必修 第二冊10.2 事件的相互獨(dú)立性導(dǎo)學(xué)案

這是一份必修 第二冊10.2 事件的相互獨(dú)立性導(dǎo)學(xué)案，共6頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，自主學(xué)習(xí)，小試牛刀，經(jīng)典例題，跟蹤訓(xùn)練，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)，課堂小結(jié)，參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。
【自主學(xué)習(xí)】
一．相互獨(dú)立事件的定義
對任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝ 成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立.
二．相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，則事件 與事件 相互獨(dú)立，事件 與事件 相互獨(dú)立，事件 與事件 相互獨(dú)立.
三．相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計(jì)算
【小試牛刀】
思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．( )
(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．( )
(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互獨(dú)立”的充要條件．( )
(4)若兩個(gè)事件互斥，則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立． ( )
【經(jīng)典例題】
題型一 相互獨(dú)立事件的判斷
點(diǎn)撥：兩種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性
(1)定義法：直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.
(2)公式法：檢驗(yàn)P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
例1 判斷下列各對事件是否是相互獨(dú)立事件．
(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；
(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．
【跟蹤訓(xùn)練】1 壇子里放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，則A1與A2是( )
A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件 C．對立事件D．不相互獨(dú)立事件
題型二 相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算
點(diǎn)撥：用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟
1.用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件,
2. 分析事件間的關(guān)系，明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義；
3.將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和；
4.利用乘法公式計(jì)算概率.
例2 在某校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(即每兩隊(duì)比賽一場)，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局．在每一場比賽中，甲勝乙的概率為eq \f(1,3)，甲勝丙的概率為eq \f(1,4)，乙勝丙的概率為eq \f(1,3).
(1)求甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名的概率；
(2)求在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率．
【跟蹤訓(xùn)練】2 一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個(gè)開關(guān)，其閉合的概率為eq \f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是( )
A.eq \f(1,64) B.eq \f(55,64) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
題型三 相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用
例3 某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租用時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，超過兩小時(shí)但不超過三小時(shí)還車的概率分別為eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．
(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；
(2)設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
【跟蹤訓(xùn)練】3 三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，它們是否正常工作相互獨(dú)立.在如圖所示的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.下列事件A，B是相互獨(dú)立事件的是( )
A．一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”
B．袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C．?dāng)S一枚骰子，A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”
D．A表示“一個(gè)燈泡能用1 000小時(shí)”，B表示“一個(gè)燈泡能用2 000小時(shí)”
2.甲、乙同時(shí)參加某次法語考試，甲、乙考試達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為0.6,0.7，兩人考試相互獨(dú)立，則甲、乙兩人都未達(dá)到優(yōu)秀的概率為( )
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
3.甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派1名同學(xué)參加演講活動(dòng)，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是( )
A．eq \f(5,24) B．eq \f(5,12) C．eq \f(1,24) D．eq \f(3,8)
4.在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為eq \f(4,5)和eq \f(3,4).在同一時(shí)間內(nèi)，求：
(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率為________；
(2)至少有一個(gè)氣象臺預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為________．
5.已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，則P(Aeq \(B,\s\up10(－)))＝________；P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)))＝________．
6.小寧某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求：
(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；
(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率．
【課堂小結(jié)】
1.相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別
2.概率問題中的數(shù)學(xué)思想
(1)正難則反．靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法．
(2)化繁為簡．將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)．
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
P(A)P(B) A eq \(B,\s\up6(－)) eq \(A,\s\up6(－)) B eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－))
【小試牛刀】
(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
【經(jīng)典例題】
例1 解 (1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．
(2)前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件．
(3)記A＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(A∩B)＝eq \f(1,6).∴P(A∩B)＝P(A)P(B)，
∴事件A與B相互獨(dú)立．
【跟蹤訓(xùn)練】1 D 解析：由于事件A1是否發(fā)生對事件A2發(fā)生的概率有影響，所以A1與A2是不相互獨(dú)立事件．
例2 解： (1)設(shè)甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名為事件A，則P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,18).
(2)甲隊(duì)至少得3分有兩種情況：兩場只勝一場；兩場都勝．設(shè)事件B為“甲兩場只勝一場”，設(shè)事件C為“甲兩場都勝”，則事件“甲隊(duì)至少得3分”為B ∪C，
則P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).
【跟蹤訓(xùn)練】2 B 解析：設(shè)T＝“A與B中至少有一個(gè)不閉合”，R＝“E與F至少有一個(gè)不閉合”，則P(T)＝P(R)＝1－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，所以燈亮的概率為P＝1－P(T)P(R)P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))＝1－eq \f(3,4)×eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(55,64)，故選B.
例3 解： (1)由題意可得甲、乙兩人超過三小時(shí)但不超過四小時(shí)還車的概率分別為eq \f(1,4)，eq \f(1,4).
記甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A，則P(A)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16).所以甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為eq \f(5,16).
(2)P(ξ＝4)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16)， P(ξ＝6)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16).
【跟蹤訓(xùn)練】3 解：記T1正常工作為事件A，T2正常工作為事件B，T3正常工作為事件C，
則P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝P(C)＝eq \f(3,4)，
電路不發(fā)生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一個(gè)正常工作，T2，T3至少有一個(gè)正常工作的概率P1＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(15,16)，所以整個(gè)電路不發(fā)生故障的概率為P＝P(A)×P1＝eq \f(1,2)×eq \f(15,16)＝eq \f(15,32).
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.A
2.B 解析：所求概率為(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故選B.
3.C 解析：兩班各自派出代表是相互獨(dú)立事件，設(shè)事件A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學(xué)生，則事件AB為兩班派出的都是三好學(xué)生，則P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(9,36)×eq \f(6,36)＝eq \f(1,24).
4.(1)eq \f(3,5) (2)eq \f(19,20)
解析：記“甲氣象臺預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件A，“乙氣象臺預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件B．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5).
(2)至少有一個(gè)氣象臺預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為P＝1－P(eq \(A,\s\up7(－)) eq \(B,\s\up7(－)))＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(19,20).]
5. eq \f(1,6) eq \f(1,6) 解析：因?yàn)镻(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3).所以P(eq \(A,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,3).
所以P(A eq \(B,\s\up10(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)))＝P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
6. 解：用A，B，C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件．
則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(eq \(A,\s\up10(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up10(－)))＝0.1.
(1)由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為
P1＝P(eq \(A,\s\up10(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up10(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up10(－)))＝P(eq \(A,\s\up10(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up10(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up10(－)))
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為
P2＝1－P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))P(eq \(C,\s\up10(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.素 養(yǎng) 目 標(biāo)
學(xué) 科 素 養(yǎng)
1.弄清相互獨(dú)立事件的概念與意義.
2.能夠利用相互獨(dú)立事件的概率公式求解簡單的概率問題.
3.能夠解決實(shí)際問題中的概率問題.
1.數(shù)學(xué)抽象;
2.數(shù)學(xué)運(yùn)算;
3.數(shù)學(xué)建模
概率
A，B互斥
A，B相互獨(dú)立
P(A∪B)
P(A)＋P(B)
1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
P(AB)
0
P(A)P(B)
P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))
1－[P(A)＋P(B)]
P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
P(Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B)
P(A)＋P(B)
P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)
相互獨(dú)立事件
互斥事件
判斷方法
一個(gè)事件發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響
兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即A∩B＝?
概率公式
事件A與B相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB)＝P(A)P(B)
事件A與B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)