廣東省惠州市光正實驗學(xué)校2025屆高三（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

這是一份廣東省惠州市光正實驗學(xué)校2025屆高三（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案），共9頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.下列不等式中成立的是( )
A. 若a>b>0，則ac2>bc2B. 若a>b>0，則a2>b2
C. 若aa>bD. b>a>c
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.關(guān)于函數(shù)y=x?1x的說法正確的是( )
A. 定義域為x∈R|x≠0B. 值域為R
C. 在定義域上為增函數(shù)D. 奇函數(shù)
10.下列說法正確的是( )
A. 實數(shù)x，y滿足：x+y+y?1i=2x+3y+2y+1i，則x=4且y=?2
B. 復(fù)平面內(nèi)z=m2?8m+15+m2?5m?14im∈R的對應(yīng)點位于直線y=x上，則m=293
C. 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+4x+5=0的解是x=?2+i
D. 在復(fù)平面內(nèi)指出與復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2= 2+ 3i，z3= 3? 2i，z4=?2+i對應(yīng)的點Z1，Z2，Z3，Z4，則這4個點在同一個圓上
11.當(dāng)實數(shù)m變化時，關(guān)于x的方程m?1x2+3?my2=m?13?m表示的曲線的形狀可能是( )
A. 一條直線B. 圓C. 雙曲線D. 拋物線
三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。
12.已知sin7π2+α=35，那么csα= ．
13.袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g，規(guī)定誤差的絕對值不超過4g就認(rèn)為合格．假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4.由此可估計這批袋裝食鹽的合格率為 .【參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤x≤μ+σ=0.6827；Pμ?2σ≤x≤μ+2σ=0.9545；Pμ?3σ≤x≤μ+3σ=0.9973】
四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
14.(本小題12分)
任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)m=6，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1(簡稱為8步“雹程”).現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列an滿足：a1=m(m為正整數(shù))，an+1=an2,當(dāng)an為偶數(shù)時3an+1,當(dāng)an為奇數(shù)時．
(1)當(dāng)m=17時，試確定使得an=1需要多少步雹程；
(2)若a8=1，求m所有可能的取值集合M．
15.(本小題12分)
已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1n∈N?．
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)若bn=3n?1，令cn=anbn，求數(shù)列cn的前n項和Tn．
16.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
(1)求證：PA//平面EDB；
(2)求證：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小．
17.(本小題12分)
有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%．
(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，計算它是第i(i=1，2，3)臺車床加工的概率．
18.(本小題12分)
已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(?c,0)，右頂點為A，點E的坐標(biāo)為(0,c)，△EFA的面積為b22．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)點Q在線段AE上，F(xiàn)Q=32c，延長線段FQ與橢圓交于點P，點M，N在x軸上，PM//QN，且直線PM與直線QN間的距離為c，四邊形PQNM的面積為3c．
(i)求直線FP的斜率；
(ii)求橢圓的方程．
19.(本小題12分)
已知函數(shù)fx=ae2x+a?2ex?x．
(1)當(dāng)a=2時，求f(x)在x=0處的切線方程；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
(3)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．
參考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8.B
9.ABD
10.ABD
11.ABC
12.?35/?0.6
%/0.9545
14.當(dāng)m=17時，即根據(jù)上述運算法得出：
17→52→26→13→40→20→10
→5→16→8→4→2→1
故當(dāng)m=17時，使得an=1需要12步雹程；
(2)若a8=1，根據(jù)上述運算法進(jìn)行逆推，
a7=2,a6=4,a5=8或a5=1；
若a5=8，則a4=16,a3=32或a3=5；
當(dāng)a3=32時，a2=64,a1=128或a1=21；
若a3=5時，a2=10,a1=20或a1=3；
當(dāng)a5=1，則a4=2,a3=4,a2=8或a2=1；
當(dāng)a2=8時，a1=16；
當(dāng)a2=1時，a1=2，
故a8=1,m所有可能的取值集合M=2,3,16,20,21,128．

15.(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，
由a2n=2an+1，可得a1+2n?1d=2a1+2n?1d+1，可得a1?d+1=0①，
由S4=4S2可得4a1+3×4d2=42a1+2×12d，整理可得2a1=d②，
聯(lián)立①②可得a1=1，d=2，所以，an=a1+n?1d=1+2n?1=2n?1．
(2)因為bn=3n?1，則cn=anbn=2n?1?3n?1，
所以，Tn=1?30+3?31+5?32+?+2n?1?3n?1，
3Tn=1?31+3?32+?+2n?3?3n?1+2n?1?3n，
上式?下式得?2Tn=1+2×31+32+?+3n?1?2n?1?3n
=1+61?3n?11?3?2n?1?3n=?2+2?2n?3n，
因此，Tn=n?1?3n+1．

