小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全

這是一份小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全，共6頁。主要包含了一個數(shù)分別為等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.想 數(shù) 碼
例如，1989年“從小愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題6：兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5，第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的數(shù)碼調(diào)換了位置。某同學(xué)的答數(shù)是16246。試問該同學(xué)的答數(shù)正確嗎？(如果正確，請你寫出這個四位數(shù)；如果不正確，請說明理由)。
思路一：易知兩個四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相等，奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)，這兩個四位數(shù)相加的和必為偶數(shù)。
相應(yīng)位數(shù)兩數(shù)碼之和，個、十、百、千位分別是17、13、11、15。所以該同學(xué)的加法做錯了。正確答案是
思路二：每個數(shù)碼都不小于5，百位上兩數(shù)碼之和的11只有一種拆法5＋6，另一個5只可能與8組成13，6只可能與9組成15。這樣個位上的兩個數(shù)碼，8＋9＝16是不可能的。
不要把“數(shù)碼調(diào)換了位置”誤解為“數(shù)碼順序顛倒了位置?！?
2.尾數(shù)法
例1 比較 1222×1222和 1221×1223的大小。
由兩式的尾數(shù)2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
知 1222×1222＞1221×1223
例2 二數(shù)和是382，甲數(shù)的末位數(shù)是8，若將8去掉，兩數(shù)相同。求這兩個數(shù)。
由題意知兩數(shù)的尾數(shù)和是12，乙數(shù)的末位和甲數(shù)的十位數(shù)字都是4。
由兩數(shù)十位數(shù)字之和是8－1＝7，知乙數(shù)的十位和甲數(shù)的百位數(shù)字都是3。
甲數(shù)是348，乙數(shù)是34。
例3 請將下式中的字母換成適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。
由3和a5乘積的尾數(shù)是1，知a5只能是7；
由3和a4乘積的尾數(shù)是7－2＝5，知a4是5；……不難推出原式為
142857×3＝428571。
3.從較大數(shù)想起
例如，從1～10的十個數(shù)中，每次取兩個數(shù)，要使其和大于10，有多少種取法？
思路一：較大數(shù)不可能取5或比5小的數(shù)。
取6有6＋5；
取7有7＋4，7＋5，7＋6；
…………………………………………
取10有九種 10＋1，10＋2，……10＋9。
共為 1＋3＋5＋7＋9＝25(種)。
思路二：兩數(shù)不能相同。較小數(shù)為1的只有一種取法1＋10；為2的有2＋9，2＋10；……較小數(shù)為9的有9＋10。
共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(種)
這是從較小數(shù)想起，當(dāng)然也可從9或8、7、……開始。
思路三：兩數(shù)和最大的是19。兩數(shù)和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五種1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法 5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(種)。
4.想大小數(shù)之積

用最大與最小數(shù)之積作內(nèi)項(或外項)的積，剩的相乘為外項(或內(nèi)項)的積，由比例基本性質(zhì)知

交換所得比例式各項的位置，可很快列出全部的八個比例式。


5.由得數(shù)想
例如，思考題：在五個0.5中間加上怎樣的運算符號和括號，等式就成立？其結(jié)果是
0，0.5，1，1.5，2。
從得數(shù)出發(fā)，想：
兩個相同數(shù)的差，等于0；
一個數(shù)加上或減去0，仍等于這個數(shù)；
一個因數(shù)是0，積就等于0；
0除以一個數(shù)(不是0)，商等于0；
兩個相同數(shù)的商為1；
1除以0.5，商等于2；……
解法很多，只舉幾種：
(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\
(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
.想平均數(shù)
思路一：由“任意三個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是中間的數(shù)”。設(shè)第一個數(shù)為“1”，則中間數(shù)占

