小升初數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案：列不定方程解應(yīng)用題.教師版

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列不定方程解應(yīng)用題









教學(xué)目標(biāo)


1、 熟練掌握不定方程的解題技巧
2、 能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程
3、 學(xué)會(huì)解不定方程的經(jīng)典例題

知識(shí)精講

一、知識(shí)點(diǎn)說明
歷史概述
不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問題就是一個(gè)不定方程組問題，公元世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究．宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來．
考點(diǎn)說明
在各類競(jìng)賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中．在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個(gè)工具解題。
二、運(yùn)用不定方程解應(yīng)用題步驟
1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程
2、根據(jù)解不定方程方法解方程
3、找到符合條件的解
模塊一、不定方程與數(shù)論
【例 1】 把拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，一個(gè)是的倍數(shù)（要盡量?。?，一個(gè)是的倍數(shù)（要盡量大），求這兩個(gè)數(shù)．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題．可設(shè)拆成的兩個(gè)數(shù)分別為和，則有：，要讓取最小值，取最大值．
可把式子變形為：，可見是整數(shù)，滿足這一條件的最小為7，且當(dāng)時(shí)，．
則拆成的兩個(gè)數(shù)分別是和．
【答案】則拆成的兩個(gè)數(shù)分別是和．

【鞏固】 甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，兩人共搬了塊磚．問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)甲搬的是塊，乙搬的是塊．那么．觀察發(fā)現(xiàn)和都是的倍數(shù)，所以也是的倍數(shù)．由于，所以只能為6或12．
時(shí)，得到；
時(shí)，此時(shí)不是整數(shù)，矛盾．
所以甲搬了塊，乙搬了塊，甲比乙搬得多，多塊．
【答案】甲比乙搬得多，多塊

【鞏固】 現(xiàn)有足夠多的角和角的郵票，用來付元的郵資，問角的郵票需要多少張？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)角和角的郵票分別有張和張，那么就有等量關(guān)系：．
嘗試的取值，當(dāng)取時(shí)，能取得整數(shù)，當(dāng)再增大，取大于等于的數(shù)時(shí)，沒有自然數(shù)解．所以角的郵票需要張．
【答案】角的郵票需要張

【例 2】 用十進(jìn)制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為___________________.
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】北大附中，資優(yōu)博雅杯
【解析】 若是四位數(shù)，則，矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。
若是兩位數(shù)，則，也不可能，故只有三位數(shù).
，化簡(jiǎn)得.由于，
所以或.時(shí)，，，或，；時(shí)，，.
所以所有自然數(shù)之和為.
【答案】所有滿足條件的自然數(shù)之和為

模塊二、不定方程與應(yīng)用題
【例 3】 有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大的能裝千克油，小的能裝千克油，千克油恰好裝滿這些油桶．問：大、小油桶各幾個(gè)？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)有大油桶個(gè)，小油桶個(gè)．由題意得：

可知，所以．由于、必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將的所有可能值代入方程，可得時(shí)，這一組整數(shù)解．
所以大油桶有個(gè)，小油桶有個(gè)．
小結(jié)：這道題在解答時(shí)，也可聯(lián)系數(shù)論的知識(shí)，注意到能被5整除的數(shù)的特點(diǎn)，便可輕松求解.
【答案】大油桶有個(gè)，小油桶有個(gè)

【例 4】 在一次活動(dòng)中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學(xué)“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次．“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以，讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以，再把兩個(gè)得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正確地說出了他們各自命中的次數(shù)．你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)丁丁和冬冬分別命中了次和次，則：．可見除以4的余數(shù)為3，而且不能超過6，所以，．即丁丁命中了次，冬冬命中了次．
【答案】丁丁命中了次，冬冬命中了次

【鞏固】 某人打靶，發(fā)共打了環(huán)，全部命中在環(huán)、環(huán)和環(huán)上．問：他命中環(huán)、環(huán)和環(huán)各幾發(fā)？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 假設(shè)命中10環(huán)發(fā)，7環(huán)發(fā)，5環(huán)發(fā)，則由⑵可知除以5的余數(shù)為3，所以、9……如果為9，則，所以只能為4，代入原方程組可解得，．所以他命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)．
【答案】命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)

