數(shù)學(xué)5.6 幾何證明舉例教案設(shè)計(jì)

這是一份數(shù)學(xué)5.6 幾何證明舉例教案設(shè)計(jì)，共12頁。教案主要包含了課時(shí)安排，第一課時(shí)，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn)，教學(xué)過程，第二課時(shí)，作業(yè)布置，第三課時(shí)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
【課時(shí)安排】
4課時(shí)
【第一課時(shí)】
【教學(xué)目標(biāo)】
1．證明并掌握“AAS”定理；會(huì)用“AAS”定理解決有關(guān)的問題。
2．知道全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角平分線相等，對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等；
并會(huì)證明這些結(jié)論。
3．掌握幾何證明題思路、及命題證明的一般步驟和規(guī)范書寫格式。
4．增強(qiáng)合作意識(shí)，提高邏輯思維能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1．證明并掌握“AAS”定理；會(huì)用“AAS”定理解決有關(guān)的問題。
2．掌握幾何證明題思路、及命題證明的一般步驟和規(guī)范書寫格式。
【教學(xué)過程】
（一）前置練習(xí)，積累知識(shí)。
（1）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的_____相等，_____相等。
（2）判定兩個(gè)三角形全等的方法：_____、_____、_____、_____，其中_____、_____、_____都已作為基本事實(shí)。
（3）幾何證明的過程一般包括三個(gè)步驟：_____，_____，_____。
知識(shí)點(diǎn)1：“AAS”定理：兩角分別相等且其中一組等角的_____也相等的三角形全等。
知識(shí)點(diǎn)2：適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線：例1，通過添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)_____三角形。
知識(shí)點(diǎn)3：全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角平分線_____，對(duì)應(yīng)中線_____，對(duì)應(yīng)高_(dá)____。
（二）情境激趣，導(dǎo)入新課。
證明“AAS”定理：
兩角分別________且其中一組等角的________也相等的三角形全等。
問題：
1．這個(gè)命題的條件是________________，結(jié)論是________________。
2．能根據(jù)題意畫出題目中用到的圖形嗎？
3．能據(jù)圖形和條件，把命題的條件用數(shù)學(xué)語言寫成已知嗎？把結(jié)論寫成求證嗎？
4．已知一邊相等，再知道條件_____________可以用SSS來說明；或可以知道條件_______可以用ASA來說明全等。題目當(dāng)中符合這兩種判定方法嗎？能根據(jù)題目已知兩角對(duì)應(yīng)相等，求出另外一個(gè)角相等，這樣可以選擇方法____________來證明。能總結(jié)證明“命題問題”的題目的一般步驟嗎？_________________________。
（三）自主學(xué)習(xí)，合作探究。
1．典例精析
閱讀課本例1，然后完成下列問題：
問題：圖中有三角形嗎？有全等三角形嗎？已知什么條件可推全等？
已知：______________________
求證：______________________
證明：______________________
證明全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，其他課下完成。
2．針對(duì)性訓(xùn)練，
（1）兩個(gè)三角形只有以下元素對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩個(gè)三角形全等的是（ ）
A．兩角和一邊 B．兩邊及夾角 C．三個(gè)角 D．三條邊
（2）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，點(diǎn)E、F分別是BD、DC的中點(diǎn)，
則圖中全等三角形共有（ ）
A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)
（3）已知：如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求證：△AED≌△BFC。
（4）已知：如圖，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F。
求證：BE=CD
（四）歸納總結(jié)，提升能力。
（五）當(dāng)堂檢測(cè)，檢查效果。
1．如下圖，已知AD＝BC，要證明ΔABC≌ΔBAD，根據(jù)“SSS”，還需要一個(gè)條件___________，根據(jù)“SAS”，還需要一個(gè)條件________________。
2．如圖，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AC∥BD，則ΔAOC≌ΔBOD的理由是___________。
3．如圖，AB＝AD，BE＝DE，∠1＝∠2，則圖中全等三角形共有_____對(duì)。
4．已知：如圖，點(diǎn)A．C．B在一條線上，且AC=EC，DC=BC，∠ACE=∠DCB。
求證：（1）△ACD≌△ECB；（2）AD=EB。
5．如圖，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。
6．如圖6，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。
求證：BE=CD。
【第二課時(shí)】
【教學(xué)目標(biāo)】
1．證明并掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理。
2．學(xué)會(huì)上述定理在幾何證明及計(jì)算中的應(yīng)用。
3．進(jìn)一步熟悉證明題的一般方法，從已知和結(jié)論進(jìn)行分析，嚴(yán)格書寫過程。
4．培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
進(jìn)一步熟悉證明題的一般方法，從已知和結(jié)論進(jìn)行分析，嚴(yán)格書寫過程。
【教學(xué)過程】
（一）前置練習(xí)，積累知識(shí)。
