高二數學月考卷（江蘇專用，蘇教版2019選擇性必修第二冊）：2024-2025學年高中下學期第三次月考

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注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡
皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測試范圍：蘇教版 2019 選擇性必修第二冊。
5．難度系數：0.65。
第一部分（選擇題 共 58 分）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要
求的。
1．如果直線 的方向向量是 ，直線 的方向向量是 ，那么（ ）
A． B． 與 相交 C． 與 異面 D．
【答案】D
【詳解】因為 ，
故 ，所以 ，
故選：D
2．若隨機變量 服從兩點分布， ，則 為（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65
【答案】B
【詳解】由隨機變量 服從兩點分布，則 ，
因為 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故選：B.
3．為了了解高中學生每天的課后學習時間和他們的數學成績排名的關系，某實驗小組做了調查，得到一些
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數據如下表，已知學習時間 （單位：小時）與成績名次 （單位：名）滿足線性回歸方程
，則 的值為（ ）
附加： .
學習時間 0.5 1.0 2.0 2.5 4.0
成績排名 20 14 10 8
A．19 B． C．20 D．
【答案】D
【詳解】因為 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以樣本中心點為 ，
代入回歸直線方程得 ，解得 .
故選：D.
4．已知 的展開式中第 5 項與第 8 項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為 的展開式中第 5 項與第 8 項的二項式系數相等，
所以 ，解得： .
所以奇數項的二項式系數和為 .
故選：A.
5．在正四棱錐 中， ， 為 的中點， .若 ，則 （ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【詳解】由于 ，且 是正四棱錐，
故 ，且側面均為等邊三角形，
，故 ，則 ，
故選：C
6．從 4 名男生、3 名女生中選 2 人分別擔任班長和副部長，要求選出的 2 人中至少有一名男生，則不同的
方法數為（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】D
【詳解】由題意從 4 名男生、3 名女生中選 2 人分別擔任班長和副部長的方法數有 ，
從 3 名女生中選 2 人分別擔任班長和副部長的方法數有 ，
所以選出的 2 人中至少有一名男生方法數為 .
故選：D.
7．如圖，已知平行四邊形 ， ， 且 ，沿對角線 將 折起，當二面
角 的余弦值為 時，則 A 與 C 之間距離為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【詳解】已知平行四邊形 ， ， 且 ，
， ，
平面 與平面 所成角的余弦值為 ，
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， ，
，
，
則 ，即 與 之間距離為 ，
故選：C．
8． 世紀以來，人工智能迅猛發(fā)展，在人工智能算法中，精確率 、召回率 、卡帕（ ）系數 是
衡量算法性能的重要指標 在對某型號掃雷機器人的測試中，記 表示事件“選擇的位點實際有雷”， 表
示事件“選擇的位點檢測到有雷”，定義：精確率 ，召回率 ，卡帕系數 ，
其中 ， 則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由已知得： ，
根據 ，
所以有 ，
則上式又可化為：
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，
故選：A.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部
選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9．已知某一批產品的長度測試結果滿足正態(tài)分布 ，則下列說法正確的是（ ）
A． 越大，這一批產品的長度測試結果在 內的概率越大
B．這一批產品的長度測試結果大于 的概率為
C．這一批產品的長度測試結果在 內的概率和在 內的概率相等
D．這一批產品的長度測試結果大于 的概率與小于 的概率相等
【答案】BC
【詳解】根據題意，因為某一批產品的長度測試結果滿足正態(tài)分布 ，
所以這一批產品的長度測試結果的圖象關于直線 對稱，故 BC 正確；
而測試結果大于 的概率等于小于 的概率，故 D 錯誤；
越大，該結果的離散性越大，測試結果在 內的概率越小，故 A 錯誤.
故選：BC.
10．若 ，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】由 ，
得 ，因此 A 正確；
取 ，則 ，即 ，因此 B 不正確；
取 ，則 ，
即 ①，因此 C 正確；
5 / 15
取 ，則 ，即 ②，
① ②得 ，因此 D 不正確；
故選：AC.
11．如圖，菱形 的邊長為 2， ，E 為邊 的中點，將 沿 折起，折疊后點 A 的
對應點為 ，使得平面 平面 ，連接 ，則下列說法正確的是（ ）
A．點 B 到平面 的距離為 B． 與 所成角的余弦值為
C．三棱錐 的外接球的體積為 D．直線 與平面 所成角的正弦值為
【答案】AD
【詳解】由題意易知 ，
因為平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 兩兩垂直，
以 為原點，分別以 所在直線為 軸，建立空間直角坐標系，如圖：
則 ，
取 ，
設平面 的法向量 ，則 ，
令 ，則 ，所以平面 的一個法平面 ，
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點 到平面 的距離 ，故 A 正確；
取 ，設直線 與 所成角大小為 ，
，故 B 錯誤；
設直線 與平面 所成角的大小為 ，
則 ，故 D 正確；
連接 ，取線段 的中點為 ，過 作 平面 ，連接 ，如圖：
易知點 為 的外心，可設點 為三棱錐 的外接球的球心，
由圖易得 ，則球的半徑 ，
所以球的體積 ，故 C 錯誤.故選：AD.