【例 5】 某次聚餐，每一位男賓付元，每一位女賓付元，每帶一個(gè)孩子付元，現(xiàn)在有的成人各帶一個(gè)孩子，總共收了元，問：這個(gè)活動(dòng)共有多少人參加(成人和孩子)？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)參加的男賓有人，女賓有人，則由題意得方程：，即，化簡(jiǎn)得．這個(gè)方程有四組解：，，和，
但是由于有的成人帶著孩子，所以能被整除，檢驗(yàn)可知只有后兩組滿足．
所以，這個(gè)活動(dòng)共有人或人參加．
【答案】這個(gè)活動(dòng)共有人或人參加

【鞏固】 單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個(gè)孩子參加．男職工每人種棵樹，女職工每人種棵樹，每個(gè)孩子都種棵樹，他們一共種了棵樹，那么其中有多少名男職工？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 因?yàn)橛械穆毠じ鲙б粋€(gè)孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是的倍數(shù)．設(shè)男職工有人，女職工有人．
則職工總?cè)藬?shù)是人，孩子是人．得到方程：，化簡(jiǎn)得：．因?yàn)槟新毠づc女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，．其中只有是的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12名男職工．
【答案】其中有12名男職工

【例 6】 張師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，李師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，兩人天共縫制上衣和裙褲件，那么其中上衣是多少件？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 如果天都縫制上衣，共可縫制件，實(shí)際上比這多縫制了件，這就要把上衣?lián)Q成裙褲，張師傅每天可多換件，李師傅每天可多換件，設(shè)張師傅縫制裙褲天，李師傅縫制裙褲天，則：，整數(shù)解只有，．
因此共縫制裙褲件，上衣共件．
【答案】上衣共件

【鞏固】 小花狗和波斯貓是一對(duì)好朋友，它們?cè)谠缤硪娒鏁r(shí)總要叫上幾聲表示問候．若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細(xì)心的小娟對(duì)它們的叫聲統(tǒng)計(jì)了天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面．在這天內(nèi)它們共叫了聲．問：波斯貓至少叫了多少聲？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 早晨見面小花狗和波斯貓共叫聲，晚上見面共叫聲．設(shè)在這15天內(nèi)早晨見面次，晚上見面次．根據(jù)題意有：(，)．
可以湊出，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)樾』ü饭步辛?聲，那么越大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少，所以當(dāng)，時(shí)波斯貓叫得最少，共叫了(聲)．
【答案】叫了聲

【例 7】 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個(gè)配件與一個(gè)配件組成．甲每天生產(chǎn)300個(gè)配件，或生產(chǎn)150個(gè)配件；乙每天生產(chǎn)120個(gè)配件，或生產(chǎn)48個(gè)配件．為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 假設(shè)甲、乙分別有天和天在生產(chǎn)配件，則他們生產(chǎn)配件所用的時(shí)間分別為天和天，那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了配件個(gè)，共生產(chǎn)了配件
個(gè)．要將它們配成套，配件與配件的數(shù)量應(yīng)相等，即，得到，則．
此時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為，要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多，就要使得最大，而最大為10，所以最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品．
【答案】最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品

【鞏固】 某服裝廠有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件．現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車間合作21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 假設(shè)甲、乙兩個(gè)車間用于生產(chǎn)上衣的時(shí)間分別為天和天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為天和天，那么總共生產(chǎn)了上衣件，
生產(chǎn)了褲子件．
根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以，即，即．那么共生產(chǎn)了套衣服．
要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得最小，則應(yīng)最大，而最大為21，此時(shí)．故最多可以生產(chǎn)出套衣服．
【答案】最多可以生產(chǎn)出套衣服

【例 8】 有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天完成，乙單獨(dú)做需要天完成，丙單獨(dú)做需要天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了 天．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)完成這項(xiàng)工程用了天，其間丙休息了天．
根據(jù)題意可知：，，化簡(jiǎn)得．
由上式，因?yàn)榕c都是的倍數(shù)，所以必須是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，在 的條件下，只有，一組解，即丙休息了天．
【答案】丙休息了天

【例 9】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為人和人，那么有：．由于知道中巴車的載客人數(shù)，也就是知道了的取值范圍，所以應(yīng)該從入手．顯然被除所得的余數(shù)與被除所得的余數(shù)相等，從個(gè)位數(shù)上來考慮，的個(gè)位數(shù)字只能為1或6，那么當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)是或時(shí)成立．由于的值在20與25之間，所以滿足條件的，繼而求得，所以大巴車的載客人數(shù)為人．
【答案】大巴車的載客人數(shù)為人