（1）已知AB是線段CD的垂直平分線， E是AB上的一點(diǎn)，如果EC=7cm，那么ED=______cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=_______°。
（2）已知A和B兩點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，則∠AEB=( )
A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
（二）情景激趣，導(dǎo)入新課。
我們學(xué)了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，你能證明它們嗎？
（三）自主學(xué)習(xí)，合作探究。
1．預(yù)習(xí)檢查
（1）線段是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是____________________。
（2）線段垂直平分線的性質(zhì)及的逆命題是____________，逆命題是______命題。
2．典例精析
☆探究一：證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理
已知：直線_______是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)_____。
點(diǎn)P是直線______上的任意一點(diǎn)。
求證：______=_______
證明：（1）當(dāng)點(diǎn)____不與線段的中點(diǎn)M重合時(shí)。
∵CD⊥AB（已知）
∴∠_____=∠_____=90°（垂直平分線的定義）
∵PM=PM( ) MA=_____（垂直平分線的定義）
∴△APM≌△________( )
∴PA=PB( )
（2）當(dāng)點(diǎn)_______與線段的中點(diǎn)M重合時(shí)。
∵M(jìn)A=MB（垂直平分線的定義）
∴PA=PB( )
☆探究二：證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：
到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。
學(xué)生先組交流后獨(dú)立完成證明過程，師適時(shí)補(bǔ)充。并找代表展示。
3．針對(duì)性練習(xí)
（1）如圖，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分線AB=8，BC=4，∠A=36°，則∠DBC=_______，△BDC的周長(zhǎng)等于_______。
（2）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求△ABE的周長(zhǎng)。
（四）歸納總結(jié)，能力提升。
1．學(xué)會(huì)了：（知識(shí)點(diǎn)、思想方法等）__________________________________；
2．不太懂的地方：__________________________________。
（五）當(dāng)堂檢測(cè)，檢查效果。
2．如果三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)恰好落在第三邊上，則這個(gè)三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
3．已知：如圖，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點(diǎn)，求證：BE=DE
4．如圖所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC．
求∠PAQ的度數(shù)。
【作業(yè)布置】
1．必做題：第8、9題；
2．選做題：第12題。
預(yù)習(xí)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。
【第三課時(shí)】
【教學(xué)目標(biāo)】
1．證明并掌握角平分線的性質(zhì)定理及逆定理。
2．會(huì)用上述定理證明有關(guān)的命題。
3．知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達(dá)形式，學(xué)會(huì)綜合法證明的格式。
4．養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1．證明并掌握角平分線的性質(zhì)定理及逆定理。
2．會(huì)用上述定理證明有關(guān)的命題。
3．知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達(dá)形式，學(xué)會(huì)綜合法證明的格式。
【教學(xué)過程】
（一）前置練習(xí)，積累知識(shí)。
1．相關(guān)知識(shí)鏈接
（1）角平分線的定義：__________________________________。
（2）∠AOB的平分線上一點(diǎn)M，M到OA的距離為2cm，則M到OB的距離為_________。
（3）判定兩個(gè)三角形全等的方法有：______________________________________。
2．知識(shí)點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的________________________相等。
知識(shí)點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的___________相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。
知識(shí)點(diǎn)3：證明三角形三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）
（二）情境激趣，導(dǎo)入新課。
（三）自主學(xué)習(xí)，合作探究。
☆探究一：角平分線的性質(zhì)定理的證明（學(xué)生自學(xué)課本內(nèi)容，教師點(diǎn)撥。）
已知：如圖，射線______是∠ABC的平分線，點(diǎn)P在BD上，______⊥A，______⊥BC，垂足分別是點(diǎn)______和______。
求證：______=______
證明：（用“∵、∴”的格式寫出證明過程。）
定理歸納：
☆探究二：證明角平分線的性質(zhì)定理的逆定理（即角平分線的判定定理）
問題：（1）角平分線的性質(zhì)定理的逆命題是____________________，
逆命題的條件是____________________結(jié)論是____________________。
（2）要證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，只要證明兩條角平分線的交點(diǎn)也在____________________上就可以了。
已知：____________________
求證：____________________
