2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第02講 整式與因式分解(講義，2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)14種題型(含7種解題技巧))(解析版)

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第02講 整式與因式分解(講義，2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)14種題型(含7種解題技巧))(解析版)，共53頁。
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc182328629" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
\l "_Tc182328630" 02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc182328631" 03考點(diǎn)突破·考法探究
\l "_Tc182328632" 考點(diǎn)一 代數(shù)式
\l "_Tc182328633" 考點(diǎn)二 整式的相關(guān)概念
\l "_Tc182328634" 考點(diǎn)三 整式的運(yùn)算
\l "_Tc182328635" 考點(diǎn)四 因式分解
0 \l "_Tc182328636" 4題型精研·考向洞悉
\l "_Tc182328637" 命題點(diǎn)一 整式及其相關(guān)計(jì)算
\l "_Tc182328638" 題型01 實(shí)際問題中的代數(shù)式.
\l "_Tc182328639" 題型02 求代數(shù)式的值.
\l "_Tc182328640" 題型03 整式的加減
\l "_Tc182328641" 題型04 冪的混合運(yùn)算
\l "_Tc182328642" 題型05 整式的乘除
\l "_Tc182328643" 題型06 乘法公式的應(yīng)用
\l "_Tc182328644" 題型07 整式的化簡求值
\l "_Tc182328645" 題型08 整式的混合運(yùn)算
\l "_Tc182328646" 題型09 判斷因式分解的正誤
\l "_Tc182328647" 題型10 因式分解
\l "_Tc182328648" 題型11 因式分解的應(yīng)用
\l "_Tc182328649" 命題點(diǎn)二 規(guī)律探索及新定義問題
\l "_Tc182328650" 題型01 圖形類規(guī)律探索
\l "_Tc182328651" 題型02 數(shù)字類規(guī)律探索
\l "_Tc182328652" 題型03 數(shù)式中的新定義問題
01考情透視·目標(biāo)
02知識(shí)導(dǎo)圖·思
03考點(diǎn)突破·考
考點(diǎn)一 代數(shù)式
1. 列代數(shù)式
定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，這就是列代數(shù)式.
代數(shù)式的書寫要求：
1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號(hào)寫成“·”或省略不寫；數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào).
2）字母與數(shù)字相乘時(shí)，通常把數(shù)字寫在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時(shí)，通常省略不寫.
3）除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).
4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運(yùn)算，則要將整個(gè)式子用括號(hào)括起來，再寫單位.
2. 代數(shù)式的值
定義：根據(jù)問題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.
求代數(shù)式的值的步驟：
1）代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時(shí)，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，其他的運(yùn)算符號(hào)、原來的數(shù)字和運(yùn)算順序都不能改變，同時(shí)對(duì)原來省略的乘號(hào)要進(jìn)行還原；
2）計(jì)算：按照代數(shù)式指定的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果，運(yùn)算時(shí)，要分清運(yùn)算種類及運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.
1．（2024·四川廣安·中考真題）下列對(duì)代數(shù)式-3x的意義表述正確的是（ ）
A．-3與x的和B．-3與x的差C．-3與x的積D．-3與x的商
【答案】C
【分析】本題考查了代數(shù)式的意義，用語言表達(dá)代數(shù)式的意義，一定要理清代數(shù)式中含有的各種運(yùn)算及其順序．根據(jù)-3x中的運(yùn)算關(guān)系解答即可．
【詳解】解：代數(shù)式-3x的意義可以是-3與x的積．
故選C．
2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a2-2a-5=0，則2a2-4a+1= ．
【答案】11
【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價(jià)形式是解題關(guān)鍵．
由a2-2a-5=0，得a2-2a=5，根據(jù)對(duì)求值式子進(jìn)行變形，再代入可得答案．
【詳解】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2a2-2a+1=2×5+1=11，
故答案為：11．
3．（2023·吉林長春·中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為 公里．（用含x的代數(shù)式表示）
【答案】7.5-10x
【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．
【詳解】根據(jù)題意可得，
他離健康跑終點(diǎn)的路程為7.5-10x．
故答案為：7.5-10x．
【點(diǎn)睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．
4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，把R1，R2，R3三個(gè)電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U=IR1+IR2+IR3．當(dāng)R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2時(shí)，U的值為 ．

【答案】220
【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)U=IR1+IR2+IR3，將數(shù)值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵U=IR1+IR2+IR3，
當(dāng)R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2時(shí)，
U=20.3×2.2+31.9×2.2+47.8×2.2=20.3+31.9+47.8×2.2=220，
故答案為：220．
5．（2024·四川雅安·中考真題）如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綡= ．
①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．
【答案】h+an
【分析】本題考查的是列代數(shù)式，由總高度H等于杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)加上n個(gè)杯子的杯沿高na即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得：H=h+an，
故答案為：h+an；
考點(diǎn)二 整式的相關(guān)概念
1. 單項(xiàng)式
單項(xiàng)式的定義：由數(shù)字與字母、字母與字母的乘積組成的式子叫單項(xiàng)式.
