2025年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講義專題38 重要的幾何模型之中點(diǎn)模型（一）（原卷版）

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講義專題38 重要的幾何模型之中點(diǎn)模型（一）（原卷版），共15頁(yè)。
模型1：垂直平分線
定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。
如圖，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D為BC中點(diǎn)，則BE=EC。
模型運(yùn)用條件：當(dāng)遇到三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時(shí)，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)。
例1．（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，已知在菱形中，連接對(duì)角線，作邊的垂直平分線，分別交、、于點(diǎn)、、，若，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023上·江西南昌·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，以A，B兩點(diǎn)為圓心的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．8B．C．D．
例3．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于、兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，若，則的面積為（ ）

A．2B．C．D．4
例4．（2023上·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．
例5．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，中，，點(diǎn)D在邊上，連接，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，，若，，則的長(zhǎng)為 ．
例6．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，為鈍角，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E．(1)若，求的大?。?2)若的平分線和邊的垂直平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：．
模型2：等腰三角形的“三線合一”
定理：等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”。
如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，D為BC邊上的中點(diǎn)，則∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。
模型運(yùn)用條件：等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線。
例1．（2023·河南駐馬店·?？既＃┤鐖D，在中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是( )

A．B．C．D．
例2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，中，，平分，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是（ ）

A．B．C．D．7
例3．（2023·廣東梅州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則 ．

例4．（2023上·重慶渝中·八年級(jí)校考期中）如圖，在等腰中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得．，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，若，則 ．
例5．（2023上·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·黑龍江·統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形中，，，作于點(diǎn)E，，連接，，則的長(zhǎng)為（ ）

A．10B．8C．6D．4
模型3：“平行線+中點(diǎn)+對(duì)頂角”構(gòu)造全等或相似模型
我們把這種情況叫做平行線間夾中點(diǎn).處理這種情況的一般方法是：延長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段和平行線相交，即“延長(zhǎng)中線交平行”
如圖，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F。
模型運(yùn)用條件：構(gòu)造8字型全等（平行線夾中點(diǎn)）。
例1．（2023上·天津西青·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊，過邊上一點(diǎn)P作于點(diǎn)E，點(diǎn)Q為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，取，連接，交于M，已知的長(zhǎng)為2，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為 ．
例2．（2023·山東濟(jì)南·校聯(lián)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，∠BAD=110°，則∠FPC的度數(shù)是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
例3．（2023·天津·中考真題）如圖，的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，G為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為 ．
例4．（2023下·重慶黔江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）矩形與矩形，如圖放置，點(diǎn)，，共線，點(diǎn)，，共線，連接，取的中點(diǎn)，連接．若，，則( )
A．B．C．D．
例5．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，在平行四邊形D中，CD＝2AD，BE垂直AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，連接EF，BF，下列結(jié)論（1）；（2）；（3）四邊形DEBC三角形EFB；（4）， 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（ ）
A．個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
例6．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考三模）【感知】如圖①，正方形中，點(diǎn)在邊上，平分．若我們分別延長(zhǎng)與，交于點(diǎn)，則易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在矩形中，點(diǎn)在邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，平分．求證：．【應(yīng)用】在【探究】的條件下，若，，直接寫出的長(zhǎng)．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023上·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，依據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列判斷正確的是( )
結(jié)論Ⅰ：； 結(jié)論Ⅱ：．

A．Ⅰ，Ⅱ都對(duì)B．Ⅰ對(duì)，Ⅱ錯(cuò)C．Ⅰ錯(cuò)，Ⅱ?qū)．Ⅰ，Ⅱ都錯(cuò)
2．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，，過O作交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．D．
3．（2022·安徽·合肥?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且，分別與，交于點(diǎn)，，若，，則等于（ ）

A．B．2C．D．3
4．（2023·重慶九龍坡·?？既＃┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為12，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，，點(diǎn)F為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連接，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．D．5
5．（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，在等腰中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接EF、AF，下列結(jié)論：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，已知于點(diǎn)B，于點(diǎn)A，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是 ．

8．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，的頂點(diǎn)在等邊的邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，為的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為 ．
9．（2023上·山西大同·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，邊的垂直平分線與的平分線交于點(diǎn)．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，．則的長(zhǎng)是 ．
10．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）在中，，，將沿翻折到，的垂直平分線與相交于點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為 ．

11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在中，，D為中點(diǎn)，，，，則

12．（2023·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，，是邊上的高，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為 ．
13．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊CD，AD的中點(diǎn)，CF與EA、EB分別交于點(diǎn)M，N．已知AB＝8，BC＝12，則MN的長(zhǎng)為 ．
14．（2023上·浙江紹興·八年級(jí)校考期中）兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．(1)求的長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．
15．（2023上·浙江麗水·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，以邊為直徑作半圓，分別交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．
16．（2023·江蘇無(wú)錫·?？级＃┤鐖D，中，，點(diǎn)、分別在、邊上，．
(1)求證：；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

17．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┲?，，垂直平分，交線段于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：線段；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)若，，，求線段的長(zhǎng)．
18．（2022上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀締栴}】：如圖1，等腰直角三角形中，，，是的角平分線，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】：小明在思考這道題時(shí)，先通過測(cè)量猜想出，然后他想到了老師講過的“手拉手”模型，便嘗試著過點(diǎn)E作的垂線與相交于點(diǎn)G（如圖2），通過證明，最終探究出，，之間的數(shù)量關(guān)系．（1）請(qǐng)根據(jù)小明的思路，補(bǔ)全的證明過程；
（2）請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；
【應(yīng)用】（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為 ；
【拓展】（4）若的中點(diǎn)為點(diǎn)M，當(dāng)B，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為 ．
19．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）【問題初探】
（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，，垂足為B，且．求證：．

①如圖2，小鵬同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在上截取，連接，將線段與，之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的數(shù)量關(guān)系．
②如圖3，小亮同學(xué)從這個(gè)條件出發(fā)給出另一種解題思路：作的垂直平分線，分別與，交于F，E兩點(diǎn)，連接，將轉(zhuǎn)化為與之間的數(shù)量關(guān)系．
請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．
【類此分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將證明三條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問題，請(qǐng)你解答．
如圖4，在中，，過點(diǎn)A作（點(diǎn)D與點(diǎn)C在同側(cè)），若．求證：．
【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形中，，求四邊形的面積．

20．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形和正三角形中，，是的中點(diǎn)，連接、．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，寫出與的數(shù)量關(guān)系 ．（不必證明）
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段、有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．