2025高考數(shù)學(xué)【真題】完全解讀（全國一卷）含解析

這是一份2025高考數(shù)學(xué)【真題】完全解讀（全國一卷）含解析，共30頁。試卷主要包含了助力應(yīng)用能力考查，助力“雙減”政策落地，設(shè)函數(shù)．，005，635，5~7，0~10等內(nèi)容，歡迎下載使用。

助力創(chuàng)新人才選拔
2025 年全國一卷數(shù)學(xué)試題充分發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用，突出素養(yǎng)和能力考查，甄別思維品質(zhì)、展現(xiàn)思維過程，給考生搭就了展示的舞臺、發(fā)揮的空間，致力于服務(wù)人才自主培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)代化建設(shè)人才選拔。首先是重點考查邏輯推理素養(yǎng)，如全國一卷第16題考查數(shù)學(xué)通項公式和錯位相減法求和問題，解決問題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的概念和特點進(jìn)行推理論證。全國一卷第17題立體幾何題也考查了邏輯推理素養(yǎng)。深入考查直觀想象素養(yǎng)，全國一卷第17題考查立體幾何問題，體現(xiàn)了直觀想象的考查。扎實考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，要求考生理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果。如全國一卷第16題考查了概率問題以及第18題考查圓錐曲線問題，考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。
2.助力應(yīng)用能力考查
高考數(shù)學(xué)全國卷在命制情境化試題過程中，在剪裁素材時，控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解難度；在抽象數(shù)學(xué)問題時，設(shè)置合理的思維強(qiáng)度和抽象程度；在解決問題時，設(shè)置合適的運算過程和運算量，力求使情境化試題達(dá)到試題要求層次和考生認(rèn)知水平的契合與貼切。
3.助力“雙減”政策落地
2025 年全國一卷數(shù)學(xué)試題在反套路，反機(jī)械刷題上下功夫，突出強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力，落實中國高考評價體系中“四翼”的考查要求。同時，合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接，促進(jìn)考教銜接，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無效的學(xué)習(xí)。
突出基礎(chǔ)性要求，各套試卷在選擇題和填空題部分均設(shè)置了多個知識點，全面考查了集合、復(fù)數(shù)、平面向量、排列組合、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、幾何體的體積、直線和圓等內(nèi)容，實現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識的全方位覆蓋。同時在解答題部分深入考查基礎(chǔ)，考查考生對基礎(chǔ)知識和基本方法的深刻理解和融會貫通的應(yīng)用。彰顯綜合性要求，如全國一卷第19題，通過對三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合分析，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值等相關(guān)問題，深入考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，化歸與轉(zhuǎn)化的思想。體現(xiàn)創(chuàng)新性要求，通過命題創(chuàng)新，創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設(shè)問方式，考查考生思維的靈活性與創(chuàng)造性。如全國一卷第19題是一道三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的創(chuàng)新題。
2025年高考數(shù)學(xué)全國一卷雖然在題型，分值上沒有變換，試題卻在運算，大單元教學(xué)方面有較大體現(xiàn)。
一.2025年高考數(shù)學(xué)試題特色——數(shù)學(xué)運算
1.（2025全國一卷第8題）若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，所以
令，則，此時，A有可能；
令，則，此時，C有可能；
令，則，此時，D有可能；
【技巧】賦值法，降低難度，快速解題
故選：B．
2.（2025全國一卷第13題）若一個正項等比數(shù)列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為 .
【答案】2
【解析】按設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，
設(shè)的公比為，
所以，
，
所以，則，所以，
【技巧】巧用等比數(shù)列性質(zhì)，減少運算量
所以該等比數(shù)列公比為2.
3.（2025全國一卷第15題）調(diào)查1000人是否患某疾病與超聲波檢測結(jié)果的到聯(lián)表如下：
(1)若檢測結(jié)果不正常者患病的概率為,求的估計值；
(2)能否根據(jù)小概率的獨立性檢驗認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中超聲波檢測結(jié)果是否患該疾病有關(guān)？
【解】(1)超聲波檢查結(jié)果不正?；颊哂?00人，患病有180人，
所以
（2）
【技巧】約分再估算
所以說認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中超聲波檢測結(jié)果是患該疾病有關(guān)
二．2025年高考數(shù)學(xué)試題特色——知識交匯
2025年高考試題中知識的交匯大多在本模塊內(nèi)進(jìn)行，如三角恒等變換與解三角形，統(tǒng)計與概率，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，立體幾何初步與空間向量等，符合大單元教學(xué)的理念。
1．（2025全國一卷第11題）已知的面積為，若，則（ ）
A．B．
C．D．
2.（2025全國一卷第15題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：
(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計值；
(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).
