人教B版高中數(shù)學(xué)選修2 第三章《排列、組合、與二項(xiàng)式定理》綜合測(cè)試題 含答案

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《排列、組合與二項(xiàng)式定理》綜合測(cè)試 第I卷選擇題(共60分) －、單項(xiàng)選擇題 1.（2020鐵路二中月考）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ） A.6 B.15 C.20 D.28 2.（2020黃石二中模擬）某校在高二年級(jí)開(kāi)設(shè)選修課,其中數(shù)學(xué)選修課開(kāi)三個(gè)班,選課結(jié)束后,有4名同學(xué)要求改修數(shù)學(xué),但每班至多可再接收2名同學(xué),那么不同的分配方案有（ ） A.72種 B.54種 C.36種 D.18種 3.（2020青島調(diào)研）如圖,用四種不同的顏色給圖中的,六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色,而且四種不同的涂色要全部用完,則不同的涂色方法共有（ ） A.144種 B.216種 C.264種 D.360種 4.（2020咸寧調(diào)考）若,則的值為（ ） A.5 B.3 C.6 D.7 5.（2020沈陽(yáng)四中檢測(cè)）從數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字,組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則這個(gè)三位數(shù)大于400的概率是（ ） A. B. C. D. 6.（2020宜賓模擬）在新高考改革中,學(xué)生可先從物理、歷史兩科中任選一科,再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治,地理四門(mén)學(xué)科中任選兩科參加高考?，F(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生若按以上選科方法,選三門(mén)學(xué)科參加高考,則甲、乙兩人恰有一門(mén)學(xué)科相同的選法有（ ）種. A.24 B.30 C.48 D.60 7.（2020正定中學(xué)模擬）從三個(gè)數(shù)中選兩個(gè)數(shù)字,從0,2兩個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)字,組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A.6 B.12 C.18 D.24 8.（2020呼鐵一中檢測(cè)）現(xiàn)有5項(xiàng)工程由甲、乙、丙3個(gè)工程隊(duì)承包,每隊(duì)至少一項(xiàng),但甲承包的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè),不同的承包方案有（ ）種 A.130 B.150 C.220 D.240 二、多項(xiàng)選擇題(在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分) 9.（2020山東濟(jì)南聯(lián)考）下面結(jié)論正確的是（ ） A.所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列 B.一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序 C.兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同 D.排列定義規(guī)定給出的個(gè)元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情況,也就是說(shuō),如果某個(gè)元素已被取出,則這個(gè)元素就不再取了 10.（2020德州一中月考）下列等式正確的是（ ） A. B. C. D. 11.（2020日照一中檢測(cè)）的展開(kāi)式中,系數(shù)最大的項(xiàng)為（ ） A.第3項(xiàng) B.第5項(xiàng) C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng) 12.（2020育才中學(xué)模擬）若的展開(kāi)式的中間三項(xiàng)滿(mǎn)足,則的值為（ ） A.4 B. C.2 D. 第Ⅱ卷非選擇題（共90分） 三、填空題 13.（2020黃岡中學(xué)模擬）如圖，有7個(gè)白色正方形方塊排成一列，現(xiàn)將其中4塊涂上黑色，規(guī)定從左往右數(shù)，無(wú)論數(shù)到第幾塊，黑色方塊總不少于白色方塊的涂法有_____種. 14.（2020武漢模擬）已知，則_____. 15.（2020勝利一中模擬）某學(xué)校食堂早餐只有花卷、包子、面條和蛋炒飯四種主食可供食用，有5名同學(xué)前去就餐，每人只選擇其中一種，且每種主食都至少有一名同學(xué)選擇。已知包子數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)腸胃不好不會(huì)選擇蛋炒飯，則這5名同學(xué)不同的主食選擇方案種數(shù)為_(kāi)____.