黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三下學期三模數(shù)學試卷（Word版附解析）

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注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
5．本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，若，則所有整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為（ ）
A. {1，2}B. {1}C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】對進行分類討論，根據(jù)來求得正確答案.
【詳解】當時，，滿足.
當時，，由于且，
所以或.
綜上所述，整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為.
故選：C
2. 復平面內(nèi)三點所對應的復數(shù)分別為，若四邊形為平行四邊形，則點對應的復數(shù)為（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，利用向量相等即可求解.
【詳解】由題意知三點的坐標為，
設(shè)復平面內(nèi)點，則，
又四邊形是復平面內(nèi)的平行四邊形，則，則，解得，則．
故選:B．
3. 設(shè)為拋物線的焦點，若點在上，則（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用點在拋物線上，得到拋物線的標準方程，確定準線方程，利用拋物線的定義，.
【詳解】依題意，，解得，所以的準線為，所以，
故選:D．
4. 若f(x)=1?aex1+exsinx為偶函數(shù)，則（ ）
A. 1B. 0C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由已知為偶函數(shù)，可得，列方程求解即可.
【詳解】由f(x)=1?aex1+exsinx，
得f(?x)=1?ae?x1+e?xsin(?x)，
因為為偶函數(shù)，所以，
即1?ae?x1+e?xsin(?x)=1?aex1+exsinx，
所以，解得.
故選：.
5. 某同學參加社團面試，已知其第一次通過面試的概率為0.7，第二次面試通過的概率為0.5．若第一次未通過，仍可進行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學通過面試的概率為（ ）
A. 0.85B. 0.7C. 0.5D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，對立事件概率公式列式計算即得.
【詳解】依題意，第一次面試不通過的概率為0.3，第二面試不通過的概率為0.5，
因此面試失敗概率為，
所以該同學通過面試概率為.
故選：A
6. 設(shè)為等差數(shù)列的前項和，，則（ ）
A. 8B. 10C. 16D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】借助等差數(shù)列及其前項和基本性質(zhì)可得數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列求和公式計算即可得.
【詳解】依題意，，所以，
故，所以數(shù)列的公差為，
所以.
故選：D．
7. 已知某圓錐的底面半徑長為2，側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐內(nèi)部最大球的半徑為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐表面積公式求出母線長，再由圓錐軸截面圖象中相似三角形,可得圓錐內(nèi)部最大球即與圓錐相切的球的半徑.
【詳解】設(shè)母線長為，依題意，解得，
所以圓錐的高為，
作出圓錐軸截面圖象，
設(shè)圓錐內(nèi)部最大球即與圓錐相切的球的半徑為，
由于，則，
可得，解得.

故選：C．
8. 設(shè)為函數(shù)在區(qū)間兩個零點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和誘導公式，可得再由二倍角公式和同角基本關(guān)系式求解.
【詳解】因為，又因為，所以
則，
因為，所以，
所以.
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知，則使得“”成立的一個充分條件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷AD；取特值可判斷B；可化為結(jié)合的單調(diào)性可判斷C.
【詳解】對于A，因，，故故A選項正確；
對于B，取，此時滿足，但，B選項錯誤；
對于C，可得：，
則，因為，即
所以，因為函數(shù)在不單調(diào)，所以C選項錯誤；
對于D，由可知，，因為，
所以，故D選項正確，
故選：AD．
10. 已知正方體的棱長為3，P在棱上，為的中點，則（ ）
A. 當時，到平面的距離為B. 當時，平面
C. 三棱錐的體積不為定值D. 與平面所成角的正弦值的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】當時與重合，則為正三棱錐，求出點到平面的距離，即可判斷A，設(shè)為的中點，連接、，即可證明、，從而得到平面，即可判斷B，由判斷C，設(shè)點到平面的距離為，與平面所成角為，則，求出的面積最值，從而求出相應的，再由判斷D.
【詳解】當時與重合，則為正三棱錐，，
設(shè)在平面內(nèi)的投影為，則為的中心，
則，
所以，即當時，點到平面的距離為，故A正確；
由正方體的性質(zhì)可得平面，平面，所以，
設(shè)為的中點，連接、，則平面，平面，所以，
當時為的中點，則，所以，
又，所以，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
，平面，所以平面，故B正確；
當運動時，到平面的距離保持不變?yōu)椋?br>又，
所以，
所以三棱錐的體積為定值，故C錯誤；
由C可知，三棱錐的體積為定值，設(shè)點到平面的距離為，與平面所成角為，
所以，
顯然當時，的面積最大為，
則，
此時與平面所成角正弦值，
當時，的面積最小為，
則，
此時與平面所成角正弦值，
所以與平面所成角正弦值的取值范圍是，故D正確.
故選：ABD．
11. 在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)，即得“斜橢圓”，設(shè)在上，則（ ）
A. “斜橢圓”的焦點所在直線的方程為B. 的離心率為
C. 旋轉(zhuǎn)前的橢圓標準方程為D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可聯(lián)立以及與橢圓方程，進而可判斷焦點所在的直線，即可判斷A，根據(jù)直線與橢圓的交點間距離可求解長軸以及短軸長，即可求解BC，根據(jù)方程有解，利用判別式即可求解.
