山東省濱州市惠民縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（實驗）（含解析）

這是一份山東省濱州市惠民縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（實驗）（含解析），共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題）
1．若，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．πD．
3．已知兩個非零向量滿足，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．已知三點不共線，點在平面外，點滿足，則當點共面時，實數(shù)（ ）
A．B．C．D．
5．隨著春節(jié)申遺成功，世界對中國文化的理解和認同進一步加深，某學(xué)校為了解學(xué)生對春節(jié)習(xí)俗的認知情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行了測試，將他們的成績適當分組后，畫出的頻率分布直方圖如下圖所示，則下列數(shù)據(jù)一定不位于區(qū)間內(nèi)的是（ ）

A．眾數(shù)B．第70百分位數(shù)C．中位數(shù)D．平均數(shù)
6．如圖，已知三棱錐的每條棱的長度都等于1，點，，分別是，，的中點，則（ ）
A．B．C．D．1
7．設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
8．投擲一枚均勻的骰子，事件: 點數(shù)大于 2 ; 事件: 點數(shù)小于4 ; 事件: 點數(shù)為偶數(shù). 則下列關(guān)于事件描述正確的是（ ）
A．與是互斥事件B．與是對立事件
C．與是獨立事件D．與是獨立事件
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，在棱長為的正方體中，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則平面
B．若，則點的軌跡長度為
C．若，則存在，使
D．若，則存在，使平面
10．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．外接圓的面積為
C．面積的最大值為D．周長的最大值為
11．如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．直線與底面所成角的正弦值為
C．若點在底面內(nèi)的射影為的中心，則
D．若三棱錐的體積為2，則三棱柱的體積為6
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知點，點，則點到直線的距離為 ．
13．設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，記為事件A，B的對立事件，且，則=
14．某高一班級有40名學(xué)生，在一次物理考試中統(tǒng)計出平均分數(shù)為70，方差為95，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實得70分卻記為50分，乙實得60分卻記為80分，則更正后的方差是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，已知圓錐的底面半徑，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點Q為半圓弧的中點，點P為母線SA的中點.

(1)求此圓錐的側(cè)面積；
(2)求異面直線PQ與SO所成角的余弦值.
16．如圖，在三棱臺中，平面ABC，，，，，M為的中點．
(1)證明：平面AMC；
(2)求平面和平面AMC夾角的余弦值．
17．在中，.
(1)求角；
(2)若.
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）若，求的面積.
18．某射擊隊舉行一次娛樂活動，該活動分為兩階段，第一階段是選拔階段，甲、乙兩位運動員各射擊100次，所得成績中位數(shù)大的運動員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲規(guī)則如下：
①有4次游戲機會．
②依次參加A，B，C游戲.
③前一個游戲勝利后才可以參加下一個游戲，若輪到C游戲后，無論勝利還是失敗，一直都參加C游戲，直到4次機會全部用完.
④參加游戲，則每次勝利可以獲得獎金50元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎金100元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎金200元．
已知甲參加每一個游戲獲勝的概率都是，乙參加每一個游戲獲勝的概率都是，甲、乙參加每次游戲相互獨立，第一階段甲、乙兩位運動員射擊所得成績的頻率分布直方圖如下：
(1)甲、乙兩位運動員誰參加第二階段游戲?并說明理由．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，解答下列兩問．
（ⅰ）求該運動員能參加游戲的概率．
（ⅱ）記為該運動員最終獲得的獎金額，P為獲得每個獎金額對應(yīng)的概率，請用適當?shù)谋硎痉ū硎娟P(guān)于的函數(shù)．
19．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，O是AD的中點，平面ABCD，，平面平面．
(1)求證：；
(2)如圖，且，求點M到平面PBC的距離；
(3)設(shè)四棱錐的外接球球心為Q，在線段PB上是否存在點E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為?若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】，
所以，所以.
故選C.
2．【答案】B
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，
則，
因，故，
故選B.
3．【答案】C
【詳解】由，則，化簡得，
所以在向量上的投影向量為.
故選C.
4．【答案】A
【詳解】由，可得，
所以，
當點共面時，可得，解得.
故選A.
5．【答案】B
【詳解】對于A，眾數(shù)為；
對于BC，，
設(shè)中位數(shù)、第70百分位數(shù)分別為，
注意到，
設(shè)，
解得；
對于D，設(shè)平均數(shù)為，則.
故選B.
6．【答案】A
【詳解】分別為的中點，則，
由已知三棱錐為正三棱錐，取中點為，連接，
由已知和為正三角形，則，
又，且平面，則平面，又平面
則，即，
則.
故選.
7．【答案】C
【詳解】對于A：如圖，若，但直線平行，故A錯誤；
對于B：如圖，若，但是平面不平行，故B錯誤；
對于C：如圖，若，過直線作兩個平面，可得則，故C正確；
對于D：如圖，若，則，故D錯誤.
故選C.
8．【答案】C
【詳解】依題意事件，事件，事件，
所以與不是互斥事件，顯然不可能是對立事件，故A、B錯誤；
因為，所以，又，，
所以，所以與是獨立事件，故C正確；
因為，所以，又，
所以，所以與不是獨立事件，故D錯誤；
故選C.
9．【答案】ABD
【詳解】
對于A，若，則，則點在線段上，如上圖.
因為平面平面,且平面平面,平面平面,
故因為平面，平面,故平面，同理可證平面，
因為平面，平面,且,故有平面平面，
又因為平面，所以平面，故A正確；
對于B，若，則（為的中點）如上圖.
又因為，所以.故點的軌跡長度為，故B正確；
對于C，若，則，所以
，所以點在線段上（如上圖）.假設(shè)，則，
即，化簡得，
該方程無解，所以不存在，故C錯誤；
對于D，如上圖，設(shè)為的中點，
當時，則，即，
建立如圖所示的空間直角坐標系.
則,
.
所以.
假設(shè)平面，則
即解得.故D正確.
故選.
10．【答案】BCD
【詳解】對于A，因為，
由余弦定理可得，
整理可得，則，
且，所以，故A錯誤；
對于B，由正弦定理可得外接圓的半徑，
所以外接圓的面積為，故B正確；
對于C，由，可得，
且，即，解得，當且僅當時，等號成立，
所以面積的最大值為，故C正確；
對于D，由，可得，即，
且，即，
解得，即，當且僅當時，等號成立，
所以周長的最大值為，故D正確.
故選BCD.
11．【答案】ACD
【詳解】設(shè)，，，由題意可得，，
，
對于A，由圖可得，，
由，則，即，
化簡可得，解得，故A正確；
對于B，由題意取的中點，連接，過作平面，垂足為，連接，如下圖：
由題意可知，則，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，所以，則，
可得，所以為直線與平面的夾角，
由A可得，，
在等邊中，易知，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為，故B錯誤；
對于C，由題意取的中點，連接，過作平面，垂足為，如下圖：
易知點在平面上的射影為點，即點為等邊的中心，
易知，
因為平面，平面，所以，
由B可知，在中，，故C正確；
對于D，由題意作圖如下：
設(shè)點到平面的距離為，的面積為，
則三棱錐的體積，
平行四邊形中，易知的面積，
則三棱錐的體積，
由圖可知三棱柱的體積，故D正確.
故選ACD.
12．【答案】
【詳解】由題意，，
所以點到直線的距離為：.
13．【答案】0.3/
【詳解】由題意得，為互斥事件，
即，
，
又①，②，
式子①②相加得，
故，
所以，則.
14．【答案】85
【詳解】設(shè)更正前甲,乙,丙...的成績依次為，
則，
即，
所以，
，
即，
所以.
更正后的平均分，
更正后的方差
.
15．【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）因為圓錐的底面半徑，
經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊，可得，
所以圓錐的側(cè)面積為.
（2）以為原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