附，
3.（2025全國一卷第17題）如圖所示的四棱錐中，平面，．
(1)證明：平面平面；
(2)，，，，在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為．
（i）證明：在平面上；
（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．
4.（2025全國一卷第19題）設(shè)函數(shù)．
(1)求在的最大值；
(2)給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存在，使得；
(3)若存在使得對任意x，都有，求b的最小值．
2025年高考全國一卷數(shù)學(xué)試題雙向細(xì)目表
教學(xué)中注意改變學(xué)生以往的學(xué)習(xí)觀.學(xué)生對數(shù)學(xué)概念知識不能單純地死記硬背，要理解概念的本質(zhì)，靈活掌握，對課本上的知識點進(jìn)行梳理，把教材上的每一個例題、習(xí)題再 深思熟慮仔細(xì)做一遍，確?；靖拍?、公式等真正理解牢固掌握.一些基本的運算方法和技巧也要掌握并能靈活運用，做到熟能生巧.全國一卷數(shù)學(xué)試題引導(dǎo)我們要轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)理念.課堂中注重落實教考銜接，引導(dǎo)學(xué)生重視教材基本原理、數(shù)學(xué)思想方法的理解把握，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，只有把學(xué)生的主體地位發(fā)揮好，才能使課堂高效，才能使學(xué)生的積極性調(diào)動起來，才能使學(xué)生愿意親手實踐、認(rèn)真思考，學(xué)生思維能力得到培養(yǎng)，才能做到真懂會用、融會貫通，真正提高分析和解決問題的能力.
2025年高考全國一卷數(shù)學(xué)試題及解析
一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．的虛部為（ ）
A．B．0C．1D．6
【答案】C
【解析】因為，所以其虛部為1，故選：C.
2．設(shè)全集，集合，則中元素個數(shù)為（ ）
A．0B．3C．5D．8
【答案】C
【解析】因為，所以， 中的元素個數(shù)為，故選：C．
【知識拓展】兩種求補(bǔ)集的方法
(1)若所給的集合是用列舉法表示，則用Venn圖求解．
(2)若所給的集合是有關(guān)不等式的集合，則常借助于數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解，注意端點值的取舍．
3．若雙曲線C的虛軸長為實軸長的倍，則C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的實軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，
于是，則，即.故選：D
【知識拓展】求雙曲線離心率的兩種方法
(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝ eq \f(c,a) 求解；若已知a，b，可利用求解．
(2)方程法：若無法求出a，b，c的具體值，但根據(jù)條件可確定a，b，c之間的關(guān)系，可通過b2＝c2－a2，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程(不等式)，借助于e＝ eq \f(c,a) ，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的n次方程(不等式)求解．
4．若點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對稱中心橫坐標(biāo)滿足，
即的對稱中心是，即，
又，則時最小，最小值是，即.故選：C
【知識拓展】正切函數(shù)對稱中心的特殊性在于不僅有函數(shù)圖象與x軸的交點，還有“漸近線”與x軸的交點，正確分析函數(shù)圖象并結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)是解決與圖象有關(guān)問題的關(guān)鍵．
5．設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題知對一切成立，
于是.故選：A
【知識拓展】周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解．
6．帆船比賽中，運動員可借助風(fēng)力計測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級、名稱與風(fēng)速大小的對應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（ ）
A．輕風(fēng)B．微風(fēng)C．和風(fēng)D．勁風(fēng)
【答案】A
【解析】由題意及圖得，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為：，
視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，
船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，
設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為，船行風(fēng)速對應(yīng)的向量為，
∴，船行風(fēng)速：，
∴，，
∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，故選：A.
【知識拓展】速度、位移的合成與分解，實質(zhì)上就是向量的加、減運算．用向量解決速度、位移等問題，主要借助于向量的線性運算，有時也借助于坐標(biāo)來運算．
7．若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，
在圓中，圓心，半徑為，
到直線的距離為的點有且僅有 個，
∵圓心到直線的距離為：，
故由圖可知，當(dāng)時，
圓上有且僅有一個點（點）到直線的距離等于；
當(dāng)時，
圓上有且僅有三個點（點）到直線的距離等于；
當(dāng)則的取值范圍為時，
圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于.
