福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版），共14頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.
1. 若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，且?br>圖中陰影部分表示的集合為.
故選：C.
2. 若角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)，所以.
故選：B.
3. 已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，
若在上的最大值為，
比如，
但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，
故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上最大值為”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 若，，，則它們大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>故選：D.
5. 若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的過定點(diǎn)（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由題意得且，解得，
故，
令得，則，
所以的過定點(diǎn).
故選：B.
6. 分別以等邊三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，在另外兩個頂點(diǎn)之間畫一段劣弧，由這樣的三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖所示.已知某勒洛三角形的周長是，則該勒洛三角形的面積是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)等邊的邊長為，的長度為，解得，
以為圓心，所得的扇形的面積為，
等邊的面積為，
勒洛三角形的面積為.
故選：A.
7. 若，，則的值為（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
，
則.
故選：A.
8. 若函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 無數(shù)個
【答案】B
【解析】由，
得在區(qū)間上的函數(shù)值都是區(qū)間上相應(yīng)函數(shù)值的一半，，
又時，是增函數(shù)，即，
記，因此時，，
函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，即的正解的個數(shù)，即的正解的個數(shù)，
即函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)，
令，它在上是減函數(shù)，，，，，當(dāng)時，，
作出和在上圖象，如圖，由圖可知：
在時，的圖象與的圖象沒有交點(diǎn)，所以在上，它們只有三個交點(diǎn)，
所以的零點(diǎn)個數(shù)為3.
故選：B．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 將函數(shù)上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，得到函數(shù)
C. 的一個對稱中心是
D. 當(dāng)時，函數(shù)的值域是
【答案】AC
【解析】對于A，的最小正周期為，A正確；
對于B，，B錯誤；
對于C，，是的對稱中心，C正確；
對于D，當(dāng)時，，，D錯誤.
故選：AC.
10. 已知，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于A，因?yàn)椋瑒t，故，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時等號成立，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，
所以，故A正確；
對于B，由，所以當(dāng)且僅當(dāng)，
即時的最小值為8，故B錯誤；
對于C，由題得，
故
，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故C正確；
對于D，因?yàn)椋裕?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時時等號成立，此時有最小值8，即，
即，
又單調(diào)遞增且，所以，故D正確．
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)
B.
C. 若，使得成立，則
D. 函數(shù)（且的與函數(shù)的的所有交點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為20
【答案】BD
【解析】對于A，易知當(dāng)時，，時，
由單調(diào)遞增可得在以及上分別為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯誤；
對于B，易知函數(shù)滿足，
因此可得關(guān)于對稱，，即B正確；
對于C，由，，即，
即在有解，因?yàn)?，所以?br>所以，所以可得，解得，即C錯誤；
對于D，畫出函數(shù)以及的如下圖所示：
易知也關(guān)于對稱，的周期為4，
一個周期與有兩個交點(diǎn)，所以與在共20個交點(diǎn)，
即，故D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】.
13. 函數(shù)（，）在一個周期內(nèi)的如圖所示，則______.
【答案】
【解析】根據(jù)函數(shù)（，）在一個周期內(nèi)圖像，
可得，解得，
再根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，
結(jié)合的范圍，可得，所以，
所以.
14. 若函數(shù)的值域?yàn)?，且，則的最大值為______.
【答案】
【解析】，
因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)值域?yàn)?，故?br>則
，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（2）對任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）證明：取任意，，且，
有，
由，可得，，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增.
（2）由在上單調(diào)遞增，
可得在上，，
依題意得，，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，
即，即時取等號，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16. 已知函數(shù).
（1）若，且，求的值；
（2）若，且，，求的值.
解：（1），
由，得，又，所以，
所以.
（2）由得，所以，
又，所以.
由于，故，，，
所以，，故，
，
所以
，
又因?yàn)椋?
17. 已知函數(shù)是偶函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.
解：（1）由題意得：，即，
所以，
其中
，
所以，解得：.
（2）由（1）得，
所以，
令，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，
故的最小值為，
等價于，解得：；
或，無解.
綜上：.
18. 已知函數(shù)，其中，.
（1）若，且是函數(shù)的一條對稱軸，求的最小值；
（2）若，且存在，，使成立，求的取值范圍；
（3）若，，且不等式對恒成立，求的值.
解：（1）當(dāng)時，，由已知得，
得，由，故當(dāng)時，有最小正值3.
（2）當(dāng)時，，其最大值為，
由已知條件，存在，，令，
則函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個最大值點(diǎn)，
則，即，所以的取值范圍為.
（3）時，問題轉(zhuǎn)化為：不等式對恒成立，
由，則，
當(dāng)或時，即或時，，
當(dāng)時，即時，，
所以當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，
設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且函數(shù)的關(guān)于直線對稱，所以，
所以，解得，
又由，解得，
所以.
19. 雙曲函數(shù)在實(shí)際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù).
（1）證明：；
（2）求證：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)且；
（3）令，對任意，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）證明：右邊
，
左邊.
所以.
（2）證明：當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增.
又，由于，而，所以.
又，所以由零點(diǎn)存在定理得在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，使得.
當(dāng)時，，所以，則在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時，，所以，
則在上無零點(diǎn).
綜上，在上有且僅有一個零點(diǎn)，
所以，且，
則.
由函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，故.
（3）令，
對任意，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
因?yàn)閷τ谌我舛加谐闪ⅲ?br>所以成立.
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，
即對于任意成立，
又需滿足，對于任意成立，則，
由，可得，所以.
式可化為，
即對于任意成立，
即成立，
即對于任意成立，
因?yàn)?，所以對于任意成立?br>即對于任意成立，而，所以，
又，可得，所以的取值范圍為.