【鞏固】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)．
【解析】 設(shè)大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為人和人，那么有：．
考慮等式兩邊除以7的余數(shù)，由于被除余，所以被除余，符合條件的有：、、、，所以，繼而求得，所以大巴車的載客人數(shù)為人．
【答案】大巴車的載客人數(shù)為人

【鞏固】 每輛大汽車能容納54人，每輛小汽車能容納36人．現(xiàn)有378人，要使每個(gè)人都上車且每輛車都裝滿，需要大、小汽車各幾輛？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)需要大、小汽車分別為輛、輛，則有：，可化為．
可以看出是3的倍數(shù)，又不超過10，所以可以為0、3、6或9，將、3、6、9分別代入可知有四組解：；或；或；或
即需大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛．
【答案】大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛

【鞏固】 小偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？”小峰說：“我養(yǎng)的兔比雞多，雞兔共條腿．”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解．
設(shè)小峰養(yǎng)了只兔子和只雞，由題意得：

即：，
這是一個(gè)不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：

















由題意，且，均不為，所以，，也就是兔有只，雞有只．
【答案】兔有只，雞有只

【例 10】 一個(gè)家具店在1998年總共賣了213張床．起初他們每個(gè)月賣出25張床，之后每個(gè)月賣出16張床，最后他們每個(gè)月賣出20張床．問：他們共有多少個(gè)月是賣出25張床？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】香港保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽
【解析】 設(shè)賣出25、16、20張床的月份分別為、、個(gè)月，則：

由⑴得，代入⑵得．
顯然這個(gè)方程的正整數(shù)解只有，．
所以只有1個(gè)月是賣出25張床的．
【答案】只有1個(gè)月是賣出25張床的

【例 11】 五年級(jí)一班共有人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有、、、、五個(gè)小組．若參加組的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只有人．那么，參加組的有_______人．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】希望杯，二試
【解析】 設(shè)參加組的有人，參加組、組的有人，則，
由題知，整理得；
由于，若，得，滿足題意；若，則，與矛盾；
所以只有，符合條件，故參加組的有人．
【答案】參加組的有人

【例 12】 將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組．已知甲乙丙的平均年齡分為，，.甲乙兩組人合起來的平均年齡為；乙丙兩組人合起來的平均年齡為．則這一群人的平均年齡為 .
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)
【解析】 設(shè)甲乙丙三組分別有人，依提議有：
⑴⑵

由⑴化簡(jiǎn)可得，由⑵化簡(jiǎn)可得，所以；
因此，這一群人的平均年齡為．
【答案】

【例 13】 個(gè)大、中、小號(hào)鋼珠共重克，大號(hào)鋼珠每個(gè)重克，中號(hào)鋼珠每個(gè)重克，小號(hào)鋼珠每個(gè)重克．問：大、中、小號(hào)鋼珠各有多少個(gè)？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)大、中、小號(hào)鋼珠分別有個(gè)，個(gè)和個(gè)，則： ，得．可見是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，且小于30，所以只能為21，故，代入得，．所以大、中、小號(hào)鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè)．
【答案】大、中、小號(hào)鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè)

【鞏固】 袋子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字，和，小明從中摸出12個(gè)球，它們的數(shù)字之和是．問：小明最多摸出幾個(gè)標(biāo)有數(shù)字的球？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)小明摸出標(biāo)有數(shù)字，和的球分別為，，個(gè)，于是有

由，得，
由于，都是正整數(shù)，因此在⑶中，取時(shí)．取最大值，
所以小明最多摸出5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球．
【答案】最多摸出5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球

【例 14】 公雞1只值錢5，母雞一只值錢3，小雞三只值錢1，今有錢100，買雞100只，問公雞、母雞、小雞各買幾只？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)買公雞、母雞、小雞各、、只，根據(jù)題意，得方程組 由②①，得，即：，因?yàn)椤檎麛?shù)，所以不難得出應(yīng)為的倍數(shù)，故只能為、、，從而相應(yīng)的值分別為、、，相應(yīng)的值分別為、、．所以，方程組的特殊解為，，，所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只．
【答案】公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只

