這是一份新高考數(shù)學二輪復習必考考點講練第二十四講 隨機變量分布列（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學二輪復習必考考點講練第二十四講隨機變量分布列原卷版doc、新高考數(shù)學二輪復習必考考點講練第二十四講隨機變量分布列解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共51頁， 歡迎下載使用。
古典概率
列舉法 列表法 畫樹狀圖法
條件概率
已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．
相互獨立事件
設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
隨機變量分布列
（1）分布列：若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
期望或者均值
若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
方差
為隨機變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機變量的標準差．
兩點分布、二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布
兩點分布的均值與方差：若隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則，．
（2）二項分布的期望、方差
若，則，．
（3）超幾何分布
（4）正態(tài)分布
正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．
【典型題型講解】
考點一：古典概率
【典例例題】
例1．（2021·廣東汕頭·高三期末）某市場一攤位的賣菜員發(fā)現(xiàn)顧客來此攤位買菜后選擇只用現(xiàn)金支付的概率為0.2，選擇既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付的概率為0.1，且買菜后無賒賬行為，則選擇只用非現(xiàn)金支付的概率為（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
【答案】C
【詳解】設事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，事件C為既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付，事件D為買菜后支付，則，
因為，所以．
故選：C
例2．（2022·廣東揭陽·高三期末）袋中有大小和形狀都相同的3個白球和2個黑球，現(xiàn)從袋中不放回地依次抽取兩個球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】記第次取得白球為事件，
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】
(1)分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；
(2)利用公式求出事件的概率．
【變式訓練】
1．（2022·廣東·一模）從集合的非空子集中隨機選擇兩個不同的集合A，B，則的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：集合的非空子集有共7個，
從7個中選兩個不同的集合A，B，共有種選法，
因為，
當時，則可為共3種，
當時，共1種，
同理當時，則可為共3種，
當時，共1種，
則符合的共有種，
所以的概率為.
故選：A.
2．（2022·廣東汕頭·一模）有4名大學生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務.冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目比賽的志愿服務，則每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，
然后將3個項目全排列，共有種排法，
所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的方法數(shù)為種，
因為4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務的總方法數(shù)種，
所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率為，
故選：D
3．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點位于的位置”的概率為___________.
【答案】
【詳解】由圖可知，若想通過6次移動最終停在-2的位置上，則必然需要向右移動2次且向左移動4次，記向右移動一次為R，向左移動一次為L，
則該題可轉(zhuǎn)化為RRLLLL六個字母排序的問題，故落在-2上的排法為
所有移動結(jié)果的總數(shù)為，所有落在-2上的概率為
故答案為：
4．（2022·廣東·鐵一中學高三期末）馬林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物.梅森在歐幾里得?費馬等人研究的基礎上對作了大量的計算?驗證工作，人們?yōu)榧o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如(其中是素數(shù))的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).在不超過40的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，至少有一個為梅森素數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】可知不超過40的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12個，
其中梅森素數(shù)有3，7，37共3個，
則在不超過40的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)共有種，
其中至少有一個為梅森素數(shù)有種，
所以至少有一個為梅森素數(shù)的概率是.
故選：A.
5．（2022·廣東東莞·高三期末）甲乙兩人在數(shù)獨APP上進行“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時解一道題，先解出題的人贏得一局，假設無平局，且每局甲乙兩人贏的概率相同，先贏3局者獲勝，則甲獲勝且比賽恰進行了4局的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】甲乙兩人各自解題是相互獨立事件，又知每局中甲乙兩人贏的概率相同，
即甲贏的概率為，甲輸?shù)母怕蕿?
則甲獲勝且比賽恰進行了4局的比賽情況是：甲在前三局中贏了兩局，第四局贏了.
其概率是
故選：D
6（2022·廣東汕頭·高三期末）“四書”是《大學》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值．某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動，某班有A、B兩位同學參賽，比賽時每位同學從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則A、B兩位同學抽到同一本書的概率為______．
【答案】
【詳解】每位同學從這4本書中隨機抽取1本，基本事件總數(shù)為個，
其中A、B兩位同學抽到同一本書，基本事件有個，
所以A、B兩位同學抽到同一本書的概率為．
故答案為：
7.（2022·廣東珠?！じ呷谀┙臃N疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法．我國自年月日起實施全民免費接種新冠疫苗．截止到年月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種．若人去接種新冠疫苗，恰有人接種同一種疫苗的概率為______．
【答案】
【詳解】由題意，每位接種者等可能地從種任選一種接種，
由分步乘法計算原理知，共有不同的結(jié)果，
恰有人接種同一種疫苗，可先從5人中任選3人并成一組，有種結(jié)果，
這個小團體有種疫苗可選，另外兩人各有種疫苗可選，故共有種，
故恰有三人接種同一種疫苗共有種不同結(jié)果，
由古典概型概率計算公式得：．
故答案為：.
