高中數(shù)學(xué)：3.1《回歸分析》（一） 教案 （北師大選修2-3）

3.1 回歸分析教學(xué)目標(biāo)（1）通過實(shí)例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因；（2）通過對回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法；（3）能求出簡單實(shí)際問題的線性回歸方程．教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計值的探求方法．教學(xué)過程一．問題情境1． 情境：對一作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動過程觀測了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計當(dāng)x=９時的位置y的值．時刻/s位置觀測值/cm根據(jù)《數(shù)學(xué)（必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個問題的方法是：先作散點(diǎn)圖，如下圖所示：從散點(diǎn)圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈直線趨勢，時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式，可以得到線性回歸方為，所以當(dāng)時，由線性回歸方程可以估計其位置值為2．問題：在時刻時，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動位置一定是嗎？二．學(xué)生活動思考，討論：這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系，的實(shí)際值與估計值之間存在著誤差．三．建構(gòu)數(shù)學(xué)1．線性回歸模型的定義：我們將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實(shí)際值與估計值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差；將稱為線性回歸模型．說明：（1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；②忽略了某些因素的影響；③存在觀測誤差．   （2）對于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個問題：        ①模型是否合理（這個問題在下一節(jié)課解決）；        ②在模型合理的情況下，如何估計，？2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計值：對于問題②，設(shè)有對觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對于每一個，對應(yīng)的隨機(jī)誤差項，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時的，值作為，的估計值，記為，．注：這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．用什么方法求，？回憶《數(shù)學(xué)3（必修）》“2．4線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求，的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到，的計算公式為，其中，由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值．在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的線性回歸方程中，，．3． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應(yīng)地平均增加個單位；4． 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想）在實(shí)際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識或散點(diǎn)圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式．   （1），令，，則有．   （2），令，，，則有．   （3），令，，，則有．   （4），令，，，則有．   （5），令，，則有．四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用1．例題：例1．下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計我國年的人口數(shù)． 年份人口數(shù)/百萬解：為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表：作出個點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，由圖可知，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系．根據(jù)公式（1）可得這里的分別為的估計值，因此線性回歸方程為由于年對應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估計為13.23億.例2． 某地區(qū)對本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)：人均資本/萬元人均產(chǎn)出/萬元   （1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計和的值；   （2）估計企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出（精確到）．分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對的兩邊取對數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系．解（1）在的兩邊取常用對數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示． 1人均資本/萬元345.56.578910.511.5142人均產(chǎn)出/萬元4.124.678.6811.0113.0414.4317.525.4626.6645.230.477120.602060.740360.812910.84510.903090.954241.021191.06071.1461340.61490.669320.938521.041791.115281.159271.243041.405861.425861.65514 仿照問題情境可得，的估計值，分別為由可得，即，的估計值分別為和．   （2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見書本 頁）當(dāng)時，（萬元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬元時，人均產(chǎn)值約為萬元．2．練習(xí)：練習(xí)第題．五．回顧小結(jié)：1． 線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）其中的隨機(jī)誤差提供了選擇模型的準(zhǔn)則以及在模型合理的情況下探求最佳估計值，的工具；2． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應(yīng)地平均增加個單位；3．求線性回歸方程的基本步驟．六．課外作業(yè)：第題．回歸分析(2)教學(xué)目標(biāo)（1）通過實(shí)例了解相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，感受相關(guān)性檢驗(yàn)的作用；（2）能對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，并解決簡單的回歸分析問題；（3）進(jìn)一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其顯著性檢驗(yàn)的基本思想、操作步驟．教學(xué)過程一．問題情境1．情境：下面是一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，若求出相應(yīng)的線性回歸方程，求出的線性回歸方程可以用作預(yù)測和估計嗎？         2．問題：思考、討論：求得的線性回歸方程是否有實(shí)際意義．二．學(xué)生活動對任意給定的樣本數(shù)據(jù)，由計算公式都可以求出相應(yīng)的線性回歸方程，但求得的線性回歸方程未必有實(shí)際意義．左圖中的散點(diǎn)明顯不在一條直線附近，不能進(jìn)行線性擬合，求得的線性回歸方程是沒有實(shí)際意義的；右圖中的散點(diǎn)基本上在一條直線附近，我們可以粗略地估計兩個變量間有線性相關(guān)關(guān)系，但它們線性相關(guān)的程度如何，如何較為精確地刻畫線性相關(guān)關(guān)系呢？這就是上節(jié)課提到的問題①，即模型的合理性問題．為了回答這個問題，我們需要對變量與的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)（簡稱相關(guān)性檢驗(yàn)）．三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．相關(guān)系數(shù)的計算公式：對于，隨機(jī)取到的對數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式為．2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：   （1）；   （2）越接近與1，，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；   （3）越接近與0，，的線性相關(guān)程度越弱．可見，一條回歸直線有多大的預(yù)測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)．3．對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的步驟：       相關(guān)系數(shù)的絕對值與1接近到什么程度才表明利用線性回歸模型比較合理呢？這需要對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)．對此，在統(tǒng)計上有明確的檢驗(yàn)方法，基本步驟是：（1）提出統(tǒng)計假設(shè)：變量，不具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在附錄（教材P111）中查出一個的臨界值（其中稱為檢驗(yàn)水平）；（3）計算樣本相關(guān)系數(shù)；（4）作出統(tǒng)計推斷：若，則否定，表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系．說明：1．對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平，即可靠程度為．2．這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系．3．這里的是對抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時即使，兩者也不一定是線性相關(guān)的．故在統(tǒng)計分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋．4．對于上節(jié)課的例1,可按下面的過程進(jìn)行檢驗(yàn)：（1）作統(tǒng)計假設(shè)：與不具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）由檢驗(yàn)水平與在附錄中查得；（3）根據(jù)公式得相關(guān)系數(shù)；（4）因?yàn)?/span>，即，所以有﹪的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,線性回歸方程為是有意義的．四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用1．例題：例1．下表是隨機(jī)抽取的對母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討與之間的關(guān)系．母親身高女兒身高解：所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可以看出，這些點(diǎn)在一條直線附近，           因?yàn)?/span>，，，，， 所以，由檢驗(yàn)水平及，在附錄中查得，因?yàn)?/span>,所以可以認(rèn)為與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．線性回歸模型中的估計值分別為   ，故對的線性回歸方程為．例2．要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績對高一年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，在高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績和高一年級期末數(shù)學(xué)考試成績?nèi)缦卤恚?/span>學(xué)生編號入學(xué)成績高一期末成績（1）計算入學(xué)成績與高一期末成績的相關(guān)系數(shù)；（2）如果與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；（3）若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>分，試估計他高一期末數(shù)學(xué)考試成績．解：(1)因?yàn)?/span>，，，，．因此求得相關(guān)系數(shù)為．結(jié)果說明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的；小結(jié)解決這類問題的解題步驟：   （1）作出散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；   （2）求相關(guān)系數(shù)；   （3）由檢驗(yàn)水平和的值在附錄中查出臨界值，判斷與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；   （4）計算，，寫出線性回歸方程．2．練習(xí)：練習(xí)第題．五．回顧小結(jié)：1．相關(guān)系數(shù)的計算公式與回歸系數(shù)計算公式的比較；2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)；3．探討相關(guān)關(guān)系的基本步驟．六．課外作業(yè)：習(xí)題3.2第題．