【詳解】由題意可知，斜橢圓關(guān)于和對稱，聯(lián)立直線與，可得，聯(lián)立直線與，可得，所以兩焦點所在直線方程為，A選項錯誤；
由可知，與相交的兩點之間距離等于短軸為，與相交的兩點之間距離等于長軸為，故焦距為，故的離心率為，選項正確；
旋轉(zhuǎn)不改變橢圓的長短軸大小，所以旋轉(zhuǎn)前的橢圓焦點在軸上，曲線方程為選項正確；
因為，關(guān)于的方程有解，所以，解得，所以選項正確，
故選：BCD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中，的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）
【答案】160
【解析】
【分析】寫出展開式的通項，利用通項計算可得.
【詳解】二項式展開式的通項為（且），
所以展開式中的項為，
所以的系數(shù)為．
故答案為：
13. 在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里的一個非常重要的不動點定理，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．函數(shù)有______個不動點．
【答案】1
【解析】
【分析】由題意可知即求函數(shù)的零點個數(shù)，當時，,當時，，當時，對求導可得的單調(diào)性和值域，即可求出的零點個數(shù).
【詳解】令，即，
由題意可知即求函數(shù)的零點個數(shù)，
當時，，此時不存在零點；
當時，，此時不存在零點；
當時，，
令，，因為，解得：，
令，，因為，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故在上有且僅有一個零點，
綜上所述，僅有一個不動點．
故答案為：1.
14. 已知圓，點，點為圓上的一個動點（異于點），若點在以AB為直徑的圓上，則到軸距離的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，則AB中點，當在上方，且軸時，到軸距離取得最大值，由此即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
則AB中點，
當在上方，且軸時，到軸距離取得最大值，
此時，設(shè)到軸距離為，則，
設(shè)，則，則，
所以當，即時，取得最大值，
即到軸距離的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意得出當在上方，且軸時，到軸距離取得最大值，是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15. 已知的內(nèi)角的對邊分別為的面積為．
（1）求；
（2）若，且的周長為5，設(shè)為邊BC中點，求AD.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；
（2）根據(jù)三角形的周長，結(jié)合余弦定理求出，再向量化即可得解.
【小問1詳解】
依題意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因為，所以；
【小問2詳解】
依題意，，
因為，解得，
因為，
所以，
所以．
16. 如圖，在三棱柱中，平面平面，．
（1）證明：；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直線與平面垂直證明兩直線垂直；（2）利用空間向量法求解二面角的正弦值；
【小問1詳解】
取AC的中點，則，且，
因為平面平面ABC，且平面平面平面ABC，
所以平面
因為平面，
所以，
因為，
又因為平面平面，
又平面；
【小問2詳解】
如圖所示，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
可得，
因為，
設(shè)平面的法向量為，
則由得
令，則，
設(shè)平面的法向量為，
則由得
令，則，
記二面角的平面角為，
因為，
顯然，所以，
所以二面角的正弦值為.
17. 已知函數(shù)為的極值點．
（1）求的最小值；
（2）若關(guān)于的方程有且僅有兩個實數(shù)解，求的取值范圍．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）求出導函數(shù)，根據(jù)極值點的定義可得，代入，構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)判斷單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可
（2）由，然后分離參數(shù)得，設(shè)，求出單調(diào)區(qū)間和極值即可
【小問1詳解】
，
依題意，，所以，
所以，
設(shè)，則，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
當時，取得最小值，所以的最小值為1；
【小問2詳解】
由（1）可知，，
令，則，
設(shè)，則，
當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
且，
所以．
18. 已知雙曲線的實軸長為2，設(shè)為的右焦點，為的左頂點，過的直線交于A，B兩點，當直線AB斜率不存在時，的面積為9．
（1）求的方程；
（2）當直線AB斜率存在且不為0時，連接TA，TB分別交直線于P，Q兩點，設(shè)為線段PQ的中點，記直線AB，F(xiàn)M的斜率分別為，證明：為定值．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形面積以及實軸長即可求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)點斜式求解直線方程，進而可得坐標，利用斜率公式即可求解.
【小問1詳解】
依題意，，解得，
設(shè)的焦距為2c，則，
將代入方程，可得，
所以的面積為，
解得，
所以的方程為；
小問2詳解】
由方程得,
設(shè)直線，
與的方程聯(lián)立可得，
所以，
設(shè)直線，令，解得，所以，
同理可得，，
所以
，故
所以，又，所以．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍以及定值問題的求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（33）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
19. 甲、乙兩同學進行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為，乙射擊一次命中的概率為，比賽共進行輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止射擊．
（1）設(shè)甲同學在方案一中射擊輪次總得分為隨機變量是，求；
（2）甲、乙同學分別選取方案一、方案二進行比賽，試確定的最小值，使得當時，甲的總得分期望大于乙．
【答案】（1）20 （2）12
【解析】
【分析】（1）由已知設(shè)，則服從二項分布，根據(jù)二項分布期望的公式和期望的性質(zhì)求解即可；
（2）設(shè)乙同學的總得分為隨機變量，寫出的所有可能取值，并計算相應的概率，并求解，利用設(shè)，求解的最小值即可.
【小問1詳解】
設(shè)，故，
所以，
故；
【小問2詳解】
由（1）知，
設(shè)乙同學的總得分為隨機變量，的所有可能取值為，，，，，
所以，，，
，，，
，
所以，
設(shè)，
則，
故，
即，代入，
故，
設(shè)，
易知，當時，，且，
則滿足題意的最小為12.