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數(shù)學(xué)人教B版 (2019)第七章 三角函數(shù)7.3 三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.2 正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像優(yōu)質(zhì)學(xué)案
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這是一份數(shù)學(xué)人教B版 (2019)第七章 三角函數(shù)7.3 三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.2 正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像優(yōu)質(zhì)學(xué)案,共12頁(yè)。
1.正弦型函數(shù)
(1)形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常數(shù),且A≠0,w≠0)的函數(shù),通常叫做正弦型函數(shù).
(2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A≠0,ω≠0,x∈R)的周期T=eq \f(2π,|ω|),頻率f=eq \f(|ω|,2π),初相為φ,值域?yàn)閇-|A|,|A|],|A|也稱為振幅,|A|的大小反映了y=Asin(ωx+φ)的波動(dòng)幅度的大?。?br/>
2.A,ω,φ對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像的影響
(1)φ對(duì)函數(shù)y=sin(x+φ)圖像的影響:
(2)ω對(duì)函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖像的影響:
(3)A對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像的影響:
(4)用“變換法”作圖:
y=sin x的圖像eq \(―――――――――――――――→,\s\up16(向左?φ>0?或向右?φ<0?),\s\d12(平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度))y=sin(x+φ)的圖像eq \(――――――――――――――→,\s\up10(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的eq \f(1,ω)),\s\d12(縱坐標(biāo)不變))y=sin(ωx+φ)的圖像eq \(――――――――――――――→,\s\up16(縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍),\s\d12(橫坐標(biāo)不變))y=Asin(ωx+φ)的圖像.
思考:由y=sin x的圖像,通過(guò)怎樣的變換可以得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像?
[提示] 變化途徑有兩條:
(1)y=sin xeq \(―――→,\s\up8(相位變換))y=sin(x+φ) eq \(―――→,\s\up8(周期變換))y=sin(ωx+φ) eq \(―――→,\s\up8(振幅變換))y=Asin(ωx+φ).
(2)y=sin xeq \(―――→,\s\up8(周期變換))y=sin ωxeq \(―――→,\s\up8(相位變換))y=sin(ωx+φ) eq \(―――→,\s\up8(振幅變換))y=Asin(ωx+φ).
1.函數(shù)y=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))+1的最小正周期為( )
A.eq \f(π,2) B.π
C.2π D.4π
B [T=eq \f(2π,2)=π.]
2.要得到y(tǒng)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))的圖像,只要將y=sin x的圖像( )
A.向右平移eq \f(π,4)個(gè)單位B.向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位
C.向上平移eq \f(π,4)個(gè)單位D.向下平移eq \f(π,4)個(gè)單位
B [將y=sin x的圖像向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位可得到y(tǒng)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))的圖像.]
3.已知函數(shù)y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x+\f(π,7))),則該函數(shù)的最小正周期、振幅、初相分別是______,______,______.
10π 3 eq \f(π,7) [由函數(shù)y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x+\f(π,7)))的解析式知,振幅為3,最小正周期為T=eq \f(2π,|ω|)=10π,初相為eq \f(π,7).]
【例1】 用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))+3的圖像,并寫出函數(shù)的定義域、值域、周期、頻率、初相、最值、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸方程.
[思路探究] 先確定一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),畫(huà)出一個(gè)周期的圖像,左、右擴(kuò)展可得圖像,然后根據(jù)圖像求性質(zhì).
[解] ①列表:
②描點(diǎn)連線作出一周期的函數(shù)圖像.
③把此圖像左、右擴(kuò)展即得y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))+3的圖像.
由圖像可知函數(shù)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇1,5],
周期為T=eq \f(2π,ω)=2π,頻率為f=eq \f(1,T)=eq \f(1,2π) ,初相為φ=-eq \f(π,3),最大值為5,最小值為1.
令2kπ-eq \f(π,2)≤x-eq \f(π,3)≤2kπ+eq \f(π,2)(k∈Z)得原函數(shù)的增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(π,6),2kπ+\f(5π,6)))(k∈Z).