【鞏固】 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得分，套中小猴得分，套中小狗得分．小明共套了次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套次共得分．問：小明至多套中小雞幾次？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)套中小雞次，套中小猴次，則套中小狗()次．根據(jù)得分可列方程：，化簡(jiǎn)后得．顯然越小，越大． 將代入得，無整數(shù)解；若，，解得，所以小明至多套中小雞次．
【答案】小明至多套中小雞次

【例 15】 開學(xué)前，寧寧拿著媽媽給的元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支元，鉛筆每支元．寧寧買完兩種筆后把錢花完．請(qǐng)問：她一共買了幾支筆？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 (法一)由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費(fèi)用已知，所以可以根據(jù)不定方程分析兩種筆的數(shù)量，進(jìn)而得解．設(shè)她買了支圓珠筆，支鉛筆，由題意列方程：，所以，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以應(yīng)該能被整除，又因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，寧寧共買了支筆或支筆．
(法二)換個(gè)角考慮：將“一支圓珠筆和一支鉛筆”看成一對(duì)，分析寧寧可能買了幾對(duì)筆，不妨設(shè)為對(duì)，余下的一定是圓珠筆與鉛筆中的唯一一種．一對(duì)筆的售價(jià)為“元，由題意可知，，又為整數(shù)
（1） 當(dāng)時(shí)，余款為，不能被或整除，這種情況不可能；
（2） 當(dāng)時(shí)，余款為，能被整除，也就是說配對(duì)后，余下支圓珠筆．此時(shí)，寧寧買了支圓珠筆，支鉛筆，共支筆．
（3） 當(dāng)時(shí)，余款為，能被整除，也就是說配對(duì)后，余下支圓珠筆．此時(shí)，寧寧買了支圓珠筆，支鉛筆，共支筆．
（4） 當(dāng)時(shí)，余款為，不能被或整除，這種情況不可能，由上面的分析可知，寧寧共買了支筆或支筆．
【答案】寧寧共買了支筆或支筆

【鞏固】 小華和小強(qiáng)各用角分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是分一支和分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強(qiáng)多．小華比小強(qiáng)多買來鉛筆多少支．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】迎春杯，預(yù)賽
【解析】 設(shè)買分一支的鉛筆支，分一支的鉛筆支．則：，是的倍數(shù)．用，，，，，，，，代入檢驗(yàn)，只有，滿足這一要求，得出相應(yīng)的，．即小華買鉛筆支，小強(qiáng)買鉛筆支，小華比小強(qiáng)多買支．
【答案】小華比小強(qiáng)多買支

【例 16】 藍(lán)天小學(xué)舉行“迎春”環(huán)保知識(shí)大賽，一共有名男、女選手參加初賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的人選．已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的，而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多．參加決賽的男、女選手各有多少人？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時(shí)女選手人數(shù)的，所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)，參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)．
設(shè)參加初賽的男生為人，參加初賽的女生為人．
根據(jù)題意可列方程：．
解得，或．
又因?yàn)閰⒓記Q賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多，也就是要比大，所以第一組解不合適，只有，滿足．
故參加決賽的男選手為人，女選手為人．
【答案】男選手為人，女選手為人

【鞏固】 今有桃個(gè)，分給甲、乙兩班學(xué)生吃，甲班分到的桃有是壞的，其他是好的；乙班分到的桃有是壞的，其他是好的．甲、乙兩班分到的好桃共有幾個(gè)？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 甲班分到的桃是的倍數(shù)，乙班分到的桃是的倍數(shù)，假設(shè)甲班分到桃個(gè)，乙班分到桃個(gè)．于是：，解得，，即甲班分到桃(個(gè))，乙班分到桃(個(gè))．所以，兩班共分到好桃 (個(gè))．
【答案】?jī)砂喙卜值胶锰覀€(gè)

【例 17】 甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到粒．如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的倍．甲、乙兩人共有多少粒糖？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)甲、乙原有糖分別為粒、粒，甲給乙的數(shù)量為粒，則依題意有：
，且．整理得
由⑴得，代入⑵得，即．
因，故或．
若，則，，不合題意．
因而，對(duì)應(yīng)方程組有唯一解，，．則甲、乙共有糖粒．
【答案】甲、乙共有糖粒