單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).
注意：圓周率π是常數(shù)，單項(xiàng)式中出現(xiàn)π時(shí)，應(yīng)看作系數(shù)，而不能當(dāng)成字母；
單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).
注意：單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān).
例如：單項(xiàng)式的次數(shù)是2＋3＋4=9而不是14.
2. 多項(xiàng)式
多項(xiàng)式的定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.
多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).
多項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).
注意：1）多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)；
2）一個(gè)多項(xiàng)式是幾次、有幾項(xiàng)就叫幾次幾項(xiàng)式，如是二次三項(xiàng)式.
升冪排列與降冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來,叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列；若按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列．
3. 整式
定義：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.
1．（2024·江西·中考真題）觀察a，a2，a3，a4，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為 ．
【答案】a100
【分析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個(gè)式子是多少即可．
【詳解】解：∵a，a2，a3，a4，…，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1；
∵第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，
∴第n個(gè)式子是an．
∴第100個(gè)式子是a100．
故答案為：a100．
2．（2024·吉林長春·中考真題）單項(xiàng)式-2a2b的次數(shù)是 ．
【答案】3
【分析】此題考查單項(xiàng)式有關(guān)概念，根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義來求解，解題的關(guān)鍵是需靈活掌握單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的定義，單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．
【詳解】單項(xiàng)式-2a2b的次數(shù)是：2+1=3，
故答案為：3．
3．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個(gè)正方形，第二幅圖有5個(gè)正方形，第三幅圖有14個(gè)正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為（ ）
A．90B．91C．92D．93
【答案】B
【分析】本題主要考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到有關(guān)圖形個(gè)數(shù)的規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形知道第1個(gè)圖形有1個(gè)正方形，第2個(gè)有5=12+22個(gè)，第3個(gè)圖形有14=12+22+32個(gè)，…由此得到規(guī)律求得第6個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)即可．
【詳解】第1個(gè)圖形有1個(gè)正方形，
第2個(gè)圖形有5=12+22個(gè)正方形，
第3個(gè)圖形有14=12+22+32個(gè)正方形，
……
第6個(gè)圖形有12+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91（個(gè)）正方形，
故選：B.
4．（2024·山東濰坊·中考真題）將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表．記ai,j為數(shù)表中第i行第j列位置的數(shù)字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若am,n=2024，則m= ，n= ．
【答案】 45 2
【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：當(dāng)正整數(shù)為k2時(shí)，若k為奇數(shù)，則k2在第k行，第1列，下一個(gè)數(shù)再下一行，上一個(gè)數(shù)在第2列；若k為偶數(shù)，則k2在第1行，第k列，下一個(gè)數(shù)再下一列，上一個(gè)數(shù)在第2行．
【詳解】解：由圖中排布可知，當(dāng)正整數(shù)為k2時(shí)，
若k為奇數(shù)，則k2在第k行，第1列，下一個(gè)數(shù)再下一行，上一個(gè)數(shù)在第2列；
若k為偶數(shù)，則k2在第1行，第k列，下一個(gè)數(shù)再下一列，上一個(gè)數(shù)在第2行；
∵am,n=2024=2025-1=452-1，
而2025=452，在第45行，第1列，
∴2024在第45行，第2列，
∴m=45，n=2，
故答案為：45，2．
5．（2023·湖北恩施·中考真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：
-2，4，-8，16，-32，64，……①
0，7，-4，21，-26，71，……②
根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為 ；取每行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為 ．
【答案】 1024 -22024+2024
【分析】通過觀察第一行數(shù)的規(guī)律為(-2)n，第二行數(shù)的規(guī)律為(-2)n+n+1，代入數(shù)據(jù)即可.
【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為(-2)n，∴第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為(-2)10=1024；
第二行數(shù)的規(guī)律為(-2)n+n+1，
∴第①行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為(-2)2023，第②行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為(-2)2023+2024，
∴-22024+2024，
故答案為：1024；-22024+2024．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見的題型.
QUOTE QUOTE 考點(diǎn)三 整式的運(yùn)算
1. 同類項(xiàng)
定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).
判斷同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同，缺一不可.
2. 合并同類項(xiàng)
定義：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).
法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變.（簡稱：一相加兩不變）
3. 去括號(hào)與添括號(hào)
添（去）括號(hào)法則：括號(hào)外是“+”，添(去)括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)外是“-”，添(去)括號(hào)都變號(hào).
【補(bǔ)充】去括號(hào)和添括號(hào)是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗(yàn)正誤.
4. 整式的加減
運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).
【補(bǔ)充說明】整式加減實(shí)際上就是：去括號(hào)、合并同類項(xiàng)；
5. 冪的運(yùn)算
冪的運(yùn)算法則中底數(shù)a的規(guī)定：底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.