第二部分（非選擇題 共 92 分）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12．某公司收集了某商品銷售收入 （單位：萬元）與相應的廣告支出 （單位：萬元）共 10 組數據
，繪制出散點圖，如圖，并利用線性回歸模型進行擬合．若將圖中 10 個點中去掉
點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法錯誤的是 ．
①決定系數 變小 ②殘差平方和變小
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③相關系數 的值變小 ④自變量 與因變量 相關性變弱
【答案】①③④
【詳解】從圖中可以看出 點較其他點，偏離直線遠，故去掉 點后，回歸效果更好，
故決定系數 會變大，更接近于 1；殘差平方和變??；
相關系數 的絕對值，即 會更接近于 1，由圖可得 與 正相關，故 會更接近于 1，即相關系數 的值
變大，自變量 與因變量 相關性變強，故①，③，④錯誤，②正確．
故答案為：①③④．
13．某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，若在一年內事件 發(fā)生，該公司要賠償 元.設在一年內 發(fā)生的
概率為 ，為使公司收益的期望值等于 的百分之十，公司應要求顧客交保險金為 .
【答案】
【詳解】設保險公司要求顧客交 元保險金，若 表示公司每年的收益額，則 是一個隨機變量，
的取值范圍為 ， ，
則 的分布列為
因此，公司每年收益的期望值 ，
為使公司收益的期望值等于 的百分之十，所以 ，解得 .
故答案為： .
14．某環(huán)保局派遣包括張三，李四，王五在內的 12 名工作人員到 A，B，C 三個鎮(zhèn)開展環(huán)境保護的宣傳工作，
每個鎮(zhèn)至少派遣 3 人，因工作需要，張三，李四，王五 3 人要派遣到同一個鎮(zhèn)，則不同的派遣方案共有
種．（結果用數字表示）
【答案】
【詳解】先分類討論人員分組情況：
當張三?李四?王五所在組恰有 3 人時，余下 9 人分成 2 組，有 210 種方法；
當張三?李四?王五所在組恰有 4 人時，先從其他 9 人中選 1 人到這組，再將余下 8 人分成 2 組，有
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種方法；
當張三?李四?王五所在組恰有 5 人時，先從其他 9 人中選 2 人到這組，余下 7 人分成 2 組，有
種方法；
當張三?李四?王五所在組恰有 6 人時，先從其他 9 人中選 3 人到這組，余下 6 人分成 2 組，有
種方法．
再將三組人員分配到三個鎮(zhèn)：
因為這三組分配到三個地區(qū)有 種方法，所以安排方法總數為 ．
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13 分）（1）求滿足不等式 的正整數 的集合；
（2）用 0，1，2，3，4，5 這六個數字組成滿足下列條件的四位數．
（i）能被 5 整除的無重復數字的四位數有多少個？
（ii）恰有三個重復數字的四位數有多少個.
【詳解】（1）原不等式可化為： ， 2 分
即 ，
即 ，解得 ， 分
又因為 且 ，所以 ，
則不等式的解集為 ． 分
（2）（i） 個位為 0 時，能被 5 整除的無重復數字的四位數有 個，
當個位為 5 時，能被 5 整除的無重復數字的四位數有 個，
綜上，能被 5 整除的無重復數字的四位數有 個； 9 分
（ii）重復數字為 0 時，滿足條件的四位數有 個，
重復數字不為 0，但數中有 0 時，滿足條件的四位數有 個，
重復數字不為 0，數中也無 0 時，滿足條件的四位數有 個，
9 / 15
綜上，恰有三個重復數字的四位數共有 個. 13 分
16．（15 分）推進垃圾分類處理，是落實綠色發(fā)展理念的必然選擇.為加強社區(qū)居民的垃圾分類意識，某社
區(qū)在健身廣場舉辦了“垃圾分類，從我做起”生活垃圾分類大型宣傳活動，號召社區(qū)居民用實際行動為建
設綠色家園貢獻一份力量，為此需要征集一部分垃圾分類志愿者.
(1)為調查社區(qū)居民喜歡擔任垃圾分類志愿者是否與性別有關，現隨機選取了一部分社區(qū)居民進行調查，
其中被調查的男性居民 30 人，女性居民 20 人，男性居民中不喜歡擔任垃圾分類志愿者占男性居民的 ，
女性居民中不喜歡擔任垃圾分類志愿者占女性居民的 .根據所給數據，得到成對樣本數據的分類統(tǒng)計結
果，完成下面 列聯表，并依據小概率值 的獨立性檢驗，能否認為居民喜歡擔任垃圾分類志
愿者與性別有關？
性別
合計
男性 女性
喜歡擔任
不喜歡擔任
合計
附： ，
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)若某垃圾站的日垃圾分揀量 y（千克）與垃圾分類志愿者人數 x（人）之間具有較強的線性相關性，求
回歸直線方程 ，并預測志愿者人數為 10 人時，該垃圾站的日垃圾分揀量.