由題意可得，則，，，，，
則，，
所以，，，
所以，
設(shè)異面直線PQ與SO所成角的大小為，，
則，
故異面直線PQ與SO所成角的余弦值為.
16．【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）（1）如圖，連接，由題意知平面，所以，又，，所以，
因為M是的中點，所以．
因為平面ABC，所以，又，，所以平面，所以．
因為，所以平面AMC．
（2）以A為坐標原點，以直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
，，，，，
所以，．
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
由（1）知平面AMC的一個法向量為，
因為，
所以平面和平面AMC夾角的余弦值為．
17．【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【詳解】（1）因為，即，
由正弦定理可得，
，
即，可得，
且，則，可得，
又因為，所以.
（2）（ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*），
整理得：，即，代入（*）可得，
由余弦定理，；
（ⅱ）∵，由（?。┑茫海?br>解得，
∴.
18．【答案】(1)甲，理由見解析；
(2)（?。?；（ⅱ）答案見解析.
【分析】（1）利用頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)的意義判斷甲乙中位數(shù)的大小即得.
（2）（ⅰ）利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算即得；（ⅱ）按游戲使用次數(shù)，求出值及對應(yīng)的概率，再用列表法表示出函數(shù)關(guān)系即可.
【詳解】（1）甲運動員成績位于的頻率為0.3，則其中位數(shù)大于80，
而乙運動員成績位于的頻率為0.6，，則其中位數(shù)小于80，
所以甲運動員參加第二階段游戲.
（2）（?。┤艏啄軈⒓佑螒颍瑒t游戲至多共使用3次機會，
①游戲共使用2次機會，則概率；
②游戲共使用3次機會，則概率，
所以甲能參加游戲的概率為.
（ⅱ）由甲參加每個游戲獲勝的概率都是，得參加完4次游戲后的每個結(jié)果發(fā)生的概率都為，
①游戲使用了4次，則或50；
②游戲使用了3次，則或150；
③游戲使用了2次，游戲使用2次，則或150；
④游戲使用了2次，游戲使用1次，則或350；
⑤游戲使用了1次，游戲使用3次，則或150；
⑥游戲使用了1次，游戲使用2次，則或350；
⑦游戲使用了1次，游戲使用1次，則或350或550，其中有2種情況，
因此，當時，；當時，，當時，；
當時，；當時，，
所以用列表法表示關(guān)于的函數(shù)為：
【關(guān)鍵點撥】利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.
19．【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在點E為PB上靠近點P的三等分點.
【詳解】（1）證明：四邊形ABCD為正方形
又平面PCD，平面PCD
平面PCD
又平面PAB，平面平面
（2）取BC中點N，連接ON，則
平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD
∴以O(shè)為原點，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則
．設(shè)平面PBC的一個法向量為
則，得，取
點M到平面PBC的距離為.
（3）存在點E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為，
，且平面ABCD為正方形，
點Q在平面上的射影是ABCD的中心，可設(shè),
則，解得．
即.
設(shè)，，
設(shè)平面AEC的一個法向量為，則得，
取
設(shè)直線PQ與平面AEC所成的角為
化簡得，即或（舍）．
∴存在點E為PB上靠近點P的三等分點，使得直線PQ與平面AEC所成角的正弦值為．
0
50
150
350
550