1）同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（m，n都是整數(shù)）
2）冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是整數(shù)）
注意：冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”．這里的“底數(shù)不變”是指“冪”的底數(shù)“a”不變．例如：，其中，“冪”的底數(shù)是“a”，而不是“”，指數(shù)相乘是指“3×2”．
3）積的乘方積的乘方等于把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的積相乘，即（n為整數(shù)）
4）同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（a≠0，m，n都為整數(shù)）
5）零指數(shù)冪
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即（a≠0）.
6. 整式的乘除
1）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
實(shí)質(zhì)：乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.
2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即.
實(shí)質(zhì)：利用乘法的分配律將單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式.
3）多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即.
【易錯(cuò)易混】
①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；
②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號(hào).且結(jié)果仍是多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．
4）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則：一般地,單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.
5）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
運(yùn)算法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.
實(shí)質(zhì)：把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.
7. 乘法公式
1）平方差公式
平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.即：
特點(diǎn)：等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是一個(gè)二項(xiàng)式，這個(gè)二項(xiàng)式是左邊兩個(gè)二項(xiàng)式中相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差.
2）平方差公式的推導(dǎo)
①用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)平方差公式
②通過面積法推導(dǎo)平方差公式：
如圖1所示，左側(cè)涂色部分的面積為，右側(cè)涂色部分的面積為，所以可以得到.
【補(bǔ)充】常見驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形
3）完全平方公式
完全平方公式：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.即.
特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.
口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號(hào)同前方.
完全平方式的常見變形（①-⑤基礎(chǔ)必須掌握）：
① ②
③ ④ ⑤
4）完全平方公式的推導(dǎo)
①用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)完全平方公式：
②通過面積法推導(dǎo)完全平方公式：
①如圖甲所示是一個(gè)邊長為a+b的正方形，面積為，它的面積還可以看成是由兩個(gè)小正方形與兩個(gè)長方形的和，即，所以可以得到；
②如圖乙所示，邊長為a-b的小正方形的面積是，它的面積還可以看成是由大的正方形面積減去兩個(gè)小的長方形面積，即，所以可以得到.
8. 整式的混合運(yùn)算
定義：含有整式的加減、乘除及乘方的多種運(yùn)算叫做整式的混合運(yùn)算.
運(yùn)算順序: 先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)里的，去括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào).
1．（2024·山東泰安·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．2x2y-3xy2=-x2yB．4x8y2÷2x2y2=2x4
C．x-y-x-y=x2-y2D．x2y32=x4y6
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則、平方差公式、積的乘方進(jìn)行判斷即可求解．
【詳解】解：A、2x2y與3xy2不是同類項(xiàng)，不能合并同類項(xiàng)，故不符合題意；
B、4x8y2÷2x2y2=2x6，故不符合題意；
C、x-y-x-y=-x-yx+y=-x2-y2=y2-x2，故不符合題意；
D、x2y32=x4y6，故符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查合并同類項(xiàng)法則、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則、平方差公式、積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數(shù)，且滿足2a+2a+???+2a8個(gè)2a相加=2b×2b×???×2b8個(gè)2b相乘，則a與b的關(guān)系正確的是（ ）
A．a(chǎn)+3=8bB．3a=8bC．a(chǎn)+3=b8D．3a=8+b
【答案】A
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
由題意得：8×2a=2b8，利用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方化簡即可．
【詳解】解：由題意得：8×2a=2b8，
∴23×2a=28b，
∴3+a=8b，
故選：A．
3．（2024·四川德陽·中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上y2+3xy-4，結(jié)果是3xy+2y2-5，則這個(gè)多項(xiàng)式為 ．
【答案】y2-1
【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，根據(jù)題意“一個(gè)多項(xiàng)式加上y2+3xy-4，結(jié)果是3xy+2y2-5”，進(jìn)行列出式子：3xy+2y2-5-y2+3xy-4，再去括號(hào)合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】解：依題意這個(gè)多項(xiàng)式為
3xy+2y2-5-y2+3xy-4
=3xy+2y2-5-y2-3xy+4
=y2-1．
故答案為：y2-1
4．（2023·江蘇南京·中考真題）計(jì)算23×44×185的結(jié)果是 ．
【答案】116
【分析】本題考查了冪的乘方運(yùn)算的逆用及積的乘方運(yùn)算的逆用，根據(jù)冪的乘方運(yùn)算的逆用及積的乘方運(yùn)算的逆用進(jìn)行運(yùn)算，即可求得．
【詳解】解：23×44×185=23×28×1215
=211×1215=211×1211×124
=2×1211×124=124=116
故答案為：116．
5．（2024·甘肅·中考真題）先化簡，再求值：2a+b2-2a+b2a-b÷2b，其中a=2，b=-1．
【答案】2a+b，3
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式和完全平方公式去小括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則化簡，最后代值計(jì)算即可．
【詳解】解：2a+b2-2a+b2a-b÷2b
=4a2+4ab+b2-4a2-b2÷2b
=4a2+4ab+b2-4a2+b2÷2b
=4ab+2b2÷2b
=2a+b，
當(dāng)a=2，b=-1時(shí)，原式=2×2+-1=3．
考點(diǎn)四 因式分解
1. 因式分解
定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
【補(bǔ)充說明】
1）因式分解分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可.