數據統(tǒng)計如表：
志愿者人數 x（人） 2 3 4 5 6
日垃圾分揀量 y（千克） 24 29 41 46 60
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參考數據 ，附： ，
【詳解】（1）零假設 ：居民喜歡擔任垃圾分類志愿者與性別無關根據題意，列出的 2×2 列聯表如下：
性別
合計
男性 女性
喜歡擔任 10 15 25
不喜歡擔任 20 5 25
合計 30 20 50
3 分
則 ， 分
依據小概率值 的獨立性檢驗， 不成立，
因此認為居民喜歡擔任垃圾分類志愿者與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不超過 0.005. 7 分
（2）由表中數據可知， ， ，
，
又 ， 分
則 ， ，
∴回歸直線方程為 . 分
當 時， ，
所以當志愿者為 10 人時，垃圾分揀量大約為 93.4 千克. 15 分
17．（15 分）圖像識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人工智能興趣小組研發(fā)了一套根據人臉
照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了 500 張不同的人臉照片作為測試樣本，
獲得數據如下表（單位：張）：
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可以識別
識別結果真實性別 無法識別
男 女
男 180 15 5
女 20 275 5
該程序對每張照片的識別都是獨立的.
(1)現從這 500 張人臉照片中隨機抽取，
①若抽取一張，求識別結果正確的概率；
②若抽取一張男性照片和一張女性照片，求至少有一張照片無法被成功識別（含無法識別或識別錯誤）
的概率；
(2)為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：
方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；
方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；
方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性或女性概率均為 50%）.
現從若干張不同人臉照片（其中男性、女性照片數量之比為 中隨機抽取一張，分別用方案一、方案
二、方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為 ， ， ，試比較 ， ， 的大小.（假
設用頻率估計概率，結論不要求證明）
【詳解】（1）①若 表示抽到男性， 表示抽到女性， 表示識別為男性， 表示識別為女性，
由題設 ， ，所以 ， ， 2 分
又 ， ，所以 ， ， 5 分
所以抽取一張，求識別結果正確的概率 ； 7 分
②由 ， ，所以 ， ， 9 分
所以抽取一張男性照片和一張女性照片，至少有一張照片無法被成功識別的概率為
. 11 分
（2）程序將男生識別正確的頻率為 ，識別為女生的頻率為 ，無法識別的頻率為 ，
程序將女生識別正確的頻率為 ，識別為男生的頻率為 ，無法識別的頻率為 ，
12 / 15
由頻率估計概率得
，
，
， 14 分
所以 . 分
18．（17 分）如圖，直三棱柱 中， ， ， .
(1)當 時，證明：平面 平面 ；
(2)當 ，記平面 與平面 ，平面 ，平面 ，平面 所成的角分別為 ，
， ， ， ，求 的取值范圍.
【詳解】（1）設 ，
∵ 為直三棱柱，且 ，
當 時，此時 P 為 的中點，
∴在 中， ， ，則 ， 2 分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又∵ ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ， 分
∵ ， 平面 ，
∴ 平面 .∵ 平面 ，
∴平面 平面 . 分
（2）由（1）知 ， ， 兩兩垂直，以 A 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 ， ， ， ， ，
. 8 分
13 / 15
設平面 的法向量 ，
則
令 ，則 ， 11 分
同理，平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
∴ ，
同理 ， ， ， 14 分
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的取值范圍為 . 分
19．（17 分）某地舉行中學生科技知識挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽分預賽和決賽兩個階段，預賽為闖關比賽．規(guī)定：三
人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次，如果一個人闖關失敗，再派下一個人重新闖關；三人
中只要有人闖關成功即視作預賽階段比賽勝利，無需繼續(xù)闖關，進入決賽．決賽設置了 3 個問題，每完
整答對 1 個問題，該隊決賽成績記 3 分，否則記 0 分，未進入決賽的參賽隊決賽成績記 0 分．已知華夏
隊的甲，乙，丙三名選手在預賽闖關階段以及決賽階段每次完整答對 1 個問題的概率均為 p，q，r
，每次回答是獨立的，Y 表示華夏隊的決賽總成績．
(1)若 ， ， ，依次派甲，乙，丙進行闖關，求該小組進入決賽的概率；
14 / 15
(2)預賽階段，若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出；
(3)決賽階段，若只能選出一人參加比賽，當 最大時，決賽階段應由哪個選手參加？
【詳解】（1）依次派甲乙丙進行闖關時，設事件 A 表示“該小組進入決賽”，
則 ，
則該小組進入決賽的概率為 . 3 分
（2）若依次派甲乙丙進行闖關，設派出人員的數目為 X，期望為 ，依次派丙乙甲進行闖關，設派出人
員數目的期望為 ，
X 1 2 3
P p
5 分
所以， ，
同理， ，
則 ， 分
因為 ，所以 ，即 ，
所以要使派出人員數目的期望較小，先派出甲． 10 分
（3）若甲，乙，丙三人分別參加決賽，決賽階段答對的題目個數分別為 ， ， ，得分分別為 ，
， ，
則 ， ， ， 13 分
所以 ， ，
同理 ， ， 15 分
因為 ，所以 ，
所以決賽階段應由乙選手參加． 分
15 / 15