá)式不同，但表達(dá)的實質(zhì)可能相同．
跟蹤訓(xùn)練1 已知eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋2Δx?－f?x0?,Δx)＝1，則f′(x0)等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D．0
答案 C
解析 ∵eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋2Δx?－f?x0?,Δx)＝1，
∴2eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?x0＋2Δx?－f?x0?,2Δx)＝2f′(x0)＝1，
所以f′(x0)＝eq \f(1,2).故選C.
二、求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)
例2 求函數(shù)y＝eq \f(4,x2)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．
解 ∵f(x)＝eq \f(4,x2)，
∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝eq \f(4,?2＋Δx?2)－1＝eq \f(－4Δx－?Δx?2,?2＋Δx?2)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－4－Δx,?2＋Δx?2)，
∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(－4－Δx,?2＋Δx?2)＝－1，∴f′(2)＝－1.
反思感悟 由導(dǎo)數(shù)的定義，可以得到求函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟
(1)求函數(shù)的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均變化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)；
(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx).
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，則m的值等于( )
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
答案 D
解析 因為eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?m＋Δx?－f?m?,Δx)
＝eq \f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq \f(－2,m?m＋Δx?)，
所以f′(m)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(－2,m?m＋Δx?)＝－eq \f(2,m2)，
所以－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.
(2)函數(shù)y＝eq \r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 ∵Δy＝eq \r(1＋Δx)－1，
∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2)，
∴函數(shù)y＝eq \r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為eq \f(1,2).
三、導(dǎo)數(shù)在實際問題中的意義
例3 一質(zhì)點的運動路程s(單位：m)是關(guān)于時間t(單位：s)的函數(shù)：s＝－2t＋3.求s′(1)，并解釋它的實際意義．
解 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s?1＋Δt?－s?1?,Δt)
＝eq \f(－2?1＋Δt?＋3－?－2×1＋3?,Δt)＝－2(m/s)．
當(dāng)Δt趨于0時，eq \f(Δs,Δt)趨于－2，則s′(1)＝－2 m/s，
導(dǎo)數(shù)s′(1)＝－2 m/s表示該質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度．
反思感悟 首先要理解導(dǎo)數(shù)與平均變化率的概念，才能根據(jù)實際問題體會到導(dǎo)數(shù)的實際意義．
跟蹤訓(xùn)練3 某小區(qū)的某一天用電量y(單位：kW·h)是時間x(單位：h)的函數(shù)y＝f(x)，假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝5和x＝12處的導(dǎo)數(shù)分別為f′(5)＝12和f′(12)＝50，試解釋它們的實際意義．
解 f′(5)＝12表示該小區(qū)某一天開始用電后5 h時的用電量增加的速度為12 kW；f′(12)＝50表示該小區(qū)某一天開始用電后12 h時的用電量增加的速度為50 kW.
1.知識清單：
(1)導(dǎo)數(shù)的概念．
(2)求導(dǎo)數(shù)的一般步驟．
(3)導(dǎo)數(shù)在實際問題中的意義．
2．方法歸納：極限思想．
3．常見誤區(qū)：函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)只與x0有關(guān)，與Δx無關(guān)．
1．f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為( )
A．2x B．2 C．2＋Δx D．1
答案 B
解析 eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?1＋Δx?－f?1?,Δx)
＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(1＋2Δx＋?Δx?2－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))(2＋Δx)＝2.
2．函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是( )
A．在該點的函數(shù)的增量與自變量的增量的比
B．一個函數(shù)
C．一個常數(shù)，不是變數(shù)
D．函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率
答案 C
解析 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限值，是個常數(shù)．
3．已知f(x)＝x2－3x，則f′(0)等于( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
答案 C
解析 f′(0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(?0＋Δx?2－3?0＋Δx?－02＋3×0,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(?Δx?2－3Δx,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))(Δx－3)＝－3，故選C.
4．已知函數(shù)y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，則a＝________.
答案 1
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，eq \f(Δy,Δx)＝2a，∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝2a，∴a＝eq \f(1,2) f′(1)＝1.
課時對點練
1．(多選)設(shè)函數(shù)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，以下有關(guān)eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f?x0＋h?－f?x0?,h)的值的說法中不正確的是( )
A．與x0，h都有關(guān)
B．僅與x0有關(guān)而與h無關(guān)
C．僅與h有關(guān)而與x0無關(guān)
D．與x0，h均無關(guān)
答案 ACD
解析 導(dǎo)數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)y＝f(x)在x0及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與h無關(guān)．
2．已知函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且滿足eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?3?－f?3＋Δx?,Δx)＝2，則函數(shù)y＝f(x)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案 B
解析 由題意，知f′(3)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?3＋Δx?－f?3?,Δx)＝－2.
3．汽車在筆直公路上行駛，如果v(t)表示t時刻的速度，則當(dāng)Δt趨近于0時，eq \f(v?t0－Δt?－v?t0?,－Δt)的意義是( )
A．表示當(dāng)t＝t0時汽車的加速度
B．表示當(dāng)t＝t0時汽車的瞬時速度
C．表示當(dāng)t＝t0時汽車的路程變化率
D．表示當(dāng)t＝t0時汽車與起點的距離
答案 A
解析 由于v(t)表示時刻t的速度，則當(dāng)Δt趨近于0時，eq \f(v?t0－Δt?－v?t0?,－Δt)表示當(dāng)t＝t0時汽車的加速度．
4．做直線運動的一物體，其位移s與時間t的關(guān)系式為s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，則其初速度為( )
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
答案 B
解析 當(dāng)t＝0時的瞬時速度，即為初速度，故初速度為eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(s?0＋Δt?－s?0?,Δt)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))(3－Δt)＝3.