8．（2022·廣東韶關·一模）在某校開展的知識競賽活動中，共有三道題，答對分別得2分?2分?4分，答錯不得分.已知甲同學答對問題的概率分別為，乙同學答對問題的概率均為，甲?乙兩位同學都需回答這三道題，且各題回答正確與否相互獨立.
(1)求甲同學至少有一道題不能答對的概率；
(2)運用你學過的統(tǒng)計學知識判斷，誰的得分能力更強
【答案】(1) (2)乙
（1）
設甲同學三道題都答對的事件為,則，
所以甲同學至少有一道題不能答對的概率為.
（2）
設甲同學本次競賽中得分為，則的可能取值為分，
則,
,
,
,
,
所以的概率分布列為：
所以
設乙同學本次競賽中得分為，由的可能取值為分
,
,
,
,
,
所以的概率分布列為：
所以,
所以，所以乙的得分能力更強
考點二：條件概率
【典例例題】
例1.甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，則
事件“甲和乙選擇的飲品不同”，
則事件=“甲選擇農(nóng)夫山泉，乙選擇的是加多寶或者雪碧”
所以
所以，
故選：D
【方法技巧與總結(jié)】
用定義法求條件概率的步驟
（1）分析題意，弄清概率模型；
（2）計算，；
（3）代入公式求．
【變式訓練】
1.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學到夫子廟、總統(tǒng)府、中山陵、南京博物館4處景點旅游，每人只去一處景點，設事件為“4個人去的景點各不相同”，事件為“只有甲去了中山陵”，則____________.
【答案】
【解析】甲、乙、丙、丁四位同學到夫子廟、總統(tǒng)府、中山陵、南京博物館4處景點旅游，共有種不同的方案，
事件，“4個人去的景點各不相同”的方案有：種，
事件，“只有甲去了中山陵”的方案有種，
事件同時發(fā)生的方案有：種，
，
所以
故答案為：
2．（2022·廣東深圳·一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有3個小孩的家庭，隨機選擇一個家庭，則下列說法正確的是（ ）
A．事件“該家庭3個小孩中至少有1個女孩”和事件“該家庭3個小孩中至少有1個男孩”是互斥事件
B．事件“該家庭3個孩子都是男孩”和事件“該家庭3個孩子都是女孩”是對立事件
C．該家庭3個小孩中只有1個男孩的概率為
D．當已知該家庭3個小孩中有男孩的條件下，3個小孩中至少有2個男孩的概率為
【答案】．D
【詳解】A：假設事件A：該家庭3個小孩至少有1個女孩，則包含(女，男，男)的可能，
事件B：該家庭3個小孩至少有一個男孩，則包含(女，女，男)的可能，
所以，故A錯誤；
B：事件“3個孩子都是男孩”與事件“3個孩子都是女孩”不可能同時發(fā)生，
是互斥但不對立事件，故B錯誤；
C：3個小孩可能發(fā)生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8種，
其中只有一個男孩的概率為：，故C錯誤；
D：設M={至少一個有男孩}，N={至少有2個男孩}，由選項C可知，
，所以，故D正確.
故選：D
3.端午節(jié)這天人們會懸菖蒲、吃粽子、賽龍舟、喝雄黃酒．現(xiàn)有9個粽子，其中2個為蜜棗餡，3個為臘肉餡，4個為豆沙餡，小明隨機取兩個，設事件A為“取到的兩個為同一種餡”，事件B為“取到的兩個均為豆沙餡”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意不妨設2個蜜棗餡為：A，B，3個為臘肉餡為：a,b,c，4個為豆沙餡：1，2，3，4，則事件A為“取到的兩個為同一種餡”，對應的事件為:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以，
事件AB為“取到的兩個為同一種餡，均為豆沙餡”，對應的事件為：12,13,14,23,24,34,所以，
所以，
故選：C
4.2022年3月，全國大部分省份出現(xiàn)了新冠疫情，對于出現(xiàn)確診病例的社區(qū)，受到了全社會的關注．為了把被感染的人篩查出來，防疫部門決定對全體社區(qū)人員篩查核酸檢測，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了；如果為陽性，為了明確這k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗．假設在接受檢驗的人群中，隨機抽一人核酸檢測呈陽性概率為，每個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨立的．
(1)若該社區(qū)約有2000人，有兩種分組方式可以選擇：方案一是：10人一組；方案二：8人一組．請你為防疫部門選擇一種方案，并說明理由；
(2)我們知道核酸檢測呈陽性，必須由專家二次確認，因為有假陽性的可能；已知該社區(qū)人員中被感染的概率為0.29%，且已知被感染的人員核酸檢測呈陽性的概率為99.9%，若檢測中有一人核酸檢測呈陽性，求其被感染的概率．（參考數(shù)據(jù)：（，）
【解析】(1)設方案一中每組的化驗次數(shù)為，則的取值為1，11，
∴，
，
∴的分布列為：
．
故方案一的化驗總次數(shù)的期望值為：次．
設方案二中每組的化驗次數(shù)為，則的取值為1，9
，，
∴的分布列為：
∴．
∴方案二的化驗總次數(shù)的期望為次．∵260