2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.
3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．
2. 公因式
定義：多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，我們把這個(gè)相同的因式就叫做公因式.
注意：公因式可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式.
3. 提公因式法分解因式
定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫提公因式法，即：.
實(shí)質(zhì)：乘法分配律的逆用.
關(guān)鍵：準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.
4. 公因式法分解因式
定義：運(yùn)用平方差公式、完全平方公式將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫作公式法.
逆用平方差法分解因式：
逆用完全平方公式分解因式：
5. 因式分解的一般步驟：
1．（2023·四川攀枝花·中考真題）以下因式分解正確的是（ ）
A．a(chǎn)x2-a=ax2-1B．m3+m=mm2+1
C．x2+2x-3=xx+2-3D．x2+2x-3=x-3x+1
【答案】B
【分析】利用平方差公式，x2-1還可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x-3=(x+3)(x-1)．
【詳解】解：ax2-a=a(x2-1)=a(x+1)(x-1)；故A不正確，不符合題意．
m3+m=m(m2+1)；故B正確，符合題意．
x2+2x-3=(x+3)(x-1)；故C，D不正確，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，靈活掌握因式分解的方法是本題的關(guān)鍵．
2．（2023·河北·中考真題）若k為任意整數(shù)，則(2k+3)2-4k2的值總能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．
【詳解】解：(2k+3)2-4k2
=(2k+3+2k)(2k+3-2k)
=3(4k+3)，
3(4k+3)能被3整除，
∴(2k+3)2-4k2的值總能被3整除，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為a2-b2=(a-b)(a+b)通過因式分解，可以把多項(xiàng)式分解成若干個(gè)整式乘積的形式．
3．（2024·山東淄博·中考真題）若多項(xiàng)式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，則m的值是 ．
【答案】±12
【分析】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．
【詳解】解：∵多項(xiàng)式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，
∴ 4x2-mxy+9y2=2x2-mxy+3y2=2x±3y2，
∴m=±2×2×3=±12，
故答案為：±12．
4．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）因式分解3ax2-6axy+3ay2= ．
【答案】3ax-y2
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：原式=3ax2-2xy+y2=3ax-y2；
故答案為：3ax-y2．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．
20．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m-n=1，則代數(shù)式m2n-mn2的值是 ．
【答案】2
【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值．
【詳解】解：∵mn=2，m-n=1，
∴ m2n-mn2=mnm-n=2×1=2，
故答案為：2．
5．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c-10|+b-8=12a-36，則sinB的值為 ．
【答案】45/0.8
【分析】由a2+|c-10|+b-8=12a-36，可得a-62+c-10+b-8=0，求解a=6,b=8,c=10，證明∠C=90°，再利用正弦的定義求解即可．
【詳解】解：∵a2+|c-10|+b-8=12a-36，
∴a2-12a+36+c-10+b-8=0，
∴a-62+c-10+b-8=0，
∴a-6=0，c-10=0，b-8=0，
解得：a=6,b=8,c=10，
∴a2+b2=62+82=100=102=c2，
∴∠C=90°，
∴sinB=bc=810=45，
故答案為：45．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明∠C=90°是解本題的關(guān)鍵．
4題型精研·考
命題點(diǎn)一 整式及其相關(guān)計(jì)算
題型01 實(shí)際問題中的代數(shù)式.
代數(shù)式的書寫要求：
1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號(hào)寫成“·”或省略不寫；數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào).
2）字母與數(shù)字相乘時(shí)，通常把數(shù)字寫在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時(shí)，通常省略不寫.
3）除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).
4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運(yùn)算，則要將整個(gè)式子用括號(hào)括起來，再寫單位.
1．（2022·湖南長沙·中考真題）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．現(xiàn)需購買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費(fèi)用為（ ）
A．8x元B．10(100-x)元C．8(100-x)元D．(100-8x)元
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列求得購買乙種讀本100-x本，根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量即可求解．
【詳解】解：設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本100-x本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，則則購買乙種讀本的費(fèi)用為8(100-x)元
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇·中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是 （用含a的代數(shù)式表示）．
【答案】πa3
【詳解】根據(jù)圓柱的體積=圓柱的底面積×圓柱的高，可得
V=πa2·a=πa3．
故答案為：πa3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式和整式的乘法運(yùn)算，牢記整式乘法的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個(gè)圍棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10個(gè)，乙盒中都是白子，共8個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出a個(gè)黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則a＝ ；
（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共m(m>2)個(gè)，乙盒中都是白子，共2m個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出a(11，
∴S1-S2=a-12>0，
∴S1>S2．
【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，整式的加減，完全平方公式等知識(shí)，會(huì)根據(jù)題意列式和掌握做差比較法是解題的關(guān)鍵．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE 題型04 冪的混合運(yùn)算
計(jì)算時(shí)可能用到以下公式：
1) 2） 3)
4) 5)
【注意】同底數(shù)冪的運(yùn)算法則只適用于同底數(shù)冪的乘除，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)要看能否化成同底數(shù)，若不能則不能用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.