知這三個數(shù)是14、15、16。

二、一個數(shù)分別為

16－1＝15，
15－1＝14 或 16－2＝14。
若先求第一個數(shù)，則

思路三：設(shè)第三個數(shù)為“1”，則第二、三個數(shù)，

知是15、16。
思路四：第一、三個數(shù)的比是7∶8，第一個數(shù)是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三個數(shù)，則
2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶數(shù)
例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結(jié)果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你還能想出不同的添法嗎？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的“＋”，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“減去4”可變?yōu)椤皽p1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學(xué)生沒學(xué)過負(fù)“－1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要將“＋”變?yōu)椤埃钡臄?shù)和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
為了減少計算。應(yīng)注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結(jié)果為100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)，結(jié)果不會是100。
(2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇數(shù)和。
由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n－1。
例如，32對應(yīng)奇數(shù)2×32－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇數(shù)和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數(shù)和為292＝841。
所求為 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結(jié)果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你還能想出不同的添法嗎？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的“＋”，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“減去4”可變?yōu)椤皽p1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學(xué)生沒學(xué)過負(fù)數(shù)“－1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要將“＋”變?yōu)椤埃钡臄?shù)和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
為了減少計算。應(yīng)注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結(jié)果為100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)，結(jié)果不會是100。
(2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇數(shù)和。
由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n－1。
例如，32對應(yīng)奇數(shù)2×32－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇數(shù)和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數(shù)和為292＝841。
所求為 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
8.約倍數(shù)積法
任意兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個自然數(shù)的積。
證明：設(shè)M、N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為P，最小公倍數(shù)為Q、且M、N不公有的因數(shù)各為a、b。
那么 M×N＝P×a×P×b。
而 Q＝P×a×b，
所以 M×N＝P×Q。
例1 甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是105。甲數(shù)是21，乙數(shù)是多少？

例2 已知兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是155，求這兩個數(shù)。
這兩個互質(zhì)數(shù)的積為1×155＝155，還可分解為5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是40，大數(shù)是數(shù)的2.5倍，求各數(shù)。
由上述定理和題意知兩數(shù)的積，是小數(shù)平方的2.5倍。
小數(shù)的平方為4×40÷2.5＝64。
小數(shù)是8。
大數(shù)是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。
9.想 份 數(shù)





10巧用分解質(zhì)因數(shù)
例1 四個比1大的整數(shù)的積是144，寫出由這四個數(shù)組成的比例式。
144＝24×32
＝(22×3)×[(2×3)×2]
＝(4×3)×(6×2)
可組成4∶6＝2∶3等八個比例式。
例2 三個連續(xù)自然數(shù)的積是4896，求這三個數(shù)。
4896＝25×32×17
＝24×17×(2×32)
＝16×17×18

1728＝26×33＝(22×3)3＝123
385＝5×7×11

例4 1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質(zhì)因數(shù)，它們的和是多少？
1992＝2×2×2×3×83
2＋3＋83＝88
例5 甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩數(shù)的積是1620，求這兩個數(shù)。
1620＝22×34×5
＝(32×22)×(32×5)
甲數(shù)是45，乙數(shù)是36。
例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個數(shù)且積相等，求這兩組數(shù)。
八個數(shù)的積等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每組數(shù)的積為2×32×52×7×11×132×127。兩組為

例7 600有多少個約數(shù)？
600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
＝23×3×52
只含因數(shù)2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的約數(shù)分別為：
2、22、23；
3；
5、52；
2×3、22×3、23×3；
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
3×5、3×52；
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因數(shù)的數(shù)只有1。
這八種情況約數(shù)的個數(shù)為；
3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
不難發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律：把給定數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，寫成冪指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1后相乘，其積就是所求約數(shù)的個數(shù)。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
?【小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全】巧想妙算文字題
17.想 法 則
用來說明運算規(guī)律(或方法)的文字，叫做法則。
子比分母少16。求這個分?jǐn)?shù)？
由“一個分?jǐn)?shù)乘以5，是分子乘以5分母不變”，結(jié)果是分子的5倍比3倍比分母少16。知
分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子為18÷2＝9，分母為9×5－2＝43或9×3＋16＝43。

18.想 公 式



證明方法：

以分母a，要加(或減)的數(shù)為

(2)設(shè)分子加上(或減去)的數(shù)為x，分母應(yīng)加上(或減去)的數(shù)為y。



19.想 性 質(zhì)
例1 1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個多少倍？



200÷16＝12.5(倍)。
例2 思考題：三個最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母大于10，且它們最小公分母是60；其中一個分?jǐn)?shù)的值，等于另兩個分?jǐn)?shù)的和。寫出這三個分?jǐn)?shù)。
由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
由“分子是連續(xù)自然數(shù)”，知分子只能是小于12的自然數(shù)。
滿足題意的三個分?jǐn)?shù)是