【鞏固】 有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍．如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的倍．問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)第一堆磚有塊，則根據(jù)第一個(gè)條件可得第二堆磚有塊．
再設(shè)從第二堆中取出塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的倍，可列方程：
，化簡(jiǎn)得，
那么．
因?yàn)槭钦麛?shù)，與互質(zhì)，所以應(yīng)是的倍數(shù)，最小是，推知最小是，所以，第一堆中的磚頭最少有塊．
【答案】第一堆中的磚頭最少有塊

【例 18】 甲乙丙三個(gè)班向希望工程捐贈(zèng)圖書，已知甲班有人捐冊(cè)，有人各捐冊(cè)，其余都各捐冊(cè)，乙班有人捐冊(cè)，人各捐冊(cè)，其余各捐冊(cè)；丙班有人各卷冊(cè)，人各捐冊(cè)，其余各捐冊(cè)。已知甲班捐書總數(shù)比乙班多冊(cè)，乙班比丙班多冊(cè)，各班捐書總數(shù)在冊(cè)與冊(cè)之間，問各班各有多少人？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽
【解析】 我們?cè)O(shè)甲班有人，乙班有人，丙班有人，那么三個(gè)班的捐書數(shù)目分別為：
，
，
，
根據(jù)題意有：，即有
又因?yàn)楦靼嗟木钑鴶?shù)目都在到之間，因此我們知道：捐書最多的甲班有，而捐書最少的丙班有，從而有
，于是有，所以有或。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不是整數(shù)，而當(dāng)時(shí)，有，也就是說，甲乙丙三班人數(shù)分別為，，。
【答案】甲乙丙三班人數(shù)分別為，，

【例 19】 在新年聯(lián)歡會(huì)上，某班組織了一場(chǎng)飛鏢比賽．如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)分、分和分．每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．若恰好投在兩塊(或三塊)區(qū)域的交界線上，則得兩塊(或三塊)區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù)．如果比賽規(guī)定恰好投中分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中 　 次飛鏢．

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)組，復(fù)賽
【解析】 假設(shè)投中17分、11分、4分的次數(shù)分別為次、次和次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為次，而總得分為分，要想獲獎(jiǎng)，必須．
由于，得到．當(dāng)?shù)闹狄欢ê?，要使最小，必須使盡可能大．
若，得到，此時(shí)無整數(shù)解；
若，得到，此時(shí)，，；
若，得到，此時(shí)最大為4，當(dāng)時(shí)，這種情況下；
若，得到，此時(shí)，，；
若，得到，此時(shí)最大為6，當(dāng)時(shí)，這種情況下；
若，得到，此時(shí)最大為9，當(dāng)時(shí)，這種情況下；
若，得到，此時(shí)最大為8，當(dāng)時(shí)，這種情況下．
經(jīng)過比較可知的值最小為10，所以至少需要投中10次飛鏢才能獲獎(jiǎng)．
【答案】至少需要投中10次飛鏢才能獲獎(jiǎng)

模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題
【例 20】 某地用電收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：若每月用電不超過度，則每度收角；若超過度，則超出部分按每度角收費(fèi)．某月甲用戶比乙用戶多交元角電費(fèi)，這個(gè)月甲、乙各用了多少度電？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 3元3角即33角，因?yàn)榧炔皇堑谋稊?shù)又不是的倍數(shù)，所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是一個(gè)超過了50度，另一個(gè)則沒有超過．由于甲用戶用電更多，所以甲用戶用電超過度，乙用戶用電不足度．設(shè)這個(gè)月甲用電度，乙用電度．因?yàn)榧妆纫叶嘟唤请娰M(fèi)，所以有．容易看出，，可知甲用電度，乙用電度．
【答案】甲用電度，乙用電度

【鞏固】 某區(qū)對(duì)用電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下：每月每戶用電不超過度的部分，按每度元收費(fèi)；超過度而不超過度的部分，按每度元收費(fèi)；超過度的部分按每度元收費(fèi)．某月甲用戶比乙用戶多交電費(fèi)元，乙用戶比丙用戶多交元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費(fèi)多少元？(用電都按整度數(shù)收費(fèi))
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 由于丙交的電費(fèi)最少，而且是求甲、乙電費(fèi)的關(guān)鍵，先分析一下他的用電度數(shù)．因?yàn)橐矣脩舯缺脩舳嘟辉远咧斜赜幸粋€(gè)用電度數(shù)小于度(否則差中不會(huì)出現(xiàn)元)，丙用電少，所以丙用電度數(shù)小于度，乙用電度數(shù)大于度，但是不會(huì)超過度(否則甲、乙用電均超過度，其電費(fèi)差應(yīng)為的整數(shù)倍，而不會(huì)是元)．
設(shè)丙用電()度，乙用電()度，由題意得：




