20.高一數(shù)學(xué)（人教B版）-向量數(shù)量積的運(yùn)算律-1教案

這是一份20.高一數(shù)學(xué)（人教B版）-向量數(shù)量積的運(yùn)算律-1教案，共7頁。
教 案教學(xué)基本信息課題向量數(shù)量積的運(yùn)算律學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段： 高中年級高一教材書名：  普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第三冊      出版社： 人民教育出版社    出版日期：    2019年 7 月 教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1.通過學(xué)習(xí)體會類比猜想證明的探索性學(xué)習(xí)方法，體會向量數(shù)量積的運(yùn)算方法.         2.通過探究性學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識.教學(xué)重點(diǎn)：向量數(shù)量積的運(yùn)算律及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積運(yùn)算分配律的證明. 教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖一、復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧：    1．復(fù)習(xí)非零向量的夾角               （1）              當(dāng)a與b都是非零向量時， 稱的為向量a 與向量b 的夾角，記作<a , b>.且有<a , b> = <b , a>（2）              當(dāng)<a , b>=時，稱a2．向量數(shù)量積的定義：當(dāng)a與b都是非零向量時， a · b = |a| |b| cos<a , b>.當(dāng)a與b至少有一個是零向量時， a · b = 0.3．向量數(shù)量積的幾何意義： 兩個非零向量的數(shù)量積，等于其中一個向量在另一個向量上投影的數(shù)量與另一個向量的模的乘積.任意向量與單位向量的數(shù)量積，等于這個向量在該單位向量上的投影的數(shù)量.4．       通過回顧反思，對向量數(shù)量積的相關(guān)知識進(jìn)行梳理，為探究運(yùn)算律做準(zhǔn)備.二、探究新知，類比向量的線性運(yùn)算和實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算，探究向量數(shù)量積的運(yùn)算律那么你能夠猜一猜，向量的數(shù)量積運(yùn)算具有什么樣的運(yùn)算律？ 下面探究這些結(jié)論是否正確. 1. 證明：當(dāng)和都是非零向量時，根據(jù)定義，可得，又因?yàn)?/span>所以，當(dāng)和至少有一個是零向量時，綜上，向量數(shù)量積滿足交換律.2. 分析：是實(shí)數(shù)，等式左邊是與共線的向量，同理，等式右邊是與共線的向量.思考①，這個等式有沒有有可能成立？思考②，這個等式是否對任意向量恒成立？問題①：當(dāng)==0時，等式成立.問題②：給出如圖所示例子： 所以，==，所以等式左邊是2，                                 等式右邊是2，因此等式不成立.綜上，等式不一定成立，不能作為向量數(shù)量積的運(yùn)算律.思考③：等式在什么情況下可以成立？課下完成思考.3. 分析：與關(guān)系，與的關(guān)系當(dāng)>0時，=，與同向，=當(dāng)<0時，=-，與反向，=證明：當(dāng)和都是非零向量且時，根據(jù)定義可得當(dāng)>0時，==當(dāng)<0時，===當(dāng)和至少與一個是零向量或時，根據(jù)定義可得綜上，以上結(jié)論對任意向量及任意實(shí)數(shù)恒成立，可以作為運(yùn)算律.4. 分析：三個角之間的關(guān)系不易研究，觀察到待證結(jié)論左右兩側(cè)都有，于是可以將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為等式左邊即為向量在上射影的數(shù)量；等式右邊即為向量在上射影的數(shù)量與在上射影的數(shù)量的和.取是與同向的單位向量，則=由向量數(shù)量積的幾何意義可知任意向量與單位向量的數(shù)量積，等于這個向量在該單位向量上的投影的數(shù)量.證明：當(dāng)和和都是非零向量時，取，即是與同向的單位向量，設(shè)和點(diǎn)O都在直線上，設(shè),則，分別過點(diǎn)A和B作直線的垂線，則是在上投影，是在上投影，是在上投影，因?yàn)?/span>，所以，左右兩邊同時乘以，則有成立.當(dāng)和和至少有一個是零向量時，等式顯然成立.因?yàn)?，向量?shù)量積對加法滿足分配律.小結(jié)：利用數(shù)量積的定義和幾何意義，證明了如下三條運(yùn)算律成立，并且可以推廣出： 對向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行類比猜想，然后進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明，證明過程中培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.四、例題講解例1．求證：分析：證明等式的方法：作差法，綜合法，分析法等證明：考查向量數(shù)量積的分配律，交換律的應(yīng)用.例2.已知求.分析： 代入求值即可.解：所以，考查向量數(shù)量積在求模長中的應(yīng)用，及向量數(shù)量積三條運(yùn)算律的應(yīng)用.例3.用向量法證明菱形的對角線互相垂直.文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：已知是菱形，其中和是對角線，求證：分析：首先結(jié)論向量化                           證明：在菱形中，==因?yàn)?/span>，所以=0，所以，故小結(jié)：用向量法求解幾何問題的三個步驟：步驟1.用向量表示題目中的條件和結(jié)論的幾何關(guān)系；步驟2.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算；步驟3.將向量關(guān)系還原為幾何結(jié)論；關(guān)鍵點(diǎn)：選擇合適、恰當(dāng)?shù)幕紫蛄浚彩请y點(diǎn).通過例題鞏固學(xué)生對向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)、運(yùn)算律等知識的掌握.五、課堂小結(jié)1.向量數(shù)量積的運(yùn)算律及證明；2.利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律解決等式證明及相關(guān)值求解的問題；3.利用向量法求解幾何問題.總結(jié)本節(jié)課向量數(shù)量積的運(yùn)算律及利用定義和運(yùn)算律解決了哪些問題。六 、作業(yè)【作業(yè)參考答案】證明：因?yàn)橛疫?/span>                左邊，所以等式成立.2．解：                            3.證明：設(shè)平行四邊形的對角線是和，所以因?yàn)?/span>,所以，所以.對本節(jié)課所學(xué)知識進(jìn)行鞏固練習(xí).