高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第一冊1.3 集合的基本運算第1課時學案設(shè)計

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第一冊1.3 集合的基本運算第1課時學案設(shè)計，共8頁。

授課提示：對應學生用書第6頁
[教材提煉]
知識點一 并集
eq \a\vs4\al(預習教材，思考問題)
對于A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；類比實數(shù)的加法運算，你能說出集合C與集合A，B之間的關(guān)系嗎？
知識梳理 (1)定義
一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(unin set)，記作A∪B(讀作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，如圖，可用Venn圖表示．
(2)性質(zhì)
①A∪B＝B∪A；
②A∪A＝A；
③A∪?＝?∪A＝A；
④A?(A∪B)，B?(A∪B)；
⑤A∪B＝A?B?A，A∪B＝B?A?B.
知識點二 交集
eq \a\vs4\al(預習教材，思考問題)
A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；集合A，B與集合C之間有什么關(guān)系？
知識梳理 (1)定義
一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集(intersectin set)，記作A∩B(讀作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn圖表示．
(2)性質(zhì)
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩?＝?；④若A?B，則A∩B＝A；⑤(A∩B)?A；⑥(A∩B)?B.
[自主檢測]
1．(教材P10例1改編)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，則M∪N＝( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
答案：D
2．(教材P10例2改編)已知集合P＝{x|x＜3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，則P∩Q＝( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
答案：A
3．滿足條件{0,1}∪A＝{0,1}的所有集合A的個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
4．(教材P12練習3題改編)設(shè)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，則A∩B＝________________________________________________________________________
答案：{x|x是等腰直角三角形}
授課提示：對應學生用書第7頁
探究一 并集概念及簡單應用
[例1] (1)設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，則M∪N＝( )
A．{x|0≤x≤1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≤1}
[解析] M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．
[答案] A
(2)點集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，則A∪B中的元素不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由題意得，A∪B中的元素是由橫坐標小于0或縱坐標小于0的點構(gòu)成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．
[答案] A
求集合并集的兩種基本方法
(1)定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；
(2)數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸分析求解．
1．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，
∴A∪B＝A，即B?A.∴x2＝3，或x2＝x.
當x2＝3時，得x＝±eq \r(3)，
若x＝eq \r(3)，則A＝{1,3，eq \r(3)}，B＝{1,3}，符合題意；
若x＝－eq \r(3)，則A＝{1,3，－eq \r(3)}，B＝{1,3}，符合題意．
當x2＝x時，得x＝0，或x＝1，
若x＝0，則A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合題意；
若x＝1，則A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互異性，舍去．
綜上知，x＝±eq \r(3)，或x＝0.故滿足條件的實數(shù)x有3個．
答案：C
2．已知M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}．則M∪N＝________.
解析：將集合M和N在數(shù)軸上表示出來，如圖所示，
可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
答案：{x|x＜－5或x＞－3}
探究二 交集概念及簡單應用
[例2] (1)(2018·高考全國卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
[解析] 由題意知A∩B＝{0,2}．
[答案] A
(2)(2018·高考全國卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] 由題意知，A＝{x|x≥1}，則A∩B＝{1,2}．
[答案] C
(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，則A∪B＝________，A∩B＝________.
[解析] 借助數(shù)軸可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}．
[答案] R {x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}
求集合交集的兩種基本方法
(1)定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用交集的定義求解；
(2)數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸分析法求解．
1．(2017·高考全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，則( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) B．A∩B＝?
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) D．A∪B＝R
解析：由3－2x＞0，得x＜eq \f(3,2)，
所以B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2)))))，
又因為A＝{x|x＜2}，
所以A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2)))))，
A∪B＝{x|x＜2}．
答案：A
2.已知集合U＝R，集合M＝{x|－2≤x＜2}和N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}的關(guān)系的Venn圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有( )
A．3個 B．2個
C．1個 D．0個
解析：由題意得，陰影部分所示的集合為M∩N，由N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}知N表示奇數(shù)集合，又由M＝{x|－2≤x＜2}得，在－2≤x＜2內(nèi)的奇數(shù)為－1,1.
所以M∩N＝{－1,1}，共有2個元素．
答案：B
探究三 集合交、并集運算及應用
[例3] 已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范圍．
(2)若A∩B＝?，求a的取值范圍．
[解析] (1)因為A∪B＝B，所以A?B，
觀察數(shù)軸可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≥a，,4≤3a，))所以eq \f(4,3)≤a≤2.
(2)A∩B＝?有兩類情況：B在A的左邊和B在A的右邊，如圖．
觀察數(shù)軸可知，a≥4或3a≤2，又a＞0，
所以0＜a≤eq \f(2,3)或a≥4.
由集合的運算性質(zhì)求參數(shù)值(范圍)的注意事項
(1)要考慮因參數(shù)的影響是否需要分類討論；
(2)要有數(shù)形結(jié)合思想的意識，借助于數(shù)軸會更方便直觀；
(3)對于A∩B＝A的情況要考慮到A是否為?的情況．
1．本例條件下，若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范圍．
解析：畫出數(shù)軸如圖．
觀察圖形可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,3a≥4，))即a＝3.
2．若本例題變?yōu)椋阂阎狝＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．若A∪B＝R，求a的取值范圍．
解析：由a＜a＋8，又B＝{x|x＜－1或x＞5}，
在數(shù)軸上標出集合A，B，如圖．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋8≥5,a＜－1))，
∴－3≤a＜－1.
授課提示：對應學生用書第8頁
一、并集元素個數(shù)何其多eq \x(?直觀想象、邏輯推理)
(1)“或”的理解：“x∈A或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B.
(2)一般地，對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
[典例] 某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26,15,13，同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有________人．
[解析] 設(shè)參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學和化學小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖．
由全班共36名同學可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同時參加數(shù)學和化學小組的有8人．
[答案] 8
二、“有”與“無”，“虛”與“實”的對立與統(tǒng)一——集合交、并運算的端點值的選用eq \x(?直觀想象、邏輯推理)
[典例] 集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范圍；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范圍．
[解析] (1)由A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，
畫出數(shù)軸如圖所示．
由圖可知，若A∩B＝?，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－1，,a＋3≤5，))解得－1≤a≤2.
(2)由A∩B＝A，得A?B.
則a＋3＜－1或a＞5，即a＜－4或a＞5.
糾錯心得 由于A中含端點a、a＋3，而B中不含端點－1及5.根據(jù)A∩B＝?的含義，a＝－1，a＋3＝5時，也成立．而A?B時，則不能取“＝”．對于是否取端點．可單獨驗證．
內(nèi) 容 標 準
學 科 素 養(yǎng)
1.理解兩個集合的并集的含義，會求兩個簡單集合的并集．
數(shù)學抽象、數(shù)學運算
直觀想象
2.理解兩個集合的交集的含義，會求兩個簡單集合的交集．
3.能使用Venn圖表達集合的并集、交集