所以是的倍數(shù)，又均為整數(shù)，且都大于小于
所以，
所以丙用電度，交電費(fèi)元；乙交電費(fèi)元，甲交電費(fèi)元，三戶共交電費(fèi)元．
【答案】三戶共交電費(fèi)元

【例 21】 馬小富在甲公司打工，幾個(gè)月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金元，乙公司每月付給他薪金元．年終，馬小富從兩家公司共獲薪金元．他在甲公司打工 個(gè)月，在乙公司兼職 個(gè)月．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)馬小富在甲公司打工月，在乙公司兼職月(，、都是不大于的自然數(shù))，則有，化簡(jiǎn)得．若為偶數(shù)，則的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字必為，這時(shí)．但時(shí)，不是整數(shù)，不合題意，所以必為奇數(shù)．為奇數(shù)時(shí)，的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字為，或．但時(shí)容易看出，與矛盾．所以，，代入得．
于是馬小富在甲公司打工個(gè)月，在乙公司兼職個(gè)月．
【答案】在甲公司打工個(gè)月，在乙公司兼職個(gè)月

【例 22】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為分(成績(jī)都是整數(shù))的測(cè)驗(yàn)．已知：甲得了分，乙得了最高分，丙的成績(jī)與甲、丁的平均分相等，丁的成績(jī)剛好等于五人的平均分，戊比丙多分．求乙、丙、丁、戊的成績(jī)．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 法一：方程法． 設(shè)丁的分?jǐn)?shù)為分，乙的分?jǐn)?shù)為分，那么丙的分?jǐn)?shù)為分，戊的分?jǐn)?shù)為分，根據(jù)“丁的成績(jī)剛好等于五人的平均分”，有，所以．因?yàn)椋?，，得到，故，代入得．所以丁得分，丙得分，戊得分，乙得分?br /> 法二：推理法．因?yàn)槎槲迦说钠骄?，所以丁不是成?jī)最低的；丙的成績(jī)與甲、丁的平均分相等，所以丙在甲與丁之間；又因?yàn)槲旌鸵叶急缺某煽?jī)高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績(jī)是最低的．因?yàn)榧资欠?，所以丁可能是分或?由丙的成績(jī)與甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)丁得分時(shí)與題意不符，所以丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分．
【答案】丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分

【鞏固】 有兩個(gè)學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)．他們又參加了第5次測(cè)驗(yàn)，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分．求第5次測(cè)驗(yàn)兩人的得分．(每次測(cè)驗(yàn)滿分為100分)
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為分，第5次的得分為分，則其5次總分為，于是．顯然，故，解得．
由于為整數(shù)，可能為88和89，而且這兩個(gè)學(xué)生前4次的平均分不同，所以他們前4次的平均分分別為88分和89分，那么他們第5次的得分分別為：分；分．
【答案】第5次的得分分別為：分；分

【例 23】 小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一共有100道題，每個(gè)人各解出其中的60道題，有些題三人都解出來了，我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解出來，我們稱之為“中等題”；有些題只有一人解出來，我們稱之為“難題”．已知每個(gè)題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多 道．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 設(shè)容易題、中等題和難題分別有道、道、道，則，由得，即，所以難題比容易題多20道．
【答案】難題比容易題多20道

【例 24】 甲、乙兩個(gè)同學(xué)在一次數(shù)學(xué)擂臺(tái)賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個(gè)，而且每個(gè)小題的分值都是自然數(shù)．結(jié)果公布后，已知甲做對(duì)了5道解答題，7道選擇題，9道填空題，共得52分；乙做對(duì)了7道解答題，9道選擇題，11道填空題，共得68分．問：解答題、選擇題、填空題的每道小題各多少分？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)每道解答題為分，每道選擇題為分，每道填空題為分，有，解得．因?yàn)椤⒍际亲匀粩?shù)，而且不為0，所以有，，或者，．分別代入原方程解得或者．所以解答題、選擇題、填空題的每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分．
【答案】每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分