1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（ ）
A．m3?m3=m6B．m3+m3=m6C．m32=m5D．m6÷m2=m3
【答案】A
【分析】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項(xiàng)法則；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、m3?m3=m6，故此選項(xiàng)符合題意；
B、m3+m3=2m3，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、(m3)2=m6，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、m6÷m2=m4，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
2．（2024·山西·中考真題）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果為6m4的是（ ）
A．3m+3m3B．-3m22C．12m5÷2mD．-2m3?3m
【答案】C
【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，根據(jù)合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則逐項(xiàng)排除即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】A、3m與3m3不可以合并，故不符合題意；
B、-3m22=9m4，故不符合題意；
C、12m5÷2m=6m4，故符合題意；
D、-2m3?3m=-6m4，故不符合題意；
故選：C．
3．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：4x23= ．
【答案】64x6
【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先將因式分別乘方，再結(jié)合冪的乘方計(jì)算即可．
【詳解】解：4x23=64x6，
故答案為：64x6．
4．（2024·天津·中考真題）計(jì)算x8÷x6的結(jié)果為 ．
【答案】x2
【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法，掌握同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：x8÷x6=x2，
故答案為：x2．
QUOTE 題型05 整式的乘除
整式的乘除法
1．（2024·西藏·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．x-2x=xB．x(x+3)=x2+3
C．-2x23=-8x6D．3x2?4x2=12x2
【答案】C
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得出答案．
【詳解】解：A、x-2x=-x，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、x(x+3)=x2+3x，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、-2x23=-8x6，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
D、3x2?4x2=12x4，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
2．（2024·四川德陽·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3=a6B．-a-b=-a+b
C．a(chǎn)a+1=a2+1D．(a+b)2=a2+b2
【答案】B
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，去括號(hào)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、a2?a3=a5，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
B、-a-b=-a+b，原選項(xiàng)計(jì)算正確；
C、aa+1=a2+a，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
D、a+b2=a2+2ab+b2，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
故選B．
3．（2023·山東青島·中考真題）計(jì)算：8x3y÷2x2= ．
【答案】2xy
【分析】利用積的乘方及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式=8x3y÷4x2
=2xy，
故答案為：2xy．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·重慶·中考真題）計(jì)算：
(1)a3-a+a-1a+2；
(2)1+2x-2÷x2-4x2-4x+4．
【答案】(1)4a-2
(2)xx+2
【分析】本題主要考查了整式的混合計(jì)算，分式的混合計(jì)算∶
（1）先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可得到答案；
（2）先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡即可得到答案．
【詳解】（1）解：a3-a+a-1a+2
=3a-a2+a2-a+2a-2
=4a-2；
（2）解：1+2x-2÷x2-4x2-4x+4
=x-2+2x-2÷x+2x-2x-22
=xx-2?x-22x+2x-2
=xx+2．
題型06 乘法公式的應(yīng)用
1．（2023·四川攀枝花·中考真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：
①a+b2=a2+2ab+b2 ②a-b2=a2-2ab+b2
③(a+b)(a-b)=a2-b2 ④(a-b)2=(a+b)2-4a
其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】觀察各個(gè)圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式即可得到答案．
【詳解】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積．
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）已知2a2-a-3=0，則(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是（ ）
A．6B．-5C．-3D．4
【答案】D
【分析】2a2-a-3=0變形為2a2-a=3，將(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2變形為42a2-a-8，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：由2a2-a-3=0得：2a2-a=3，
∴(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2
=4a2-9+4a2-4a+1
=8a2-4a-8
=42a2-a-8
=4×3-8
=4，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，將(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2變形為42a2-a-8．
3．（2024·四川樂山·中考真題）已知a-b=3，ab=10，則a2+b2= ．
【答案】29
【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)a2+b2=a-b2+2ab，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，a2+b2=a-b2+2ab=32+2×10=29，
故答案為：29．
24．（2023·浙江·中考真題）如圖，分別以a,b,m,n為邊長作正方形，已知m>n且滿足am-bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，則圖1陰影部分的面積是 ；
（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是 ．
【答案】 25 53
【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)題意，解方程組得出m=2a+4b3n=4a-2b3，根據(jù)題意得出m+n=10，進(jìn)而得出a=910-3020b=310+33020，根據(jù)圖2陰影部分的面積為mn，代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：（1） a=3,b=4，圖1陰影部分的面積是a2+b2=32+42=25，
故答案為：25．