(二)第400個分?jǐn)?shù)是幾分之幾？
此題特點：

(2)每組分子的排列：

假設(shè)某一組分?jǐn)?shù)的分母是自然數(shù)n，則分子從1遞增到n，再遞減到1。分?jǐn)?shù)的個數(shù)為n＋n－1＝2n－1，即任何一組分?jǐn)?shù)的個數(shù)總是奇數(shù)。
(3)分母數(shù)與分?jǐn)?shù)個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應(yīng)關(guān)系
分母：1、2、3、4、5、……
分?jǐn)?shù)個數(shù)：1、3、5、7、9、……
(4)每組分?jǐn)?shù)之前(包括這組本身)所有分?jǐn)?shù)個數(shù)的和，等于這組的組號(這一組的分母)的平方。
例如，第3組分?jǐn)?shù)前(包括第3組)所有分?jǐn)?shù)個數(shù)的和是32=9。
10×2－1－6=13(個)位置上。

分別排在81＋7＝88(個)，81＋13=94(個)的位置上。
或者102=100， 100－12=88。
100－6＝94， 88＋6＝94。
問題(二)：由上述一串分?jǐn)?shù)個數(shù)的和與組號的關(guān)系，將400分成某數(shù)的平方，這個數(shù)就是第400個分?jǐn)?shù)所在的組數(shù)400＝202，分母也是它。
第400個分?jǐn)?shù)在第20組分?jǐn)?shù)中，400是這20組分?jǐn)?shù)的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個，即
若分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第415個和385個分?jǐn)?shù)各是多少。

逆向思考，上述的一串分?jǐn)?shù)中，分母是35的排在第幾到第幾個？
352－(35×2－1)＋1
＝1225－69＋1＝1157。
排在1157－1225個的位置上。
20.由規(guī)則想
例如，1989年從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題：接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)字。
例如，8×9＝72，在9后面寫2，9×2＝18，在2后面寫8，……得到一串?dāng)?shù)：1989286……
這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？
先按規(guī)則多計算幾個數(shù)字，得1989286884286884……顯然，1989后面的數(shù)總是不斷重復(fù)出現(xiàn)286884，每6個一組。
(1989－4)÷6＝330……5
最后一組數(shù)接著的五個數(shù)字是28688，即第1989個數(shù)字是8。
21.用 規(guī) 律
例1 第六冊P62第14題：選擇“＋、－、×、÷”中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2＝0
(2)2 2 2 2 2＝1
……
(10)2 2 2 2 2＝9
解這類題的規(guī)律是：
先想用兩、三個2列出，結(jié)果為0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；
再聯(lián)想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2 第六冊P63題4：寫出奇妙的得數(shù)
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得數(shù)依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：
第一個加數(shù)由2開始，每式依次增加1。第二個加數(shù)由乘式組成，被乘數(shù)的位數(shù)依次為1、12、123、……繼續(xù)寫下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=11111111111
12＋12345679011×9=111111111111
……
很自然地想到，可推廣為

(1)當(dāng)n=1、2時，等式顯然成立。
(2)設(shè)n=k時，上式正確。當(dāng)n=k＋1時
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，由(1)、(2)可斷定對于任意的自然數(shù)n，此等式都成立。
例3 牢記下面兩個規(guī)律，可隨口說出任意一個自然數(shù)作分母的，所有真分?jǐn)?shù)的和。
(1)奇數(shù)(除1外)作分母的所有真分?jǐn)?shù)的和、是(分母－1)÷2。

=(21－1)÷2=10。
22.巧想條件
比5小，分母是13的最簡分?jǐn)?shù)有多少個。
7～64為64－(7－1)＝58(個)，去掉13的倍數(shù)13、26、39、52，余下的作分子得54個最簡分?jǐn)?shù)。
例2 一個整數(shù)與1、2、3，通過加減乘除(可添加括號)組成算式，若結(jié)果為24這個整數(shù)就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有幾個是可用的。
看結(jié)果，想條件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24
23.想和不變

無論某數(shù)是多少，原分?jǐn)?shù)的分子與分母的和7＋11=18是不變的。
而新分?jǐn)?shù)的分子與分母的和為1＋2=3，要保持原和不變，必同時擴大18÷3＝6(倍)。

某數(shù)為7－6＝1或12－11＝1。
24.想和與差





算理，原式相當(dāng)于


求這個分?jǐn)?shù)。


25.想差不變

分子與分母的差41－35＝6是不變的。新分?jǐn)?shù)的此差是8－7＝1，要保持原差不變，新分?jǐn)?shù)的分子和分母需同時擴大6÷1＝6(倍)。