（用數(shù)字作答） 16.（2020撫順中學(xué)檢測(cè)）將的展開(kāi)式寫(xiě)成按升冪排列的和的形式，那么所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)____,所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)____. 四、解答題 17.（2020海南二中高二月考）設(shè).求: （1）； （2）. 18.（大連八中高三模擬）用這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的: （1）四位密碼? （2）四位數(shù)? （3）四位奇數(shù)? 19.（2020壽光現(xiàn)代中學(xué)高二期末）已知4名學(xué)生和2名教師站在一排照相，求 （1）中間兩個(gè)位置排教師，有多少種排法？ （2）2名教師不能相鄰的排法有多少種？ （3）2名教師不站在兩端，且必須相鄰，有多少種排法？ 20.(2020肥城期中)已知關(guān)于的二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024,常數(shù)項(xiàng)為180. （1）求和的值; （2）求展開(kāi)式中的無(wú)理項(xiàng)(不需求項(xiàng)的表達(dá)式,指出無(wú)理項(xiàng)的序號(hào)即可). 21.（2020瀏陽(yáng)一中高三模擬）函數(shù)(為實(shí)數(shù)且是常數(shù)). （1）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為,求的值; （2）已知,是否存在的值,使在定義域中取任意值時(shí)恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 22.（2020黃岡中學(xué)高三模擬）如圖，在楊輝三角中，從第2行開(kāi)始，除1以外，其他每個(gè)數(shù)值是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和. （1）試用組合數(shù)表示這一規(guī)律； （2）在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比是？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 參考答案 1. 答案：B 解析：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令,解得,所以的系數(shù)為.故選B. 2. 答案：B 解析：分兩種情況討論:(1)其中一個(gè)班接收2名、另兩個(gè)班各接收1名,分配方案共有(種);(2)其中一個(gè)班不接收、另兩個(gè)班各接收2名,分配方案共有(種).因此,滿(mǎn)足題意的不同的分配方案有(種).故選B. 3. 答案：B 解析：由題意,四種顏色都用到,先給三點(diǎn)涂色,有種涂法,再給涂色,因?yàn)橹斜赜幸稽c(diǎn)用到第四種顏色,有種涂法,所以另外兩點(diǎn)用到三點(diǎn)所用顏色中的兩種,有種涂法,此時(shí)涂法確定,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有(種).故答案為B. 4. 答案：A 解析：根據(jù)題意,若,則有3),即,解得舍去).故答案為. 5. 答案：A 解析：由題意得總的三位數(shù)個(gè)數(shù)為,這個(gè)三位數(shù)大于400的個(gè)數(shù)為,由古典概型概率公式得.故答案為A. 6. 答案：D 解析：分為兩類(lèi):第一類(lèi),物理、歷史兩科中是相同學(xué)科,則有(種)選法;第二類(lèi),物理、歷史兩科中無(wú)相同學(xué)科,則有(種)選法.所以甲、乙兩人恰有一門(mén)學(xué)科相同的選法有(種). 7. 答案：C【解析】由于題目要求是奇數(shù),那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況:奇偶奇,偶奇奇,因此總共有(種).故選C. 8. 答案： 解析：若5項(xiàng)工程分為三組,每組的工程數(shù)分別為,則不同的承包方案有(種);若5項(xiàng)工程分為三組,每組的工程數(shù)分別為,則不同的承包方案有90(種).故總的不同承包方案為(種). 二、多項(xiàng)選擇題 9. 答案：CD 解析：A錯(cuò)誤,當(dāng)兩個(gè)排列的所有元素完全相同,但其排列順序不同時(shí),仍然不是相同排列,所以錯(cuò)誤.B錯(cuò)誤,因?yàn)橄嗤慕M合與元素的順序無(wú)關(guān),只與元素是否相同有關(guān),所以該說(shuō)法錯(cuò)誤.C正確,當(dāng)兩個(gè)組合的元素完全相同時(shí),能得出這兩個(gè)組合是相同組合;當(dāng)兩個(gè)組合相同時(shí),能得出它們的元素完全相同.正確,由定義易知,取出的元素各不相同,因此取了的就不能再取了. 10. 答案：ABC 解析: , 所以正確；,所以正確;顯然是正確的;,所以不正確. 11. 