(暑期班)2025年高二數(shù)學(xué)暑假講義第09講 直線與圓的位置關(guān)系+課后練習(xí)+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）

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知識(shí)點(diǎn)01：直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的三種位置關(guān)系
2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法
2.1幾何法（優(yōu)先推薦）
2.2代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
①直線與圓相交
②直線與圓相切
③直線與圓相離
【即學(xué)即練1】直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
知識(shí)點(diǎn)02：直線與圓相交
記直線被圓截得的弦長為的常用方法
1、幾何法（優(yōu)先推薦）
①弦心距（圓心到直線的距離）
②弦長公式：
2、代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
弦長公式：
【即學(xué)即練2】已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，則________.
知識(shí)點(diǎn)03：直線與圓相切
1、圓的切線條數(shù)
①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線
②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線
③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線
2、過一點(diǎn)的圓的切線方程（）
①點(diǎn)在圓上
步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則
步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）
②點(diǎn)在圓外
記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出
（注意若此時(shí)求出的只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為）
3、切線長公式
記圓:；過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；
【即學(xué)即練3】由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______.
知識(shí)點(diǎn)四：圓上點(diǎn)到直線的最大（?。┚嚯x
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
【即學(xué)即練4】已知直線上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
題型01判斷直線與圓的位置關(guān)系
【例1】圓上到直線距離為的點(diǎn)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．無數(shù)個(gè)
【例2】（多選）已知直線：與圓：．則下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點(diǎn) B．直線與圓相離
C．圓心到直線距離的最大值是 D．直線被圓截得的弦長最小值為
【變式1】直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
題型02由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【例1】若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知圓：，直線，若直線與圓總有交點(diǎn)，則的取值范圍為______
【變式1】過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為______.
題型03直線與圓相交問題
【例1】已知點(diǎn)，，曲線任意一點(diǎn)滿足．
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
【變式1】若不等式的解集為區(qū)間，且,則（ ）
A．B．C．D．2
【變式2】已知圓，過點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，且，則直線的方程是______.
題型04求切線方程
【例1】過點(diǎn)作圓：的切線，則切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【例2】已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓關(guān)于直線對稱．
(1)求圓的方程；
(2)過點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程．
【變式1】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切
(1)求圓的方程；
(2)若已知點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．
題型05切線長（切點(diǎn)弦）問題
【例1】過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時(shí)，線段的長為（ ）
A．4B．C．D．2
【例2】已知圓，點(diǎn)A是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為__________；直線過定點(diǎn)__________.
【變式1】由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______．
題型06已知切線求參數(shù)
【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)，變化時(shí)，直線的斜率的取值范圍是___________.
【變式1】若直線，與相切，則最大值為（ ）
A．B．C．3D．5
【變式2】已知直線：上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作兩條直線與圓：分別切于點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型07圓的弦長與中點(diǎn)弦問題
【例1】設(shè)直線與圓相交所得弦長為，則______；
【例2】已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為__________.
【變式1】已知圓，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則______．
【變式2】圓經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)求圓在軸截得的弦長．
題型08已知圓的弦長求方程或參數(shù)
【例1】已知圓，過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦的長度為2，則（ ）
A．2B．C．D．3
【例2】已知圓過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
【變式1】若直線截圓所得弦長，則的值為______.
【變式2】已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn)．
(1)求圓的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．
題型09圓內(nèi)接三角形面積
【例1】已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，若是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是___________.
【例2】已知圓．
(1)若一直線被圓所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；
(2)設(shè)不過圓心的直線與圓交于，兩點(diǎn)，把的面積表示為的函數(shù)，并求的最大值．
【變式1】在平面直角坐標(biāo)系上，圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【變式2】已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為___________.
題型10直線與圓中的定點(diǎn)定值問題
【例1】（多選）已知圓，直線：，則（ ）
A．存在，使得與圓相切
B．對任意，與圓相交
C．存在，使得圓截所得弦長為1
D．對任意，存在一條直線被圓截，所得弦長為定值
【例2】直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦長的最小值是___________.
【變式1】直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
【變式2】若直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，且直線不過圓心，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．1D．2
題型11根據(jù)直線與圓位置關(guān)系求距離最值
【例1】已知直線：與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，動(dòng)直線：和：交于點(diǎn)，則的面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1】已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦長的最小值是___________.
【變式3】已知直線與圓有公共點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，則的最小值是__________．
課后鞏固練習(xí)
一、單選題
1．若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知兩點(diǎn)，，是圓上的點(diǎn)，滿足，則這樣的點(diǎn)有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
3．直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
4．已知BC是圓的動(dòng)弦，且 ，則BC的中點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A．B．C．D．
5．直線被圓截的的弦長為（ ）
A．B．C．
6．已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．圓：與直線：交于、，當(dāng)最小時(shí)，的值為（ ）
A．B．2C．D．1
8．已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．已知點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，則_______．
10．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
三、解答題
11．已知圓過三個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的切線，求：
(1)圓的一般方程；
(2)圓過點(diǎn)的切線方程.
12．已知，，，圓經(jīng)過三點(diǎn).
(1)求圓C的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；
(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線l與圓C交于兩點(diǎn)，求弦長的取值范圍.
B能力提升
1．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
2．已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為________．
第09講 直線與圓的位置關(guān)系 隨堂檢測
1.已知圓，直線，則圓與直線（ ）
A．相交B．相切C．相離D．相交且直線過圓C的圓心
2.直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．16B．25C．49D．81
3.過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長最短，則直線的斜率是（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
4.直線與曲線恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．，D．
5.已知圓，直線上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
6.已知直線和圓，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
7.若直線與圓相切，則______.
8.經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為__________．
9.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 、，則直線的方程為_______．
10.過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為__________.
11.已知一圓的圓心為，且該圓被直線截得的弦長為.
(1)求該圓的方程；
(2)求過點(diǎn)的該圓的切線方程.
12.已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的值.
13.已知圓：，直線：.
(1)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；
(2)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解與掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法的代數(shù)法與幾何法。
②會(huì)求與圓有關(guān)的直線方程與圓的方程。
③會(huì)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求坐標(biāo)、長度、面積、周長等。
④會(huì)求待定參數(shù)并能解決與之相關(guān)的綜合問題。
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會(huì)判斷直線與圓的位置關(guān)系，會(huì)求切線方程、弦長及弦所在的直線方程，會(huì)根據(jù)直線與圓的位置求待定參數(shù)及圓的方程，能解決與直線、圓有關(guān)的綜合問題.
直線與圓的位置關(guān)系的圖象
直線與圓的位置關(guān)系
相交
相切
相離
圖象
位置關(guān)系
相交
相切
相離
判定方法
；
。
圓心到直線的距離：。
圓與直線相交。
；
。
圓心到直線的距離：。
圓與直線相切。
；
。
圓心到直線的距離：。
圓與直線相離。