【例 25】 甲乙丙三人參加一個(gè)共有個(gè)選擇題的比賽，計(jì)分辦法是在分的基礎(chǔ)上，每答對(duì)一題加分，答錯(cuò)一題扣分，不答既不扣分也不加分．賽完后發(fā)現(xiàn)根據(jù)甲所得總分可以準(zhǔn)確算出他答對(duì)的題數(shù)，乙、丙二人所得總分相同，僅比甲少分，但乙丙答對(duì)的題數(shù)卻互不相同．由此可知，甲所得總分最多為 ．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【關(guān)鍵詞】我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)
【解析】 設(shè)乙做對(duì)道題，做錯(cuò)道題；丙做對(duì)道，做錯(cuò)道， 則有．，則有．要使得甲總分最高，由于乙丙僅比甲少1分，則乙丙也應(yīng)盡可能總分最高，從而錯(cuò)題最少，其他的題全多．若，，則，，．此時(shí)乙得分為分，丙得分為分，甲得分為分．甲扣分，只能，別無其他方式，即只能錯(cuò)題空題．若，，則，，．此時(shí)乙得分為分，甲得分為分．這種得分不唯一，且得分不是最高，其他情況不可能超過分．綜上所述，甲的總分為分．
【答案】甲的總分為分

【例 26】 某男孩在年月日說：“我活過的月數(shù)以及我活過的年數(shù)之差，到今天為止正好就是．”請(qǐng)問：他是在哪一天出生的？
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)男孩的年齡為個(gè)年和個(gè)月，即個(gè)月，由此有方程式：，也就是，得到，由于而且是整數(shù)，所以，，，從年月日那天退回年又個(gè)月就是他的生日，為年月日．
【答案】年月日

【例 27】 某次演講比賽，原定一等獎(jiǎng)人，二等獎(jiǎng)人，現(xiàn)將一等獎(jiǎng)中的最后人調(diào)整為二等獎(jiǎng)，這樣得二等獎(jiǎng)的學(xué)生的平均分提高了分，得一等獎(jiǎng)的學(xué)生的平均分提高了分，那么原來一等獎(jiǎng)平均分比二等獎(jiǎng)平均分多________分．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設(shè)原來一等獎(jiǎng)的平均分為分，二等獎(jiǎng)的平均分為分，得：
，整理得，即，
所以原來一等獎(jiǎng)平均分比二等獎(jiǎng)平均分多分．
【答案】一等獎(jiǎng)平均分比二等獎(jiǎng)平均分多分

【例 28】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備了支鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生，原計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā)給支，二等獎(jiǎng)每人發(fā)給支，三等獎(jiǎng)每人發(fā)給支，后來改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)支，二等獎(jiǎng)每人發(fā)支，三等獎(jiǎng)每人發(fā)支．那么獲二等獎(jiǎng)的有 人．
【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 法一：
根據(jù)“后來改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)支”，可以確定獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)小于．否則僅一等獎(jiǎng)就要發(fā)不少于支鉛筆，已超過支，這是不可能的．分別考慮一等獎(jiǎng)有人或者人的情況：
①獲一等獎(jiǎng)有人時(shí)，改變后這人共多得支，那么得二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的共少得了14支鉛筆．
由于改變后二等獎(jiǎng)多得1支，三等獎(jiǎng)少得1支，所以三等獎(jiǎng)應(yīng)比二等獎(jiǎng)多人，這樣他們少得的鉛筆數(shù)正好是一等獎(jiǎng)多得的．但此時(shí)三等獎(jiǎng)至少14人，他們的鉛筆總數(shù)至少為，所以這種情況不可能發(fā)生．
②獲一等獎(jiǎng)有1人時(shí)，類似前面情況的討論，可以確定獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)比二等獎(jiǎng)多
人，所以獲二等獎(jiǎng)的有(人)．
經(jīng)檢驗(yàn)，獲一等獎(jiǎng)人，獲二等獎(jiǎng)人，獲三等獎(jiǎng)人符合題目要求，所以有3人獲二等獎(jiǎng)．
法二：
設(shè)獲一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別有人、人、人，則有方程組：

由將消元，則有，即，顯然該方程的正整數(shù)解只有，繼而可得到．所以獲二等獎(jiǎng)的有3人．
【答案】獲二等獎(jiǎng)的有3人