數(shù)學(xué)人教B版 (2019)第七章 三角函數(shù)7.3 三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.2 正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像優(yōu)質(zhì)學(xué)案

這是一份數(shù)學(xué)人教B版 (2019)第七章 三角函數(shù)7.3 三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.2 正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像優(yōu)質(zhì)學(xué)案，共12頁(yè)。






1.正弦型函數(shù)


(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常數(shù)，且A≠0，w≠0)的函數(shù)，通常叫做正弦型函數(shù)．


(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0，x∈R)的周期T＝eq \f(2π,|ω|)，頻率f＝eq \f(|ω|,2π)，初相為φ，值域?yàn)閇－|A|，|A|]，|A|也稱為振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波動(dòng)幅度的大?。?br/>

2.A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像的影響


(1)φ對(duì)函數(shù)y＝sin(x＋φ)圖像的影響：





(2)ω對(duì)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖像的影響：





(3)A對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像的影響：





(4)用“變換法”作圖：


y＝sin x的圖像eq \(―――――――――――――――→,\s\up16(向左?φ＞0?或向右?φ＜0?),\s\d12(平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝sin(x＋φ)的圖像eq \(――――――――――――――→,\s\up10(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的eq \f(1,ω)),\s\d12(縱坐標(biāo)不變))y＝sin(ωx＋φ)的圖像eq \(――――――――――――――→,\s\up16(縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍),\s\d12(橫坐標(biāo)不變))y＝Asin(ωx＋φ)的圖像．


思考：由y＝sin x的圖像，通過(guò)怎樣的變換可以得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖像？


[提示] 變化途徑有兩條：


(1)y＝sin xeq \(―――→,\s\up8(相位變換))y＝sin(x＋φ) eq \(―――→,\s\up8(周期變換))y＝sin(ωx＋φ) eq \(―――→,\s\up8(振幅變換))y＝Asin(ωx＋φ)．


(2)y＝sin xeq \(―――→,\s\up8(周期變換))y＝sin ωxeq \(―――→,\s\up8(相位變換))y＝sin(ωx＋φ) eq \(―――→,\s\up8(振幅變換))y＝Asin(ωx＋φ)．





1.函數(shù)y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1的最小正周期為( )


A．eq \f(π,2) B．π


C．2π D．4π


B [T＝eq \f(2π,2)＝π.]


2.要得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的圖像，只要將y＝sin x的圖像( )


A．向右平移eq \f(π,4)個(gè)單位B．向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位


C．向上平移eq \f(π,4)個(gè)單位D．向下平移eq \f(π,4)個(gè)單位


B [將y＝sin x的圖像向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位可得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的圖像．]


3.已知函數(shù)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,7)))，則該函數(shù)的最小正周期、振幅、初相分別是______，______，______.


10π 3 eq \f(π,7) [由函數(shù)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,7)))的解析式知，振幅為3，最小正周期為T＝eq \f(2π,|ω|)＝10π，初相為eq \f(π,7).]





【例1】 用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的圖像，并寫出函數(shù)的定義域、值域、周期、頻率、初相、最值、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸方程．


[思路探究] 先確定一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，畫(huà)出一個(gè)周期的圖像，左、右擴(kuò)展可得圖像，然后根據(jù)圖像求性質(zhì)．


[解] ①列表：


②描點(diǎn)連線作出一周期的函數(shù)圖像．


③把此圖像左、右擴(kuò)展即得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的圖像．





由圖像可知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇1,5]，


周期為T＝eq \f(2π,ω)＝2π，頻率為f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π) ，初相為φ＝－eq \f(π,3)，最大值為5，最小值為1.


令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函數(shù)的增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．


令2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，(k∈Z)得原函數(shù)的減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,6)，2kπ＋\f(11π,6)))(k∈Z)．


令x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x＝kπ＋eq \f(5,6) π(k∈Z)．





1.用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖像，應(yīng)先令ωx＋φ分別為0，eq \f(π,2) ，π，eq \f(3π,2)，2π，然后解出自變量x的對(duì)應(yīng)值，作出一周期內(nèi)的圖像．


2.求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先把x的系數(shù)化為正值，然后利用整體代換，把ωx＋φ代入相應(yīng)不等式中，求出相應(yīng)的變量x的范圍．








1.作出函數(shù)y＝eq \r(2) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的圖像．


[解] 令X＝2x－eq \f(π,4) ，列表如下：


描點(diǎn)連線得圖像如圖所示．





【例2】 函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2的圖像是由函數(shù)y＝sin x的圖像通過(guò)怎樣的變換得到的？


[思路探究] 由周期知“ 橫向縮短” ，由振幅知“ 縱向伸長(zhǎng)” ，并且需要向左、向下移動(dòng)．


[解] 法一：y＝sin x











三角函數(shù)圖像平移變換問(wèn)題的分類及解題策略


?1?確定函數(shù)y＝sin x的圖像經(jīng)過(guò)平移變換后圖像對(duì)應(yīng)的解析式，關(guān)鍵是明確左右平移的方向，按“左加右減”的原則進(jìn)行；注意平移只對(duì)“x”而言.


?2?已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖像間的平移關(guān)系時(shí)，首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式，然后再確定平移方向和單位.








2.為了得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的圖像，只需把函數(shù)y＝sin x，x∈R的圖像上所有的點(diǎn)：


①向左平移eq \f(π,6) 個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,3) (縱坐標(biāo)不變)；


②向右平移eq \f(π,6) 個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,3) (縱坐標(biāo)不變)；


③向左平移eq \f(π,6) 個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)；


④向右平移eq \f(π,6) 個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)．


其中正確的是________．


③ [y＝sin xeq \(――――→,\s\up16(向左平移),\s\d25(\f(π,6)個(gè)單位))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))


eq \(――――――――→,\s\up16(橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到),\s\d12(原來(lái)的3倍?縱坐標(biāo)不變?))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6))).]


【例3】 如圖所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)00且A≠1)的圖像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)00)的方法


(1)先平移后伸縮





(2)先伸縮后平移








1.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4) ，x2＝eq \f(3π,4) 是函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則ω＝( )


A．2 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(1,2)


A [由題意及函數(shù)y＝sin ωx的圖像與性質(zhì)可知，


eq \f(1,2)T＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,4) ，∴T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.故選A．]


2.要得到y(tǒng)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖像，只需將y＝3sin 2x的圖像( )


A．向左平移eq \f(π,4) 個(gè)單位B．向右平移eq \f(π,4) 個(gè)單位


C．向左平移eq \f(π,8) 個(gè)單位D．向右平移eq \f(π,8) 個(gè)單位


C [y＝3sin 2x的圖像y＝3sin2x＋eq \f(π,8)的圖像，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖像．]


3.函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))圖像的一條對(duì)稱軸是________．(填序號(hào))


①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).


③ [由正弦函數(shù)對(duì)稱軸可知．


x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2) ，k∈Z，


x＝kπ＋eq \f(π,6) ，k∈Z，


k＝0時(shí)，x＝eq \f(π,6).]


4．如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|