故選：B.
【知識拓展】處理直線與圓的位置關(guān)系問題常用策略
(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
8．若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】法一：設(shè)，所以
令，則，此時，A有可能；
令，則，此時，C有可能；
令，則，此時，D有可能；
故選：B．
法二：設(shè)，所以，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，
作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標(biāo)，如圖所示：
易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，
故選：B．
【知識拓展】利用對數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法
(1)在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運算中，要注意靈活運用定義、性質(zhì)和運算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．
(2)對于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù)，從而使問題得解．
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．在正三棱柱中，D為BC中點，則（ ）
A．B．平面
C．平面D．
【答案】BC
【解析】法一：對于A，在正三棱柱中，平面，
又平面，則，則，
因為是正三角形，為中點，則，則
又，
所以，
則不成立，故A錯誤；
對于B，因為在正三棱柱中，平面，
又平面，則，
因為是正三角形，為中點，則，
又平面，
所以平面，故B正確；
對于C，因為在正三棱柱中，
又平面平面，所以平面，故C正確；
對于D，因為在正三棱柱中，，
假設(shè)，則，這與矛盾，
所以不成立，故D錯誤；
故選：BC.
法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為，高為，
則，
對于A，，
則，
則不成立，故A錯誤；
對于BC，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，令，則，
所以，，
則平面，平面，故BC正確；
對于D，，
則，顯然不成立，故D錯誤；
故選：BC.
【知識拓展】(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素)．
(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．
10．設(shè)拋物線的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】法一：對于A，對于拋物線，
則，其準(zhǔn)線方程為，焦點，
則為拋物線上點到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，
由拋物線的定義可知，，故A正確；
對于B，過點作準(zhǔn)線的垂線，交于點，
由題意可知，則，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
顯然為的斜邊，則，故B錯誤；
對于C，易知直線的斜率不為，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，得，
易知，則，
又，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；
對于D，在與中，，
所以，則，即，
同理，
又
，
，
所以，
則，故D正確.
故選：ACD.
法二：對于A，對于拋物線，
則，其準(zhǔn)線方程為，焦點，
則為拋物線上點到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，
由拋物線的定義可知，，故A正確；
對于B，過點作準(zhǔn)線的垂線，交于點，
由題意可知，則，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
顯然為的斜邊，則，故B錯誤；
對于C，當(dāng)直線的斜率不存在時，；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消去，得，
易知，則，
所以
，
綜上，，故C正確；
對于D，在與中，，
所以，則，即，
同理，
當(dāng)直線的斜率不存在時，，；
所以，即；
當(dāng)直線的斜率存在時，，
，
所以，
則；
綜上，，故D正確.
故選：ACD.
【知識拓展】1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.
2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.
11．已知的面積為，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】，由二倍角公式，，
整理可得，，A選項正確；
由誘導(dǎo)公式，，
展開可得，
即，
若，則可知等式成立；
若，即，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，
又，于是，
與條件不符，則不成立；
若，類似可推導(dǎo)出，則則不成立.
綜上討論可知，，即.
方法二：時，由，則，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，則，
若，則，注意到，則，
于是（兩者同負(fù)會有兩個鈍角，不成立），于是，
結(jié)合，而都是銳角，則，
于是，這和相矛盾，
故不成立，則
由，由，則，即，
則，同理，注意到是銳角，則，
不妨設(shè)，則，即，
由兩角和差的正弦公式可知，C選項正確
由兩角和的正切公式可得，，
設(shè)，則，
由，則，則，
于是，B選項正確，由勾股定理可知，，D選項錯誤.
故選：ABC
【知識拓展】1.給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.
2.給值(角)求值問題的一般步驟
(1)化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.
三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若直線是曲線的切線，則 .
【答案】
【解析】法一：對于，其導(dǎo)數(shù)為，
因為直線是曲線的切線，直線的斜率為2，
令，即，解得，
將代入切線方程，可得，
所以切點坐標(biāo)為，
因為切點在曲線上，
所以，即，解得.
故答案為：.
法二：對于，其導(dǎo)數(shù)為，
假設(shè)與的切點為，
則，解得.
【知識拓展】(1)處理與切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．
(2)注意區(qū)分“在點P處的切線”與“過點P的切線”．
13．若一個正項等比數(shù)列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為 .
