滬教版高中數(shù)學(xué)必修二第9章 復(fù)數(shù)章節(jié)測(cè)試2（60分鐘）（原卷版+解析版）

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1、若z＝eq \f(i2 023,1－i)，則| z＋eq \x\t(z)＝____________
【答案】1
【解析】z＝eq \f(i2 023,1－i)＝eq \f(－i,1－i)＝eq \f(1－i,2)，z＋eq \x\t(z)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i＝1.
2、已知eq \f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x＋yi的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】2－i
【解析】 由eq \f(x,1＋i)＝1－yi，得eq \f(x(1－i),(1＋i)(1－i))＝1－yi，即eq \f(x,2)－eq \f(x,2)i＝1－yi，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y(tǒng)，))
解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共軛復(fù)數(shù)為2－i.
3、已知z＝1－3i，則|eq \x\t(z)－i|＝________.
【答案】eq \r(5)
【解析】∵z＝1－3i，∴eq \x\t(z)＝1＋3i，
∴eq \x\t(z)－i＝1＋3i－i＝1＋2i，
∴|eq \x\t(z)－i|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
4、已知z＝2－i，則z(eq \x\t(z)＋i)等于
【答案】6＋2i；
【解析】因?yàn)閦＝2－i，所以z(eq \x\t(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
5、若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq \x\t(z)且滿足eq \x\t(z)·(1＋2i)＝1－i，則復(fù)數(shù)z的虛部為
【答案】eq \f(3,5)；
【解析】eq \x\t(z)·(1＋2i)＝1－i，
∴eq \x\t(z)＝eq \f(1－i,1＋2i)＝eq \f((1－i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq \f(－1－3i,5)＝－eq \f(1,5)－eq \f(3,5)i，∴z＝－eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i，∴復(fù)數(shù)z的虛部為eq \f(3,5).
6、若z＝(a－eq \r(2))＋ai為純虛數(shù)，其中a∈R，則eq \f(a＋i7,1＋ai)＝________.
【答案】－i
【解析】∵z為純虛數(shù)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq \r(2)，
∴eq \f(a＋i7,1＋ai)＝eq \f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq \f(?\r(2)－i??1－\r(2)i?,?1＋\r(2)i??1－\r(2)i?)＝eq \f(－3i,3)＝－i.
7、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一個(gè)根，則a＝________.
【答案】13
【解析】設(shè)方程的另外一根為x，則x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
8、若復(fù)數(shù)z＝i＋i2 022，則eq \(z,\s\up6(－))＋eq \f(10,z)的模等于________.
【答案】6eq \r(2)
【解析】z＝i＋i2 022＝i－1，eq \(z,\s\up6(－))＋eq \f(10,z)＝1＋i＋eq \f(10,1－i)＝6＋6i，其模為6eq \r(2).
9、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i.那么向量eq \(BA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________.
【答案】5－5i
【解析】∵向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，
∴eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(5，－5)，其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.
10、設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的序號(hào)是
①|(zhì)z|2＝z·eq \(z,\s\up6(－))
②z2＝|z|2
③若|z|＝1，則|z＋i|的最大值為2
④若|z－1|＝1，則0≤|z|≤2
【答案】①③④；
【解析】對(duì)于①，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，
∴|z|2＝a2＋b2，而z·eq \(z,\s\up6(－))＝a2＋b2，所以|z|2＝z·eq \(z,\s\up6(－))成立；
對(duì)于②，z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)ab均不為0時(shí)，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
對(duì)于③，|z|＝1可以看成以O(shè)(0，0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)P，|z＋i|可以看成點(diǎn)P到Q(0，－1)的距離，所以當(dāng)P(0，1)時(shí)，可取|z＋i|的最大值2；
對(duì)于④，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)N，則|z|表示點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離，故O，N重合時(shí)，|z|＝0最小，當(dāng)O，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2；故填①③④
二、選擇題（共4小題 每小題4分，滿分16分）
11、復(fù)數(shù)eq \f(2－i,1－3i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f((2－i)(1＋3i),10)＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1＋i,2)，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，
該點(diǎn)在第一象限．
12、已知i是虛數(shù)單位，則“a＝i”是“a2＝－1”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】i是虛數(shù)單位，則i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分條件；
由a2＝－1，得a＝±i，
故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要條件；
故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要條件．
13、設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝3－i，則z1z2等于( )
A．－10 B．10
C．－8 D．8
【答案】A
【解析】∵z1＝3－i，z1，z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，
∴z2＝－3－i，
∴z1z2＝－9－1＝－10.
14、已知復(fù)數(shù)z滿足|z－1－i|≤1，則|z|的最小值為( )
A．1 B．eq \r(2)－1
C．eq \r(2) D．eq \r(2)＋1
【答案】B
【解析】令z＝x＋yi(x，y∈R)，
則由題意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，
∴|z|的最小值即為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離，
∴|z|的最小值為eq \r(2)－1.
三、解答題（共4小題，滿分44分）
15、（本題8分）
已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝3＋i.
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)z＋ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）∵(1＋i)z＝3＋i，∴z＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(?3＋i??1－i?,?1＋i??1－i?)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i.
（2）由(1)得z＝2－i，則z＋ai＝2＋(a－1)i，
因?yàn)閺?fù)數(shù)z＋ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以a－1