答案：BD 解析：依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值相等,由二項(xiàng)式系數(shù)的最大值來(lái)確定系數(shù)的最大值.由于二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為,且中的二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù)的相反數(shù),所以的系數(shù)最小.而,且,所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第7項(xiàng). 12. 答案：BC 解析:依題意有.由于,可整理得, 解得或.故選. 三、填空題 13. 答案：14 解析：由題意可判斷第一格涂黑色,則在后6格中有3個(gè)涂黑色,共有（種）涂法.滿(mǎn)足從左往右數(shù),無(wú)論數(shù)到第幾塊,黑色方塊總少于白色方塊的有:（1）第2,3格涂白色共4種涂法,（2）第格涂白色共1種涂法,（3）第格涂白色共1種涂法。所以滿(mǎn)足從左往右數(shù),無(wú)論數(shù)到第幾塊,黑色方塊總不少于白色方塊的涂法有（種）. 14. 答案：2 解析, ， 由, 解得舍去).故答案為2. 15. 答案：132 解析：分類(lèi)討論:甲選包子,則有2人選同一種主食,方法為（種）,剩下2人選其余主食,方法為（種）,共有方法（種）.甲不選包子,其余4人中1人選包子,方法為4種,甲選花卷或面條,方法為2種,其余3人,若有1人選甲選的主食,剩下2人選其余主食,方法為（種）;若沒(méi)有人選甲選的主食,方法為（種）,共有96（種）.故共有（種）. 16. 答案： 解析：設(shè) 則所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為, 所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為, 令,則, 令,則 由 = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②,得. 由 = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②,得. 所以所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為384, 所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為. 四、解答題 17. 答案：見(jiàn)解析 解析：（1）令,可得,即,令,可得,據(jù)此可得 （2）令,可得， = 1 \* GB3 ① 令,可得, = 2 \* GB3 ②  = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②可得, 所以. 18. 答案：見(jiàn)解析 解析：（1）可組成（個(gè)）. （2）依次確定千、百、十、位,有（個(gè)）. （3）依次確定個(gè)位、首位、百位、十位,有36（個(gè)）. 19. 答案：見(jiàn)解析 解析：（1）4名學(xué)生和2名教師站在一排照相,中間兩個(gè)位置排教師,先排教師再排學(xué)生,有(種)排法. （2）2名教師不能相鄰,先排4名學(xué)生,再利用插空法排2名教師,有（種）排法. （3）2名教師不站在兩端,且必須相鄰,先在中間四個(gè)位置選兩個(gè)相鄰位置排教師,再排學(xué)生,有（種）排法. 20. 答案：見(jiàn)解析 解析：（1）由題意可知,所以. 所以二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 令,解得,所以第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),即180,解得. （2）當(dāng)不是整數(shù)時(shí),二項(xiàng)展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng). 因?yàn)?所以取奇數(shù)時(shí)即為所求,此時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)分別是第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第6項(xiàng)、第8項(xiàng)、第10項(xiàng)。即該二項(xiàng)展開(kāi)式中是無(wú)理項(xiàng). 21. 答案：見(jiàn)解析 解析：（1）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為.,由,解得,所以,所以. （2）存在.依題意,得.而要,只要.因?yàn)?所以,解得.所以存在的值,且時(shí)滿(mǎn)足題意. 22. 答案：見(jiàn)解析 解析：（1）因?yàn)樵跅钶x三角中,從第2行開(kāi)始,除1以外,其他每個(gè)數(shù)值是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和,所以用組合數(shù)表示這一規(guī)律為. （2）存在.楊輝三角的第行由二項(xiàng)式系數(shù)組成. 若第行中有三個(gè)相鄰的數(shù)之比為,則,即,解得, 即第62行有三個(gè)相鄰的數(shù)的比為.