令2kπ+eq \f(π,2)≤x-eq \f(π,3)≤2kπ+eq \f(3π,2),(k∈Z)得原函數(shù)的減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(5π,6),2kπ+\f(11π,6)))(k∈Z).
令x-eq \f(π,3)=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z)得原函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=kπ+eq \f(5,6) π(k∈Z).
1.用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)的圖像,應(yīng)先令ωx+φ分別為0,eq \f(π,2) ,π,eq \f(3π,2),2π,然后解出自變量x的對(duì)應(yīng)值,作出一周期內(nèi)的圖像.
2.求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先把x的系數(shù)化為正值,然后利用整體代換,把ωx+φ代入相應(yīng)不等式中,求出相應(yīng)的變量x的范圍.
1.作出函數(shù)y=eq \r(2) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4)))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8),\f(3π,4)))上的圖像.
[解] 令X=2x-eq \f(π,4) ,列表如下:
描點(diǎn)連線得圖像如圖所示.
【例2】 函數(shù)y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))-2的圖像是由函數(shù)y=sin x的圖像通過(guò)怎樣的變換得到的?
[思路探究] 由周期知“ 橫向縮短” ,由振幅知“ 縱向伸長(zhǎng)” ,并且需要向左、向下移動(dòng).
[解] 法一:y=sin x
三角函數(shù)圖像平移變換問(wèn)題的分類及解題策略
?1?確定函數(shù)y=sin x的圖像經(jīng)過(guò)平移變換后圖像對(duì)應(yīng)的解析式,關(guān)鍵是明確左右平移的方向,按“左加右減”的原則進(jìn)行;注意平移只對(duì)“x”而言.
?2?已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖像間的平移關(guān)系時(shí),首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式,然后再確定平移方向和單位.
2.為了得到函數(shù)y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)+\f(π,6))),x∈R的圖像,只需把函數(shù)y=sin x,x∈R的圖像上所有的點(diǎn):
①向左平移eq \f(π,6) 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,3) (縱坐標(biāo)不變);
②向右平移eq \f(π,6) 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,3) (縱坐標(biāo)不變);
③向左平移eq \f(π,6) 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變);
④向右平移eq \f(π,6) 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變).
其中正確的是________.
③ [y=sin xeq \(――――→,\s\up16(向左平移),\s\d25(\f(π,6)個(gè)單位))y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))
eq \(――――――――→,\s\up16(橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到),\s\d12(原來(lái)的3倍?縱坐標(biāo)不變?))y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)+\f(π,6))).]
【例3】 如圖所示的是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)00且A≠1)的圖像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)00)的方法
(1)先平移后伸縮
(2)先伸縮后平移
1.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)若x1=eq \f(π,4) ,x2=eq \f(3π,4) 是函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn),則ω=( )
A.2 B.eq \f(3,2) C.1 D.eq \f(1,2)
A [由題意及函數(shù)y=sin ωx的圖像與性質(zhì)可知,
eq \f(1,2)T=eq \f(3π,4)-eq \f(π,4) ,∴T=π,∴eq \f(2π,ω)=π,∴ω=2.故選A.]
2.要得到y(tǒng)=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))的圖像,只需將y=3sin 2x的圖像( )
A.向左平移eq \f(π,4) 個(gè)單位B.向右平移eq \f(π,4) 個(gè)單位
C.向左平移eq \f(π,8) 個(gè)單位D.向右平移eq \f(π,8) 個(gè)單位
C [y=3sin 2x的圖像y=3sin2x+eq \f(π,8)的圖像,即y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))的圖像.]
3.函數(shù)y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3)))圖像的一條對(duì)稱軸是________.(填序號(hào))
①x=-eq \f(π,2);②x=0;③x=eq \f(π,6);④x=-eq \f(π,6).
③ [由正弦函數(shù)對(duì)稱軸可知.
x+eq \f(π,3)=kπ+eq \f(π,2) ,k∈Z,
x=kπ+eq \f(π,6) ,k∈Z,
k=0時(shí),x=eq \f(π,6).]
4.如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
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