2022高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷（理科）（解析版）

這是一份2022高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷（理科）（解析版），共23頁(yè)。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先寫(xiě)出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
2. 已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先算出,再代入計(jì)算,實(shí)部與虛部都為零解方程組即可
【詳解】
由,得,即
故選:
3. 已知向量滿足，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
4. 嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，，得到，
同理，可得，
又因?yàn)椋?br>故，；
以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，得，故C錯(cuò)誤；
，得，故D正確.
故選：D.
5. 設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
6. 執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)框圖循環(huán)計(jì)算即可.
【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，，
，
；
執(zhí)行第二次循環(huán)，，
，
；
執(zhí)行第三次循環(huán)，，
，
，此時(shí)輸出.
故選：B
7. 在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A. 平面平面B. 平面平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】A
【解析】
【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
如圖，以點(diǎn)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，
故選：A.
8. 已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
9. 已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.
【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）
即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為
又
則
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
故選：C
10. 某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A. p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B. 該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C. 該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D. 該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【答案】D
【解析】
【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決
【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，且連勝兩盤的概率為
則
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.
故選：D
11. 雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為，可判斷在雙曲線的右支，設(shè)，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得解；
【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為，
所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，
所以，，，設(shè)，，
由，即，則，，，
在中，
，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
故選：C
12. 已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)椋裕?br>代入得，即，
所以，
.
因?yàn)?，所以，即，所?
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)?，所?
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)___________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可
【詳解】從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為
甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：
14. 過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)___________．
【答案】或或或；
【解析】
【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；
【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為，
若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
故答案為：或或或；
15. 記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因?yàn)?，（，?br>所以最小正周期，因?yàn)椋?br>又，所以，即，
又為的零點(diǎn)，所以，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；
故答案為：
16. 已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得時(shí)，，時(shí)，，再分和兩種情況討論，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖象即可得出答案.
【詳解】解：，
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
則此時(shí)，與前面矛盾，
故不符合題意，
若時(shí)，
則方程的兩個(gè)根為，
即方程的兩個(gè)根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，則，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，
則切線的斜率為，
故切線方程為，
則有，
解得，
則切線的斜率為，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，解得，
又，所以，
綜上所述，的范圍為.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.
三、解答題：共0分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）證明：；
（2）若，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)椋?br>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
18. 如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析
（2）與平面所成的角的正弦值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br>所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
【小問(wèn)2詳解】
連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br>因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，所?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)椋裕?br>所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.
19. 某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得．
（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；
（3）依據(jù)樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．
【小問(wèn)1詳解】
樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值
據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
【小問(wèn)2詳解】
則
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為，
又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．
則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為
20. 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
【小問(wèn)2詳解】
，所以，
①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過(guò)點(diǎn).
②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.
21. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究
【小問(wèn)1詳解】
的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng)
當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn)
又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減
有
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.
（二）選考題，共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．
（1）寫(xiě)出l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式處理即可；
（2）聯(lián)立l與C的方程，采用換元法處理，根據(jù)新設(shè)a的取值范圍求解m的范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閘：，所以，
又因?yàn)?，所以化?jiǎn)為，
整理得l的直角坐標(biāo)方程：
【小問(wèn)2詳解】
聯(lián)立l與C的方程，即將，代入
中，可得，
所以，
化簡(jiǎn)為，
要使l與C有公共點(diǎn)，則有解，
令，則，令，，
對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，
所以，
，
所以
m的取值范圍為.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：
（1）；
（2）；
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用三元均值不等式即可證明；
（2）利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)?，，，則，，，
所以，
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
【小問(wèn)2詳解】
證明：因?yàn)?，，?br>所以，，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
樣本號(hào)ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9