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，則x0的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．3eq \r(3)
答案 C
解析 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴eq \f(Δy,Δx)＝3xeq \\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))[3xeq \\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq \\al(2,0)，
由f′(x0)＝3，得3xeq \\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.
6．若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿足eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f?Δx?,Δx)＝－1，則f′(0)等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 C
解析 ∵f(x)的圖象過原點，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f?0＋Δx?－f?0?,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f?Δx?,Δx)＝－1.
7．函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為__________．
答案 16
解析 ∵Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2?Δx?2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.
f′(3)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.
8．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為－8，則f(x0)＝________.
答案 9
解析 由題知－8＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))(2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9.
9．一條水管中流過的水量y(單位：m3)與時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)，并解釋它的實際意義．
解 因為eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(f?2＋Δt?－f?2?,Δt)＝eq \f(3?2＋Δt?－3×2,Δt)＝3，
所以f′(2)＝eq \(lim,\s\d5(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝3.
f′(2)的實際意義：水流在t＝2時的瞬時流速為3 m3/s.
10．設(shè)f(x)在R上可導(dǎo)，求f(－x)在x＝a處與f(x)在x＝－a處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．
解 設(shè)f(－x)＝g(x)，
則f(－x)在a處的導(dǎo)數(shù)為g′(a)，于是
g′(a)＝eq \(lim,\s\d4(x→a))eq \f(g?x?－g?a?,x－a)
＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f?－x?－f?－a?,x－a)
而f′(－a)＝eq \(lim,\s\d4(x→－a))eq \f(f?x?－f?－a?,x＋a)，
令x＝－t，則當(dāng)x→－a時，t→a，
∴f′(－a)＝eq \(lim,\s\d4(t→a)) eq \f(f?－t?－f?－a?,－t＋a)
＝－eq \(lim,\s\d4(t→a)) eq \f(f?－t?－f?－a?,t－a)
＝－g′(a)，
這說明f(－x)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)與f(x)在x＝－a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù)．
11．若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f?1－Δx?－f?1?,2Δx)等于( )
A．－2f′(1) B.eq \f(1,2)f′(1)
C．－eq \f(1,2)f′(1) D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
答案 C
解析 eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f?1－Δx?－f?1?,2Δx)
＝－eq \f(1,2) eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f[1＋?－Δx?]－f?1?,－Δx)＝－eq \f(1,2) f′(1)．
12．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq \f(1,x)，則eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f?x?－f?a?,x－a)等于( )
A．－eq \f(1,a) B.eq \f(2,a) C．－eq \f(1,a2) D.eq \f(1,a2)
答案 C
解析 令Δx＝x－a，則當(dāng)x→a時，Δx→0，
∴eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f?a＋Δx?－f?a?,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(\f(1,a＋Δx)－\f(1,a),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,a?a＋Δx?)))＝－eq \f(1,a2).
13．已知函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11，則eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－2Δx?－f?x0?,Δx)＝________.
答案 －22
解析 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－2Δx?－f?x0?,Δx)
＝－2·eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－2Δx?－f?x0?,?－2Δx?)
＝－2f′(x0)＝－22.
14．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－3Δx?－f?x0?,Δx)＝a，則f′(x0)＝________.
答案 －eq \f(1,3)a
解析 ∵eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－3Δx?－f?x0?,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x0－3Δx?－f?x0?,－3Δx)·?－3?))
＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－eq \f(1,3)a.
15．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，f′(0)>0，且對于任意實數(shù)x，有f(x)≥0，則eq \f(f?1?,f′?0?)的最小值為________．
答案 2
解析 由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?Δx?－f?0?,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(a?Δx?2＋b?Δx?＋c－c,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[a·(Δx)＋b]＝b>0.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq \f(b2,4)，∴c>0.
∴eq \f(f?1?,f′?0?)＝eq \f(a＋b＋c,b)≥eq \f(b＋2\r(ac),b)≥eq \f(2b,b)＝2.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝eq \f(b,2)時等號成立．
16．(1)已知函數(shù)y＝f(x)＝13－8x＋eq \r(2)x2，且f′(x0)＝4，求x0的值；
(2)已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋2xf′(0)，求f′(0)的值．
解 (1)f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝
eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f([13－8?x0＋Δx?＋\r(2)?x0＋Δx?2]－?13－8x0＋\r(2)x\\al(2,0)?,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(－8Δx＋2\r(2)x0Δx＋\r(2)?Δx?2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(－8＋2eq \r(2)x0＋eq \r(2)Δx)＝－8＋2eq \r(2)x0＝4，
∴x0＝3eq \r(2).
(2)f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?0＋Δx?－f?0?,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(?Δx?2＋2Δxf′?0?,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[Δx＋2f′(0)]＝2f′(0)，
∴f′(0)＝0.