2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)專題03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型解讀與提分精練（全國通用）（原卷版）

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)專題03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型解讀與提分精練（全國通用）（原卷版），共17頁。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc28681" PAGEREF _Tc28681 \h 1
\l "_Tc5673" 模型1.“8”字模型 PAGEREF _Tc5673 \h 1
\l "_Tc3985" 模型2.“A”字模型 PAGEREF _Tc3985 \h 4
\l "_Tc29425" 模型3.三角板拼接模型 PAGEREF _Tc29425 \h 5
\l "_Tc24889" PAGEREF _Tc24889 \h 8
模型1.“8”字模型
“8”字模型通常是由兩條相交直線和它們所夾的兩條線段（或延長線）組成的，形狀類似于數(shù)字“8”。?

圖1 圖2
1）8字模型（基礎(chǔ)型）
條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；
結(jié)論：①；②。
證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；在?ABO中，AB＜AO+BO；在?COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
2）8字模型（加角平分線）
條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；
結(jié)論：2∠P=∠B+∠D
證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 則，即2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重慶·八年級期中）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
例2．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，求的度數(shù)．

例3．（2023·山東德州·八年級校考階段練習(xí)）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．
例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．
(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；
(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．
例5．（2023春·廣東深圳·七年級部?？计谥校┨骄款}
(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個角的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)如圖2，若，的角平分線，交于點，則與，的數(shù)量關(guān)系為______；
(3)如圖3，，分別平分，，當(dāng)時，試求的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；
(4)如圖4，如果，，當(dāng)時，則的度數(shù)為______．
模型2.“A”字模型
如圖，B、C分別是∠DAE兩邊上的點，連結(jié)BC，形狀類似于英文字母A，故我們把它稱為“A”字模型。

條件：如圖，在?ABC中，∠1、∠2分別為∠3、∠4的外角；
結(jié)論：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
證明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在?ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在?ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（2023·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
例2．（23-24七年級下·福建泉州·期末）如圖，在中，，若剪去得到四邊形，則 ．
例3．（23-24七年級下·河北石家莊·期末）如圖1，直線與的邊，分別相交于點，（都不與點重合）.

(1)若，①求的度數(shù)；②如圖2，直線與邊，相交得到和，直接寫出的度數(shù).(2)如圖3，，分別平分和，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖4，在四邊形中，點，分別是線段、線段上的點，，分別平分和，直接寫出與，的關(guān)系.
模型3.三角板拼接模型
由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?br>圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，
當(dāng)題中含三角板時，先根據(jù)度數(shù)或隱含條件判斷三角形的形狀，標(biāo)注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根據(jù)題干解題。一副三角板可以拼接出的角度為三角板所含角度的和差，且均為15°的整數(shù)倍。
常見角度拼接（證明特別簡單，故略過）：

例1．（2023春·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則 ．

例2．（23-24七年級下·四川成都·期末）將一副直角三角板如圖擺放，點A落在邊上，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點E放在上，移動三角板，當(dāng)點E從點A沿向點B移動的過程中，點E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當(dāng)時，；②逐漸變小；③若直線與直線交于點M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個．正確的有 ．（填序號）

例4．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）如圖1，將一副三角板放在直線上，兩個直角頂點重合在一起，交直線于點C，其中，．
(1)如圖2，將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中， 與的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置，此時在的內(nèi)部，與相交于點P，當(dāng) 時，求的度數(shù)；(3)將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時， 的度數(shù)為___________．（直接寫出結(jié)果即可）
1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·廣東江門·八年級校考期中）如下圖，的度數(shù)為（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
5．（2023·廣東清遠·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（ ）
A．90°B．360°C．180°D．無法確定
6．（2024·安徽·八年級校考期中）如圖，若，則 ．

7．（2023·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知， ．
8．（2023·上海七年級課時練習(xí)）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，當(dāng)，且點E在直線的上方時，他發(fā)現(xiàn)若 ，則三角板有一條邊與斜邊平行．
9．（2023·廣東·八年級假期作業(yè)）如圖，若，則 ．
10．（2023·廣東揭陽·八年級?？计谀┨剿鳉w納：
（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2= °．
（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2= °．
（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是 ．
11．（2024·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上一點，連接，將沿翻折，使點落在邊上的點處，則的度數(shù)為 度．
12．（2024·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB、CD相交于點O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數(shù)；
(2) 若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數(shù)．

13．（2023·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期中）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板放置在上（點在內(nèi)），三角板的兩條直角邊、恰好分別經(jīng)過點和點．探究與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系．(1)特殊探究：若，則_____度，_____度，_____度；(2)類比探索：請?zhí)骄颗c的關(guān)系；(3)類比延伸：如圖②，改變直角三角板的位置，使點在外，三角板的兩條直角邊、仍然分別經(jīng)過點和點，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結(jié)論，并說明理由．

14．（2023春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與的角平分線交于點．
(1)若，，求的度數(shù)；(2)直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系；(3)若與的大小發(fā)生變化，（2）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子．

15．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為 度時，；當(dāng)為 度時，．
(2)當(dāng)時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．
16．（2023·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）將三角尺（，）放置在上（點在內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊、恰好經(jīng)過點和點，我們來研究與是否存在某種數(shù)量關(guān)系．(1)特例探究：若，則________度，________度．
(2)類比探究：、、的關(guān)系是 ___________________．
(3)變式探究：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢茫裹c在外，三角尺的兩邊、仍恰好經(jīng)過點和點，探究、、的關(guān)系(只要求直接寫出結(jié)論)：____________________．
17．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖中，△AOB的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．

(1)如圖1，在“對頂三角形”與中，若，則 ；
(2)如圖2，在中，、分別平分和，若，比大，求的度數(shù)．(3)如圖3，、是的角平分線，且和的平分線和相交于點，設(shè)，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．
18．（23-24七年級下·河南南陽·期末）在學(xué)習(xí)完三角形的內(nèi)角、外角相關(guān)知識后，利用三角形的內(nèi)角和同學(xué)們很容易證明三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角的關(guān)系．于是，愛思考的小紅在想，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

①嘗試探究：如圖1，與分別為的兩個外角，試探究與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
解：數(shù)量關(guān)系：．
理由：∵與分別為的兩個外角，
∴．∴．
∵三角形的內(nèi)角和為，∴．
∴．
小紅順利地完成了探究過程，并想考一考同學(xué)們，請同學(xué)們利用上述結(jié)論完成下面的問題．
②初步應(yīng)用：（1）如圖2，在紙片中剪去，得到四邊形，，則 ；
（2）如圖3，在中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關(guān)系？ ；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如圖4，在四邊形中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由）。
19．（2022春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，∠A＝80°，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．
(1)如圖①，若沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．
(2)如圖②，若沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．
(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)
(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．
20．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【問題背景】
（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；
【簡單應(yīng)用】（2）如圖2， AP、CP分別平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；
【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．
【拓展延伸】（4） ①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為： （用α、β表示∠P）； ②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．