證明：____________________
定理歸納：
☆探究三：證明三角形三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）
已知：____________________
求證：____________________
證明：____________________
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于______點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離______。
引申：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，若設(shè)這一點(diǎn)到其中一邊的距離為m，三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則三角形的面積S=______。
課堂練習(xí)：
1．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，則DE+DC=______cm。
2．已知：如圖，已知AD為△ABC的角平分線，∠B=90°，DF⊥AC，垂足為F，DE=DC．
求證：BE=CF
（四）歸納總結(jié)，提升能力。
1．學(xué)會(huì)了：（知識(shí)點(diǎn)、思想方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣等。）
2．不太懂的地方：______
3．今后努力的方向：______
（五）當(dāng)堂檢測(cè)，檢查效果。
1．已知：△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且交于P，若P到邊AB的距離為3cm，△ABC的周長(zhǎng)為18cm，則△ABC的面積為______。
2．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（ ）
A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．不能確定
3．已知：OP是∠MON內(nèi)的一條射線，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分別為C、D、E、F，且AC=AD．
求證：BE=BF
4．如圖，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分線。
求證：AC+CD=AB
【第四課時(shí)】
【教學(xué)目標(biāo)】
1．進(jìn)一步熟悉證明題的題型，掌握判定直角三角形全等的斜邊、直角邊判定定理。
2．在已知一直角邊和斜邊的條件下，會(huì)用尺規(guī)作圖的方法作直角三角形。
3．能夠運(yùn)用斜邊、直角邊判定定理及其它三角形全等的判定方法進(jìn)行證明。
4．增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1．在已知一直角邊和斜邊的條件下，會(huì)用尺規(guī)作圖的方法作直角三角形。
2．能夠運(yùn)用斜邊、直角邊判定定理及其它三角形全等的判定方法進(jìn)行證明。
【教學(xué)過程】
（一）前置練習(xí)，積累知識(shí)。
1．若∠A=∠D，AB=DE，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)_____（簡(jiǎn)寫）。
2．若∠A=∠D，BC=EF，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)_____（簡(jiǎn)寫）。
3．若AB=DE，BC=EF，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)______（簡(jiǎn)寫）。
4．若AB=DE，BC=EF，AC=DF，則Rt△ABC與Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根據(jù)______（簡(jiǎn)寫）。
思考交流：判定兩個(gè)直角三角形全等，有哪些方法？
（1）三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于______。
（2）有一個(gè)角是______角的三角形叫做直角三角形，它通常用符號(hào)______表示。
（3）命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的條件是______，結(jié)論是______；它是______命題（填“真”“假”）。
（二）情境激趣，導(dǎo)入新課。
學(xué)生讀課本：交流與發(fā)現(xiàn)（2）后，書寫Rt△ABC與Rt△A′B′C′全等的證明過程。
總結(jié)：直角三角形全等的判定定理__________________________________________
這個(gè)定理可以簡(jiǎn)單地計(jì)作“__________________”或“___________________”。
學(xué)生交流課本：交流與發(fā)現(xiàn)（3），得出結(jié)論___________________
對(duì)于創(chuàng)設(shè)情境、引入新課中的問題：如果AB=DE，AC=DF，那么兩個(gè)直角三角形是否全等？說明理由。
總結(jié)：直角三角形兩邊對(duì)應(yīng)相等，如果兩邊都是直角邊，根據(jù)_______證明全等；如果兩邊是一條直角邊和一條斜邊，根據(jù)___________________來說明另一邊也相等，根據(jù)_______證明全等，也可以直接根據(jù)________證明全等。
（三）自主學(xué)習(xí)，合作探究。
1．如圖CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD．
求證：CD=CB
2．已知：如圖12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，，AE=CF。
求證：（1）；（2）。
（四）總結(jié)歸納，提升能力。
回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，教師作補(bǔ)充。
（五）當(dāng)堂檢測(cè)，檢查效果。
1．如圖：Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC與BD交與點(diǎn)O，則有_______≌_______，判定的根據(jù)是_______。還有_______≌_______判斷的根據(jù)是_______。
2．已知：如圖，AB=CD，DE⊥AC于E點(diǎn)，BF⊥AC于F，且AE=CF，∠D=60°。
求：∠A的度數(shù)。
3．已知：如圖，BE，CF為△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于H點(diǎn)。
求證：AB=AC