（2）∵圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，
∴a2+b2=3，12m+nm+n=5，即m+n2=10
∴m+n=10（負(fù)值舍去）
∵am-bn=2，an+bm=4．
解得：m=2a+4ba2+b2n=4a-2ba2+b2
∵a2+b2=3①
∴m=2a+4b3n=4a-2b3，
∴m+n=6a+2b3=2a+23b，
∴2a+23b=10②
聯(lián)立①②解得：a=30+91020b=310-33020（b為負(fù)數(shù)舍去）或a=910-3020b=310+33020
∴2a+4b=30+3102，4a-2b=-30+3102
圖2陰影部分的面積是122m×2n=mn
mn=2a+4b4a-2b9
=30+3102×-30+31029
=53
故答案為：53．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘方與圖形的面積，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二元一次方程組，解一元二次方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·四川成都·中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)m，n的平方差，且m-n>1，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16=52-32，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ．
【答案】 15 57
【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意， 當(dāng)m=3，n=1，則第1個(gè)一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為32-12=8
當(dāng)m=4，n=2，則第2個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為42-22=14
當(dāng)m=4，n=1，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為42-12=15，
當(dāng)m=5，n=3，則第4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為52-32=16，
當(dāng)m=6，n=4，則第5個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為 62-42=20
當(dāng)m=5，n=2，則第6個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為52-22=21
當(dāng)m=5，n=1，則第7個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為52-12=24
……
m=6時(shí)有4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，同理m=7時(shí)有5個(gè)，m=8時(shí)有6個(gè)，
列表如下，
觀察表格可知當(dāng)m=12時(shí)，n=10時(shí)，智慧數(shù)為44，
m=13,n=11時(shí)，智慧數(shù)為48，
m=14，n=12時(shí)，智慧數(shù)為52，
m=15，n=13時(shí)，智慧數(shù)為56，
第1至第10個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，
第11至第20個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，
第21個(gè)智慧優(yōu)數(shù)55，第22個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為56，第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為57
故答案為：15，57．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，平方差公式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
題型07 整式的化簡求值
一般這類題會(huì)利用整體代入法/間接代入法求值，
[整體代入法]從題中條件中不易直接得到某個(gè)字母的具體值，可以將原式化為已知條件中字母間的關(guān)系，然后將某個(gè)式子的值作為一個(gè)整體代入計(jì)算.
[間接代入法] 將已知的代數(shù)式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數(shù)式中計(jì)算求值.
[賦值法]給未知數(shù)賦予一些特殊值，將其代入等式中，得到所求代數(shù)式的形式，從而求出代數(shù)式的值.一般情況下，多是代入-1、0、1這三個(gè)值.
1．（2024·四川成都·中考真題）若m，n為實(shí)數(shù)，且m+42+n-5=0，則m+n2的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平方式和算術(shù)平方數(shù)的非負(fù)數(shù)求得m、n值，進(jìn)而代值求解即可．
【詳解】解：∵m+42+n-5=0，
∴m+4=0，n-5=0，
解得m=-4，n=5，
∴m+n2=-4+52=1，
故答案為：1．
2．（2023·遼寧沈陽·中考真題）當(dāng)a+b=3時(shí)，代數(shù)式2(a+2b)-(3a+5b)+5的值為 ．
【答案】2
【分析】先將原式去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)可得-a-b+5，再把前兩項(xiàng)提取-1，然后把a(bǔ)+b=3的值代入可得結(jié)果.
【詳解】解：2(a+2b)-(3a+5b)+5
=2a+4b-3a-5b+5
=-a-b+5
=-(a+b)+5
當(dāng)a+b=3時(shí)，原式=-3+5=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題主要是考查了整式的化簡求值，能夠熟練運(yùn)用去括號(hào)法則，合并同類項(xiàng)法則化簡是解題的關(guān)鍵.
3．（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程x2+2024x-4=0的兩個(gè)解，則a2+2023a-b的值為 ．
【答案】2028
【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得a2+2024a=4，a+b=-2024，再代值求解即可．
【詳解】解：∵a和b是方程x2+2024x-4=0的兩個(gè)解，
∴a2+2024a-4=0，a+b=-2024，
∴a2+2024a=4，
∴a2+2023a-b
=a2+2024a-a+b
=4--2024
=4+2024
=2028，
故答案為：2028．
4．（2023·四川涼山·中考真題）已知x2-2x-1=0，則3x3-10x2+5x+2027的值等于 ．
【答案】2023
【分析】把x2-2x-1=0化為：x2=2x+1代入降次，再把x2-2x=1代入求值即可．
【詳解】解：由x2-2x-1=0得：x2=2x+1，x2-2x=1，
3x3-10x2+5x+2027
=3x2x+1-10x2+5x+2027
=6x2+3x-10x2+5x+2027
=-4x2+8x+2027
=-4x2-2x+2027
=-4×1+2027
=2023，
故答案為：2023．
【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的求值，找到整體進(jìn)行降次是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川涼山·中考真題）先化簡，再求值：(2x+y)2-2x+y2x-y-2yx+y，其中x=122023，y=22022．
【答案】2xy，1
【分析】根據(jù)a±b2=a2±2ab+b2，a+ba-b=a2-b2，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行展開，再加減運(yùn)算，代值計(jì)算即可．
【詳解】解：原式=4x2+4xy+y2-4x2-y2-2xy-2y2
=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2
=2xy．
當(dāng)x=122023，y=22022時(shí)，
原式=2×122023×22022
=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了化簡求值問題，完全平方公式、平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，掌握公式及法則是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·北京·中考真題）已知a-b-1=0，求代數(shù)式3a-2b+3ba2-2ab+b2的值.
