湘教版必修25.1兩角和與差的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

這是一份湘教版必修25.1兩角和與差的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思，共4頁。教案主要包含了教材地位和作用分析，學(xué)情分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，教學(xué)工具，教學(xué)方法，教學(xué)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
兩角和與差的余弦是本章的重要內(nèi)容，是同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式等知識(shí)的延伸，是后繼內(nèi)容兩角和與差的正弦、正切及二倍角公式的知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用。本課時(shí)主要講授兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)以及應(yīng)用。
二、學(xué)情分析：
本課時(shí)面對(duì)的學(xué)生是高一年級(jí)的學(xué)生，數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時(shí)期，學(xué)生對(duì)探索未知世界有主動(dòng)意識(shí)，對(duì)新知識(shí)充滿探求的渴望。他們經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的高中生活，儲(chǔ)備了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握了一些高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)建立了良好的知識(shí)基礎(chǔ)。
三、教學(xué)目標(biāo)：
1、通過兩角和與差的余弦公式的探究和推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握公式的內(nèi)容，通過公式的應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及功能。
2、通過兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)利用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問題，通過例題，提高學(xué)生分析問題能力、計(jì)算能力和合作學(xué)習(xí)的能力。
3、讓學(xué)生經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)、探索、應(yīng)用的過程，體驗(yàn)成功的樂趣，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)的規(guī)律和方法，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：
教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。
五、教學(xué)工具：多媒體
六、教學(xué)方法：講授法，探究法
七、教學(xué)過程：
（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題
我們已經(jīng)知道等特殊角的三角函數(shù)值，那能否不通過査表求得角的余弦值？ 通過特殊角之間的關(guān)系，實(shí)數(shù)乘法滿足分配律，我們猜想 ：成立嗎？
上述例子告訴我們，并不成立，與和的三角函數(shù)值存在怎樣的關(guān)系？這是本節(jié)課所要解決的問題。
回顧歷史，用幾何方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式:
“數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的”（恩格斯語）。事實(shí)上，為改善天文、航海等計(jì)算，三角學(xué)才應(yīng)運(yùn)而生。早期，由于幾何學(xué)發(fā)展的地位，數(shù)學(xué)家們最先是從幾何的角度研究三角運(yùn)算的。有兩位古希臘數(shù)學(xué)家托勒密和帕普斯都用幾何的方法推導(dǎo)出兩角差的余弦 公式（如托勒密與弦圖，帕普斯通過構(gòu)造幾何圖形證明三角公式），接下來我們沿著數(shù)學(xué)家的足跡來研究上述問題：

思考：
（1）如圖，設(shè)AM=1，你能用α-β、α、β的正弦或余弦來表示圖中的線段AD、BN、CN嗎？
（2）由此你能得出cs(α-β)與α、β的正弦和余弦有什么關(guān)系？
上述公式由于幾何圖形的限制，角α、β都是銳角且α>β，那么這一結(jié)論是否對(duì)任意的α、β都成立呢？因此，我們有必要尋找一個(gè)新的視角解決此問題。觀察公式 cs(α-β)= csαcsβ+sinαsinβ 左右兩端的結(jié)構(gòu)， 你能聯(lián)想到最近學(xué)習(xí)的什么運(yùn)算？
（二）雙基回眸，復(fù)習(xí)舊知
為更好的研究這個(gè)問題，先來做兩個(gè)知識(shí)鋪墊：
（通過填寫導(dǎo)學(xué)案知識(shí)點(diǎn)使學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)、為新課的推進(jìn)做準(zhǔn)備。）
1、數(shù)量積的定義： ；
2、數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若，，則 ；
3、夾角余弦公式: .
（三）步步為營，探究新知
1、如圖，A、B分別為角α、β 的終邊與單位圓上的交點(diǎn)，
則
點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；點(diǎn)的坐標(biāo)為

；

對(duì)任意的、，上述關(guān)系仍然成立嗎？
（讓學(xué)生通過特殊值在轉(zhuǎn)化到一般情況，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。）
設(shè)，，則
，又由，，的夾角為， 由夾角公式得
當(dāng)時(shí)，就是；對(duì)任意
，總可選取適當(dāng)?shù)恼龜?shù)，使，所以。所以得到
現(xiàn)在我們得到了的余弦，的余弦又等于多少？（完成導(dǎo)學(xué)案探究）
探究：已知兩個(gè)角的正弦、余弦，求的余弦。
用代替，可得到兩角和的余弦公式：
．
點(diǎn)評(píng)：加與減的本身是統(tǒng)一的，可以看成，利用變量替換的方法得出兩角和的余弦公式。
由此得到兩角和與差的余弦公式：
強(qiáng)調(diào)的任意性。
觀察兩個(gè)公式，你能歸納上述兩角和與差的余弦公式在結(jié)構(gòu)上的特征嗎？
（歸納公式特征有利于學(xué)生記憶）
括號(hào)內(nèi)的符號(hào)與展開式的符號(hào)相反；
乘在一起的三角函數(shù)名相同；
差的余弦先寫余弦相乘。
（四）深入探究，應(yīng)用公式
例1 請(qǐng)用特殊角分別代替公式中、，你能求哪些非特殊角的值呢？（選擇的特殊角可以是30°60°45°等）
（1） ；
（2）；
（3） .
……
剛剛我們一起探究了公式在求值方面的應(yīng)用，求值一般是從左到右的應(yīng)用，作為一個(gè)等式，它存在正用和逆用兩方面。下面請(qǐng)思考例2.
例2 求下列式子的值：
（1）;
（2）;
（3）.
通過這兩個(gè)題我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)公式的功能就是用來求值和化簡，下面來看例3.
例3、已知，求，的值。
變式：已知，求的值。
總結(jié)：利用公式時(shí)要注意哪些角已知，盡可能用已知角表示未知角，代入求解。比如常見的有，等。
（五）歸納小結(jié)，感悟思維方法
下面請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（學(xué)生總結(jié)，教師點(diǎn)評(píng)補(bǔ)充）
布置作業(yè)，復(fù)習(xí)鞏固
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探究：探究兩角和與差的正弦公式。