16.(1)在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD,DC?底面ABCD，
則PD⊥AD,PD⊥DC，由底面ABCD是正方形，得AD⊥DC，
以D為原點，直線DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DC=2，則A2,0,0,B2,2,0,P0,0,2,E0,1,1，
PA=2,0,?2,DB=2,2,0,DE=0,1,1，設(shè)平面EDB的法向量為m=x1,y1,z1，
則DB?m=2x1+2y1=0DE?m=y1+z1=0，令y1=?1，得m=1,?1,1，則PA?m=2?2=0，
而PA?平面EDB，所以PA//平面EDB．
(2)由(1)知，PB=2,2,?2，由PB?DE=0+2?2=0，得PB⊥ED，
又EF⊥PB，且EF∩DE=E,EF,ED?平面EFD，
所以PB⊥平面EFD．
(3)由(1)知，C0,2,0，且CB=2,0,0,PC=0,2,?2，
設(shè)平面CPB的法向量為n=x2,y2,z2，則CB?n=2x2=0PC?n=2y2?2z2=0，取y2=1，得n=0,1,1，
DB=(2,2,0),DP=(0,0,2)，而CA=2,?2,0，則DB?CA=2×2?2×2=0,DP?CA=0，
即DB⊥CA,DP⊥CA，則PBD的一個法向量為CA=2,?2,0，
因此cs?n,CA?=n?CA|n||CA|=?2 2?2 2=?12，而0≤?n,CA?≤π，則?n,CA?=2π3，
所以平面CPB與平面PBD的夾角為π3．

17.設(shè)B=“任取一個零件為次品”，Ai=“零件為第i臺車床加工”(i=1，2，3)，則Ω=A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．根據(jù)題意得
P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，
P(B|A1)=0.06，P(B|A2)=P(B|A3)=0.05．
(1)由全概率公式，得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05
=0.0525．
(2)“如果取到的零件是次品，計算它是第i(i=1，2，3)臺車床加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率．
P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)P(B)
=0.25×．
類似地，可得
P(A2|B)=27，P(A3|B)=37．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查條件概率，解題關(guān)鍵是引入字母表示事件，B=“任取一個零件為次品”，Ai=“零件為第i臺車床加工”(i=1，2，3)，把所求概率事件用B,Ai表示后根據(jù)條件概率公式計算．

18.(Ⅰ)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得12c+ac=b22.又由b2=a2?c2，可得2c2+ac?a2=0，即2e2+e?1=0.又因為00，得c=2．
所以，橢圓的方程為x216+y212=1．

19.(1)當(dāng)a=2時，函數(shù)fx=2e2x?x，f0=2，
則f′x=4e2x?1，則f′0=4?1=3，
所以f(x)在x=0處的切線方程為y=3x+2．
(2)由題意知，f(x)的定義域為R，
f′x=2ae2x+a?2ex?1=2ex+1aex?1，顯然2ex+1>0恒成立，
①若a≤0，則f′x0，令f′x=0，解得x=?lna．
當(dāng)x∈?∞,?lna時，f′x0；
所以fx在?∞,?lna上單調(diào)遞減，在?lna,+∞上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤0時，fx在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a>0時，fx在?∞,?lna上單調(diào)遞減，在?lna,+∞上單調(diào)遞增．
(3)若a≤0，由(2)知，fx至多有一個零點；
若a>0，由(2)知，當(dāng)x=?lna時，fx取得最小值為f?lna=1?1a+lna．
設(shè)gx=1?1x+lnx，則g′x=1x2+1x=x+1x2>0，
故gx=1?1x+lnx在0,+∞上單調(diào)遞增，又g1=0．
(i)當(dāng)a∈1,+∞時，f?lna=1?1a+lna≥0，故此時fx沒有兩個零點；
(ii)當(dāng)a∈0,1時，f?lna=1?1a+lna?2e?2+2>0，
故fx在?∞,?lna上有一個零點；
當(dāng)x>ln3a，由ex>eln3a可得ex>3a即aex>3，得aex?3>0，則aex+a?3>0，
故exaex+a?3>0，即ae2x+aex?3ex>0，又易知ex>x,
則ae2x+aex?3ex+ex?x>0，即ae2x+a?2ex?x>0,
因此fx在?lna,+∞上也有一個零點．
綜上，若fx有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍為0,1．