【答案】
【解析】法一：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，
設(shè)的公比為，
當(dāng)時，，即，則，顯然不成立，舍去；
當(dāng)時，則，
兩式相除得，即，
則，所以，
所以該等比數(shù)列公比為2.
法二：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，
設(shè)的公比為，
所以，
，
所以，則，所以，
所以該等比數(shù)列公比為2.
故答案為：2.
法三：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，
設(shè)的公比為，
因為，
又，
所以，所以，
所以該等比數(shù)列公比為.
【知識拓展】等比數(shù)列基本量的運算的解題策略
(1)等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解．
(2)解方程組時常常利用“作商”消元法．
(3)運用等比數(shù)列的前n項和公式時，一定要討論公比q＝1的情形，否則會漏解或增解．
14．一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標(biāo)號，若有放回地取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望 .
【答案】/
【解析】法一：依題意，的可能取值為1、2、3，
總的選取可能數(shù)為，
其中：三次抽取同一球，選擇球的編號有5種方式，
故，
：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次），
選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式，
其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件的可能情況有種，
故，
：三種不同球被取出，
由排列數(shù)可知事件的可能情有況種，
故，
所以
.
故答案為：.
法二：依題意，假設(shè)隨機(jī)變量，其中：
其中，則，
由于球的對稱性，易知所有相等，
則由期望的線性性質(zhì)，得，
由題意可知，球在單次抽取中未被取出的概率為，
由于抽取獨立，三次均未取出球的概率為，
因此球至少被取出一次的概率為：，
故，
所以.
【知識拓展】求離散型隨機(jī)變量ξ的均值的步驟
(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值．
(2)求ξ取每個值的概率．
(3)寫出ξ的分布列．
(4)由均值、方差的定義求E(ξ)．
四、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：
(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計值；
(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).
附，
【解】（1）根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的人中有人患病，所以的估計值為；
（2）零假設(shè)為：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過.
【知識拓展】獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．
(2)根據(jù)公式χ2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)計算．
(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷．
16．設(shè)數(shù)列滿足，
(1)證明：為等差數(shù)列；
【解】（1）由題意證明如下，，
在數(shù)列中，，，
∴，即，
∴是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.
（2）由題意及（1）得，，
在數(shù)列中，首項為3，公差為1，
∴，即，
在中，
，
∴，
當(dāng)且時，
∴，
∴
∴
.
【知識拓展】 (1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．
(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
17．如圖所示的四棱錐中，平面，．
(1)證明：平面平面；
(2)，，，，在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為．
（i）證明：在平面上；
（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．
【解】（1）由題意證明如下，
在四棱錐中，⊥平面，，
平面，平面，
∴，，
∵平面，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）（i）由題意及（1）證明如下，
法一：
在四棱錐中，，，，∥，
，，
建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，
∴，
若，，，在同一個球面上，
則，
在平面中，
∴，
∴線段中點坐標(biāo)，
直線的斜率：，
直線的垂直平分線斜率：，
∴直線的方程：，
即，
當(dāng)時，，解得：，∴
在立體幾何中，，
∵
解得：，
∴點在平面上.
法二： ∵，，，在同一個球面上，
∴球心到四個點的距離相等
在中，到三角形三點距離相等的點是該三角形的外心，
作出和的垂直平分線，如下圖所示，
由幾何知識得，
，，
，
∴，
∴點是的外心，
在Rt中，，，
由勾股定理得，
∴，
∴點即為點，，，所在球的球心，
此時點在線段上，平面，
∴點在平面上.
（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，
，
設(shè)直線與直線所成角為，
∴.
法2：
由幾何知識得，，
，∥，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
過點作的平行線，交的延長線為，連接，，
則，直線與直線所成角即為中或其補(bǔ)角.
∵平面，平面，，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
在Rt中，，由勾股定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直線與直線所成角的余弦值為：.
【知識拓展】用向量法求異面直線所成的角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系．
(2)用坐標(biāo)表示異面直線的方向向量．
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．
(4)注意異面直線所成角的范圍是，即異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．
18．設(shè)橢圓的離心率為，下頂點為A，右頂點為B，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足．
（i）設(shè)，求點的坐標(biāo)（用m，n表示）；
（ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點，是橢圓上的動點，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．
【解】（1）由題可知,，所以，解得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）(ⅰ)設(shè)，易知，
法一：所以，故，且．
因為，，所以，
即，解得，所以，
所以點的坐標(biāo)為.