【答案】3
【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法對(duì)分母分子化簡，再對(duì)a-b-1=0化簡得到a-b=1，再整體代入求值即可．
【詳解】解：原式=3a-6b+3ba-b2
=3a-ba-b2
=3a-b，
∵a-b-1=0，
∴a-b=1，
∴原式=31=3．
題型08 整式的混合運(yùn)算
1．（2022·江蘇無錫·中考真題）計(jì)算：
(1)-12×-32-cs60°；
(2)aa+2-a+ba-b-bb-3．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
【分析】（1）先化簡絕對(duì)值和計(jì)算乘方，并把特殊角的三角函數(shù)值代入，再計(jì)算乘法，最后算加減即可求解；
（2）先運(yùn)用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則和平方差公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】（1）解：原式=12×3-12
=32-12
=1；
（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，整式混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值、平方差公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·甘肅蘭州·中考真題）計(jì)算：x+2yx-2y-y3-4y．
【答案】x2-3y
【分析】先計(jì)算平方差公式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后計(jì)算加減法即可．
【詳解】解：x+2yx-2y-y3-4y
=x2-4y2-3y+4y2
=x2-3y．
【點(diǎn)睛】題目主要考查整式的乘法運(yùn)算及加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．（2022·重慶·中考真題）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”．
例如：M=2543，∵32+42=25，∴2543是“勾股和數(shù)”；
又如：M=4325，∵52+22=29，29≠43，∴4325不是“勾股和數(shù)”．
(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；
(2)一個(gè)“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記GM=c+d9，PM=10a-c+b-d3．當(dāng)GM，PM均是整數(shù)時(shí)，求出所有滿足條件的M．
【答案】(1)2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由見解析
(2)8109或8190或4536或4563．
【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）由“勾股和數(shù)”的定義可得10a+b=c2+d2，根據(jù)GM，PM均是整數(shù)可得c+d=9，c2+d2=81-2cd為3的倍數(shù)，據(jù)此得出符合條件的c，d的值，然后即可確定出M．
【詳解】（1）解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；
理由：∵22+22=8，8≠20，
∴1022不是“勾股和數(shù)”；
∵52+52=50，
∴5055是“勾股和數(shù)”；
（2）∵M(jìn)為“勾股和數(shù)”，
∴10a+b=c2+d2，
∴0y>z>m>n)中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，…．下列說法：
①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；
②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；
③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．
【詳解】解：x-y-z-m-n=x-y-z-m-n，故說法①正確．
若使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0，必須出現(xiàn)-x，顯然無論怎么添加絕對(duì)值，都無法使x的符號(hào)為負(fù)，故說法②正確．
當(dāng)添加一個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有4種情況，分別是x-y-z-m-n=x-y-z-m-n；x-y-z-m-n=x-y+z-m-n；x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n；x-y-z-m-n=x-y-z-m+n．當(dāng)添加兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有3種情況，分別是x-y-z-m-n=x-y-z+m-n；x-y-z-m-n=x-y-z-m+n；x-y-z-m-n=x-y+z-m+n．共有7種情況；
有兩對(duì)運(yùn)算結(jié)果相同，故共有5種不同運(yùn)算結(jié)果，故說法③不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進(jìn)行情況討論；
需要注意去絕對(duì)值時(shí)的符號(hào)，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對(duì)值計(jì)算和分類討論思想的應(yīng)用．
3．（2023·四川廣安·中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，a※b=xa+yb．若2※-2=1，則-3※3的值是 ．
【答案】-23
【分析】先根據(jù)2※-2=1可得一個(gè)關(guān)于x,y的等式，再根據(jù)新運(yùn)算的定義代入計(jì)算即可得．
【詳解】解：∵2※-2=1，
∴x2+y-2=1，即x-y=2，
∴-3※3=x-3+y3=-x-y3=-23，
故答案為：-23．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、代數(shù)式求值，理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．
4．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2-n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2-n的過程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?02=252-23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602=252-23的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 ．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A=m2-n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n=k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 ．
【答案】 82 4564
【分析】本題考查了新定義，設(shè)m=10a+b，則n=10a+8-b（1≤a≤9，0≤b≤8）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得m=10,n=18，代入，即可求解；根據(jù)B除以19余數(shù)為1，且2m+n=k2（k為整數(shù)），得出3a+4b+719為整數(shù)，30a+b+8是完全平方數(shù)，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解．
【詳解】①設(shè)m=10a+b，則n=10a+8-b（1≤a≤9，0≤b≤8）
由題意得：m2-n=10a+b2-10a+8-b，
∵1≤a≤9，“方減數(shù)”最小，
∴a=1，
則m=10+b，n=18-b，
∴m2-n=10+b2-18-b=100+20b+b2-18+b=82+b2+21b，
