湖南省岳陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

這是一份湖南省岳陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析，共19頁(yè)。試卷主要包含了考生必須保證答題卡的整潔， 設(shè)，，，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
本試卷共4頁(yè)，19道題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)和姓名填寫在答題卡指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)
3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效
4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】先求解出集合，然后求解出的子集個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，
所以，
所以的子集個(gè)數(shù)為8.
故選：C.
2. 設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，
因?yàn)?，，所以，得到?br>又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故選：D.
3. 已知平面向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量的定義求解即可.
【詳解】向量，
則向量在向量上的投影向量是
.
故選：A.
4. 已知，均為銳角，，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到，，構(gòu)角，利用余弦的和角公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋鶠殇J角，即，所以，，
又，，
所以，，
所以
，
故選：B.
5. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量為，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得是直角三角形，進(jìn)而可得，再根據(jù)橢圓定義建立等式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，即直角三角形?br>因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以，即，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
故選：A
6. 將甲、乙等6人安排到三個(gè)景點(diǎn)做環(huán)保宣傳工作，每個(gè)景點(diǎn)安排2人，其中甲、乙不能安排去同一個(gè)景點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)有（ ）
A. 84B. 90C. 72D. 78
【答案】C
【解析】
【分析】先選出兩人分別與甲，乙組隊(duì)，再進(jìn)行全排列，得到答案.
【詳解】除甲和乙外，從剩余的4人中選兩人，分別與甲和乙組隊(duì)，有種情況，
再將分好的3組和3個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行全排列，共有種情況，
故不同的安排方法數(shù)有.
故選：C
7. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判斷與，與的大小，然后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究得出與的大小，選出答案.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
故，故，所以，
所以，即；
因?yàn)?，所以，即?br>構(gòu)造函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，，若函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，得到或，當(dāng)，，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到的單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合，得到當(dāng)時(shí)，有四個(gè)根，從而有當(dāng)，有四個(gè)零點(diǎn)，由和，直接求出零點(diǎn)，即可求出結(jié)果.
【詳解】令，得到，解得或，
又時(shí)，，，由得到，由，得到，
即當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，，時(shí)，，其圖象如圖，
所以，當(dāng)時(shí)，或均有2個(gè)根，
有四個(gè)根，即時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn)，
又函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)，有四個(gè)零點(diǎn)，
由，得到或，
即或，
由，得到或，
即或，
又，，所以從右向左的個(gè)零點(diǎn)為，，， ，
所以，得到，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是明確分段函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合以及三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)，我國(guó)2018-2023年的出生人口數(shù)（單位：萬(wàn)人）分別為：1523，1465，1202，1062，956，902，將年份減去2017記為x，出生人口數(shù)記為y，得到以下數(shù)據(jù)：
已知，由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（ ）
A.
B. 這6年出生人口數(shù)下四分位數(shù)為1465
C. 樣本相關(guān)系數(shù)
D. 樣本點(diǎn)的殘差為55
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)A，回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)；對(duì)B，注意百分位數(shù)的計(jì)算方法；對(duì)C，相關(guān)系數(shù)與回歸直線的斜率正負(fù)相同；對(duì)D，殘差為觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值.
詳解】對(duì)A，，所以，A正確；
對(duì)B，，所以下四分位數(shù)是把數(shù)據(jù)從小到大排列的第二個(gè)數(shù)956，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，相關(guān)系數(shù)和的正負(fù)相同，C正確；
對(duì)D，時(shí)，，對(duì)應(yīng)殘差為，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，E，F(xiàn)，G分別為AD、AB、BC的中點(diǎn)，將沿著對(duì)角線AC折起至，連結(jié)，得到三棱錐.設(shè)二面角的大小為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 當(dāng)平面截三棱錐的截面為正方形時(shí)，
C. 三棱錐的體積最大值為1
D. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A，利用線面垂直證線線垂直；對(duì)B，計(jì)算出的長(zhǎng)度即可；對(duì)C，當(dāng)為直角時(shí)體積最大；對(duì)D，先找到球心的位置，再進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】對(duì)A，取AC中點(diǎn)H，則由，，
所以AC⊥，，
平面，，
所以AC⊥面，又平面，
所以AC⊥，A正確；
對(duì)B，取的中點(diǎn)I，易知EFGI為平行四邊形(如下圖)，
則截面為正方形時(shí)，EF=FG=1，由中位線，=2，又BH==，
所以∠不可能為，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，當(dāng)面ABC時(shí)體積最大，最大為，C正確；
對(duì)D，過(guò)和的外心作所在面的垂線，則交點(diǎn)O即為外心，
又，所以，所以，D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有成立，，，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B.
C. D. 4為的一個(gè)周期
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于前三個(gè)選項(xiàng)可以運(yùn)用賦值法可解，對(duì)于D，先考慮周期性，再賦值即可解決.
【詳解】對(duì)于A，令，代入計(jì)算得，，即2．
則.令，代入計(jì)算得，，則，故為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，代入計(jì)算得，，即，則，故B正確；
對(duì)于C，令為，令，則，
變形即，故C正確；
對(duì)于D， 令為，，代入計(jì)算得，即，
則.令為代入得到，
則周期為4.
由C得，，
且，運(yùn)用周期為4，
則，
則，故4為的一個(gè)周期，故D正確．
綜上所得，正確答案為： BCD.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先計(jì)算得到周期為4，再轉(zhuǎn)化得.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為，
故答案為：.
13. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若且，則面積的最大值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理、內(nèi)角和定理、兩角和正弦公式、特殊角的三角函數(shù)化簡(jiǎn)等式解出角，利用余弦定理、基本不等式和三角形面積公式解出最大值；
【詳解】，
所以，
余弦定理可知
，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
即，
則面積為
則面積的最大值為.
故答案為：.
14. 拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，拋物線在A、B處的切線交于點(diǎn)，則的最小值為__________.
【答案】9
【解析】
【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在A、B處的切線方程，聯(lián)立后求出的坐標(biāo)，從而得到，從而表達(dá)出，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最值.
【詳解】由題意得，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不滿足與拋物線交于兩個(gè)點(diǎn)，
設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，
設(shè)，，
則，
故，，
故，
，，故過(guò)的切線方程為，
同理可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立與得
，
故
，
故，
，則，
故，
其中，由在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
最小值為.
故答案為：9
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 如圖，在圓錐中，為圓的直徑，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，；
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，再根據(jù)條件得到，利用線面垂直的判定定理得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及，再利用線面角的向量法，即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槊鎴A，又面圓，所以，
又為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，得到，
又，所以,
又，面，所以面，
又面，所以平面平面.
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，如圖，以所以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，
所以，
又因?yàn)?，，所以?br>則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，
取，得到，，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
所以.
16. 某企業(yè)使用新技術(shù)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品在出廠前要經(jīng)歷生產(chǎn)和檢測(cè)兩道工序，生產(chǎn)工序的次品率為.檢測(cè)工序包括智能自動(dòng)檢測(cè)和人工抽查檢測(cè)，智能自動(dòng)檢測(cè)為合格品則進(jìn)入流水線并由人工抽查檢測(cè).
（1）從經(jīng)過(guò)生產(chǎn)工序但未經(jīng)檢測(cè)工序的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè)，求這件產(chǎn)品中的次品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）若智能自動(dòng)檢測(cè)的準(zhǔn)確率為，求一件產(chǎn)品進(jìn)入人工抽查檢測(cè)環(huán)節(jié)的概率.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件知，利用二項(xiàng)分布列及期望公式，即可求出結(jié)果；
（2）記事件：生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品，事件：智能自動(dòng)檢測(cè)為合格品，
則，，，，再利用全概率公式，即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由題知，，
所以的分布列為，
.
【小問(wèn)2詳解】
記事件：生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品，事件：智能自動(dòng)檢測(cè)為合格品，
則，，，，
所以一件產(chǎn)品進(jìn)入人工抽查檢測(cè)環(huán)節(jié)的概率為.
17. 已知函數(shù)，其中.
（1）若，求在處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè).求證：存在極小值點(diǎn).
【答案】（1） （2）證明見詳解.
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出函數(shù)在處的切線方程.
（2）求得導(dǎo)數(shù)，得到，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)椋耘c同號(hào)，構(gòu)造函數(shù)，求得，利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)存在，使得，進(jìn)而得到在上的單調(diào)性，即可作出證明.
【小問(wèn)1詳解】
依題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以在處的切線方程為，
即.
小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，
令，
則，
所以對(duì)任意，有，故在單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br>所以，，
所以存在，使得.
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以和在區(qū)間上的情況如下表：
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以存極小值點(diǎn).
18. 定義：對(duì)于一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意大于的正整數(shù)，都有.則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，記作.根據(jù)上述定義，完成以下問(wèn)題：
（1）若，，判斷數(shù)列和是否存在極限；如果存在，請(qǐng)寫出它的極限（不需要證明）；
（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②若.證明：
【答案】（1）數(shù)列存在極限，極限為；數(shù)列不存在極限
（2）①；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義，即可判斷出結(jié)果；
（2）①根據(jù)條件得到，利用與間的關(guān)系，得到，再利用累積法，即可求出結(jié)果；②利用①中結(jié)果，得到，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
數(shù)列存在極限，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
數(shù)列不存在極限，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
所以數(shù)列不存在極限，
【小問(wèn)2詳解】
①因?yàn)?，所以，得到①?br>當(dāng)時(shí)，②，
由①②，得到，整理得到，
所以，得到，
又，所以當(dāng)時(shí)，，又，滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
②由（1）知，
所以，
當(dāng)時(shí)，，所以.
19. 已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，，滿足直線與的斜率之積為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)；
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）若直線和的斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；
（3）若直線與直線分別交于，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件建立等式，化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)，聯(lián)立方程，消得到，由韋達(dá)定理得，利用條件，即可得到或，即可證明結(jié)果；
（3）根據(jù)條件得出和的中點(diǎn)重合，即可證明結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，由題有，化簡(jiǎn)得到，
所以曲線的軌跡方程為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)橹本€和的斜率之積為，所以直線的斜率存在，設(shè)，，，
由，消得到，
則，，
，
化簡(jiǎn)整理得到，得到或，
當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與重合，不合題意，
當(dāng)，，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn).
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又易知直線直線是雙曲線的漸近線，設(shè)，
由，消得到，
所以，，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，設(shè)中點(diǎn)為，
則，從而有.
x
1
2
3
4
5
6
y
（單位：萬(wàn)人）
1523
1465
1202
1062
956
902
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增