法二：設(shè)，則，所以
，，故
點的坐標(biāo)為.
(ⅱ)因為,,由,可得
,化簡得,即,
所以點在以為圓心,為半徑的圓上（除去兩個點）,
為到圓心的距離加上半徑,
法一：設(shè),所以
,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,
所以.
法二：設(shè)，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,
故.
【知識拓展】1.根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設(shè)為eq \f(x2,a2＋m)＋eq \f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0)．
2.圓錐曲線中最值的求法
(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決．
(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等．
19．設(shè)函數(shù)．
(1)求在的最大值；
(2)給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存在，使得；
(3)若存在使得對任意x，都有，求b的最小值．
【解】（1）法1：，
因為，故，故，
當(dāng)時，即，
當(dāng)時，即，
故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
故在上的最大值為.
法2：我們有
.
所以：
.
這得到，同時又有，
故在上的最大值為，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，
若任意與交集為空，
則且，此時無解，
矛盾，故無解；故存在，使得，
法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，
若每個與交集都為空，
則對每個，必有或之一成立.
此即或，但長度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.
故存在，使得成立.
（3）法1：記，
因為，
故為周期函數(shù)且周期為,故只需討論的情況.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
此時，
令，則，
而，
，故，
當(dāng)，在（2）中取，則存在，使得，
取，則，取即，
故，故，
綜上，可取，使得等號成立.
綜上，.
法2：設(shè).
①一方面，若存在，使得對任意恒成立，則對這樣的，同樣有.
所以對任意恒成立，這直接得到.
設(shè)，則根據(jù)恒成立，有
所以均不超過，
再結(jié)合，
就得到均不超過.
假設(shè)，則，
故.
但這是不可能的，因為三個角和單位圓的交點將單位圓三等分，這三個點不可能都在直線左側(cè).
所以假設(shè)不成立，這意味著.
②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，
知存在，使得
.
從而滿足題目要求.
綜合上述兩個方面，可知的最小值是.
戰(zhàn)略定力和戰(zhàn)術(shù)靈活性。
【知識拓展】1.分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
2.“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價變換，常見的等價變換有對于某一區(qū)間I
(1)?x1，x2∈I，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.
(2)?x1∈I1，?x2∈I2，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.
(3)?x1∈I1，?x2∈I2，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.
適用省份
山東、廣東、湖南、湖北、河北、江蘇、福建、浙江、江西、安徽、河南
是否患病
是否患病
檢測結(jié)果
正常
不正常
合計
患病
20
180
200
不患病
780
20
800
合計
800
200
1000
超聲波檢查結(jié)果組別
正常
不正常
合計
患該疾病
20
180
200
未患該疾病
780
20
800
合計
800
200
1000
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
題號
分
值
題型
考查內(nèi)容
命題點
1
5
單選
復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)的概念
2
5
單選
集合
補(bǔ)集的運算
3
5
單選
圓錐曲線
求雙曲線的離心率
4
5
單選
三角函數(shù)
正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
5
5
單選
函數(shù)
函數(shù)的基本性質(zhì)
6
5
單選
平面向量
平面向量線性運算的坐標(biāo)表示
7
5
單選
直線和圓
直線和圓的位置關(guān)系
8
5
單選
函數(shù)
對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
9
6
多選
立體幾何
空間線線、線面位置關(guān)系
10
6
多選
圓錐曲線
拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線位置關(guān)系
11
6
多選
三角函數(shù)
三角恒等變換、解三角形
12
5
填空
導(dǎo)數(shù)
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
13
5
填空
數(shù)列
等比數(shù)列基本量計算
14
5
填空
概率統(tǒng)計
隨機(jī)變量的均值
15
13
解答
概率統(tǒng)計
古典概型，獨立性檢驗
16
15
解答
數(shù)列
等差數(shù)列的判定，錯位相減求和
17
15
解答
立體幾何
面面垂直，異面直線所成的角，球的切接
18
17
解答
圓錐曲線
橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，最值問題
19
17
解答
導(dǎo)數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，能成立問題
等級
風(fēng)速大小m/s
名稱
2
1.1~3.3
輕風(fēng)
3
3.4~5.4
微風(fēng)
4
5.5~7.9
和風(fēng)
5
8.0~10.1
勁風(fēng)
超聲波檢查結(jié)果組別
正常
不正常
合計
患該疾病
20
180
200
未患該疾病
780
20
800
合計
800
200
1000
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828