則當(dāng)b=0時(shí)，m2-n最小，為82，
故答案為：82；
②設(shè)m=10a+b，則n=10a+8-b（1≤a≤9，0≤b≤8）
∴B=1000a+100b+10a+8-b=1010a+99b+8
∵B除以19余數(shù)為1，
∴1010a+99b+7能被19整除
∴B-119=53a+5b+3a+4b+719為整數(shù)，
又2m+n=k2（k為整數(shù)）
∴210a+b+10a+8-b=30a+b+8是完全平方數(shù)，
∵1≤a≤9，0≤b≤8
∴30a+b+8最小為49，最大為256
即7≤k≤16
設(shè)3a+4b+7=19t，t為正整數(shù)，
則1≤t≤3
當(dāng)t=1時(shí)，3a+4b=12，則b=3-34a，則30a+b+8=30a+3-34a+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，無整數(shù)解，
當(dāng)t=2時(shí)，3a+4b=31，則b=31-3a4,則30a+b+8=30a+31-3a4+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，無整數(shù)解，
當(dāng)t=3時(shí)，3a+4b=50，則b=50-3a4，則30a+b+8=30a+50-3a4+8是完全平方數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=6,b=8時(shí)，3a+4b+7=3×6+4×8+7=57=19×3，30×6+8+8=196=142，t=3,k=14，
∴m=68,n=60，
∴A=682-60=4564
故答案為：82，4564．
5．（2022·湖南長沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)2200的理解如下：
YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（覺醒年代）：2200的個(gè)位數(shù)字是6；
QGYW（強(qiáng)國有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估計(jì)2200比1060大．
其中對(duì)2200的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是 （填寫網(wǎng)名字母代號(hào)）．
【答案】DDDD
【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將2200化為(2100)2，再與2002比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；根據(jù)2的乘方的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得2200=(210)20,1060=(103)20，即可判斷QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的．
【詳解】2200是200個(gè)2相乘，YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；
2200=(2100)2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32?，
∴2的乘方的個(gè)位數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，
∵200÷4=50，
∴ 2200的個(gè)位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；
∵2200=(210)20,1060=(103)20，210=1024, 103=1000，且210>103
∴2200>1060，故QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的；
故答案為：DDDD．
【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
中考考點(diǎn)
考查頻率
新課標(biāo)要求
列代數(shù)式
★
能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示
代數(shù)式求值
★★
將具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算
整式的加減
★★
1. 了解整數(shù)指數(shù)罪的意義和基本性質(zhì)；
2. 理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則；
3. 能進(jìn)行簡單的整式加減乘除運(yùn)算；
4. 理解乘法公式，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算和推理；
5.靈活運(yùn)用多種方法化簡代數(shù)式.
冪的運(yùn)算
★★
整式的乘除
★★
整式的混合運(yùn)算
★★★
因式分解
★★★
能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超過二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)為正整數(shù)).
【考情分析】本專題包含整式的概念、整式的運(yùn)算及因式分解，是中考的必考內(nèi)容，試題形式多樣，難度不大，乘法公式的靈活運(yùn)用是整式運(yùn)算中的重要內(nèi)容，同時(shí)在整式的化簡求值及因式分解中也都有所體現(xiàn).整式求值計(jì)算中經(jīng)常用到整體代入法，在應(yīng)用的過程中注意觀察已知與所求間的關(guān)系，因式分解一般以填空題的形式出現(xiàn)，注意分解要徹底.
原甲：10
原乙：8
現(xiàn)甲：10-a
現(xiàn)乙：8+a
原甲：m
原乙：2m
現(xiàn)甲1：m-a
現(xiàn)乙1：2m+a
原甲：m黑
原乙：2m白
現(xiàn)甲1：m黑-a黑
現(xiàn)乙1：2m白+a黑
現(xiàn)甲2：m黑-a黑+a混合
現(xiàn)乙2：2m白+a黑-a混合
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
單項(xiàng)式×單項(xiàng)式
例：
系數(shù)相乘，字母相乘
單項(xiàng)式×多項(xiàng)式
例：
利用乘法分配律，化為單項(xiàng)式×單項(xiàng)式
多項(xiàng)式×多項(xiàng)式
例：
1.要按一定順序進(jìn)行,注意做到不重不漏,確定積中每項(xiàng)的符號(hào)時(shí),按“同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)”的法則確定.
2.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,仍得多項(xiàng)式，有同類項(xiàng)時(shí)要合并同類項(xiàng).
單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式
例：
運(yùn)算順序：首先將系數(shù)相除，然后將同底數(shù)冪相除，最后將被除式中單獨(dú)有的字母連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式，系數(shù)相除時(shí)要注意先確定商的符號(hào).
多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式
例：
1.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式所得商的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致,在計(jì)算時(shí)不要漏項(xiàng)；
2.計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào),注意符號(hào)的變化.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
4
15
12
5
24
21
16
6
35
32
27
20
7
48
45
40
33
24
8
63
60
55
48
39
28
9
80
77
72
65
56
45
32
10
99
96
91
84
75
64
51
36
11
120
117
112
105
96
85
72
57
40