某數(shù)為42－35＝7，或48－41＝7。
與上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，

某數(shù)為11－6＝5或23－18＝5。

分子加上3變成1，說明原分?jǐn)?shù)的分子比分母小3。當(dāng)分母加上2后，分子比分母應(yīng)小3＋2=5。




26.想差的1/2
對于任意分母大于2的同分母最簡真分?jǐn)?shù)來說，其元素的個數(shù)一定是偶數(shù)，和為這個偶數(shù)的一半。分母減去所有非最簡真分?jǐn)?shù)(包括分子和分母相同的這個假分?jǐn)?shù))的個數(shù)，差就是這個偶數(shù)。
例1 求分母是12的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和。
由12中2的倍數(shù)有6個，3的倍數(shù)有4個，(2×3)的倍數(shù)2個，知所求數(shù)是

例2 分母是105的，最簡真分?jǐn)?shù)的和是多少？
倍數(shù)15個，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍數(shù)分別是7、3、5個，(3×5×7)的倍數(shù)1個。知
105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
48÷2＝24。
27.借助加減恒等式
個數(shù)。



若從中找出和為1的9個分?jǐn)?shù)，將上式兩邊同乘以2，得


這九個分?jǐn)?shù)是


28.計算比較
例如，九冊思考題：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得數(shù)有什么規(guī)律？


……
可見，除數(shù)是11，被除數(shù)是1的幾倍(倍數(shù)不得大于或等于11)，商
17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11

凡商是純循環(huán)小數(shù)的除式，都有此規(guī)律；不是純循環(huán)小數(shù)的，得數(shù)不存在這一規(guī)律。

不難發(fā)現(xiàn)，它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)比除數(shù)少1，循環(huán)數(shù)字和順序相同，只是起點不同。

只要記住1÷7的循環(huán)節(jié)數(shù)字“142857”和順序，計算時以最大商的數(shù)字為起點，順序?qū)懗鋈垦h(huán)節(jié)數(shù)字，即可。
29.由驗算想
例如，思考題：計算1212÷101，……，3939÷303，你能從計算中得到啟發(fā)，很快說出下面各題的得數(shù)？
4848÷202，7575÷505，……
3939÷303
＝(3030＋909)÷303
＝3030÷303＋909÷303
＝10＋3＝13
備課用書這種由“除法的分配律”解，要使三年級學(xué)生接受，比較困難。
若從“除法的驗算”推導(dǎo)
由3939÷303＝( )，

商百位上的3和13相乘才可得39，商個位上的3也必須與13相乘得39，除數(shù)是13確定無疑。顯然，在被除數(shù)上面寫上除數(shù)，使位數(shù)對齊，口算很快會得出結(jié)果。
所以商是12。
30.想 倍 比





31.擴 縮 法
例如，兩數(shù)和是42，如果其中一個數(shù)擴大5倍，另一個數(shù)擴大4倍，則和是181。求這兩個數(shù)。
若把和，即這兩個數(shù)都擴大4倍，則得數(shù)比181小，因為原來擴大5倍的那個數(shù)少擴大了1倍。差就是那個數(shù)。
181－42×4＝13
42－13＝29
若把兩數(shù)都擴大5倍，結(jié)果比181多了原來擴大4倍的那個數(shù)。
42×5－181＝29，42—29＝13。

若把181縮小4倍，則得數(shù)比42大。因為其中的一個數(shù)先擴大5倍，又

若把181縮小5倍，得數(shù)比42小。因為先擴大4倍的那個數(shù)，又縮小5

最佳想法：
兩數(shù)擴大的倍數(shù)不同，181不會是42的整倍數(shù)。相除就把多擴大1倍的那個數(shù)以余數(shù)形式分離出來。
181÷42＝4余13。
另個數(shù)可這樣求

32.分別假設(shè)
例如，1992年中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個正方形的一邊減少20％，另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來的正方形面積相等。那么，正方形的面積是多少平方米。
設(shè)正方形的邊長為1，另一邊增加的百分?jǐn)?shù)為x，則
(1－1×20％)×(1＋x)＝1，

正方形邊長 2÷25％＝8(米)，
面積 8×8＝64(平方米)。
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