湖北省部分市州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

這是一份湖北省部分市州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共21頁(yè)。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答，考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交等內(nèi)容，歡迎下載使用。
本試卷共 4 頁(yè)，19 題.全卷滿(mǎn)分 150 分.考試用時(shí) 120 分鐘.
★?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證
號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試
卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷，草稿紙和答
題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 已知兩點(diǎn) ，直線 傾斜角為 ，則實(shí)數(shù) 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式及直線的斜率定義即可求解.
【詳解】由題，直線 的斜率為 ，又 ，
.
故選：B.
2. 已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列 ，若 ，則 等于（ ）
A. 11 B. 9 C. 7 D. 11 或 1
【答案】A
【解析】
第 1頁(yè)/共 21頁(yè)
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】在公差為正數(shù)的等差數(shù)列 中，
因?yàn)?，所以 ，
又 ，所以 或 ，
又因?yàn)楣顬檎龜?shù)，所以 ，所以 ，
所以 ，則 .
故選：A.
3. 已知向量 ，向量 ，向量 ，若 三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù) 等
于（ ）
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知存在 ，使得 ，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量 ，向量 ，且 ， ， 三向量共面，
可知存在 ，使得 ，即 ，
則 ，解得 ，所以 .
故選：D.
4. 某學(xué)校乒乓球比賽，學(xué)生甲和學(xué)生乙比賽 3 局（采取三局兩勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率是 0.7，
乙獲勝的概率是 0.3，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù) 時(shí)，表示
一局甲獲勝，其概率是 0.7.由于要比賽 3 局，所以每 3 個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，例如，產(chǎn)生 20 組隨機(jī)數(shù)；
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
第 2頁(yè)/共 21頁(yè)
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166
根據(jù)隨機(jī)數(shù)估計(jì)甲獲勝的概率為（ ）
A. 0.9 B. 0.95 C. 0.8 D. 0.85
【答案】A
【解析】
【分析】由頻率可得到概率估計(jì)值.
【詳解】設(shè)事件 為 “甲獲勝”，
20 組隨機(jī)數(shù)，其中事件 發(fā)生了 18 次，
.
故選：A.
5. 已知圓 與圓 ，則圓 與圓 的公切線的條數(shù)有
（ ）
A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條
【答案】C
【解析】
【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求出公切線的條件.
【詳解】 可化為 ，
所以圓心 ，半徑 ，
可化為 ，
所以圓心 ，半徑 ，
圓心距 ，
所以?xún)蓤A外切，
所以?xún)蓤A的公切線有 3 條.
故選：C
6. 已知過(guò)點(diǎn) 的直線與雙曲線 的左，右兩支均相交，則該直線斜率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
第 3頁(yè)/共 21頁(yè)
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程 ，與雙曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程 有一正一負(fù)根
求解.
【詳解】設(shè)該直線為 ，
聯(lián)立 ，化簡(jiǎn)整理得 ，
由直線與雙曲線 的左，右兩支均相交，
所以 ，解得 ，
所以該直線斜率的取值范圍為 .
故選：B.
7. 已知八面體 由正四棱錐 與正四棱錐 構(gòu)成（如圖），若 ，
，點(diǎn) 分別為 的中點(diǎn)，則 （ ）
A. 0 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】連接 ， 交于點(diǎn) ，連接 ， ，
因?yàn)檎睦忮F 與正四棱錐 ，
第 4頁(yè)/共 21頁(yè)
所以 平面 ， 平面 ，
因?yàn)?， ，
所以 ， ， ，
以 為原點(diǎn)， 分別為 軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ， ， ， ， ，
， ，
所以 ， ，
所以 .
故選：D.
8. 已知點(diǎn) 是橢圓 上的一點(diǎn)，設(shè) 是直線 上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，若 時(shí)，則
使得 是等腰直角三角形的點(diǎn) 有（ ）
A. 2 個(gè) B. 4 個(gè) C. 6 個(gè) D. 8 個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn) ，求出點(diǎn) 到直線 的距離 的取值范圍，對(duì)點(diǎn) 是否為直角
頂點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求解.
【詳解】橢圓方程為 ，橢圓與直線 均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
第 5頁(yè)/共 21頁(yè)
設(shè)點(diǎn) ， ，
設(shè)點(diǎn) 到直線 的距離為 ，
則 ，
①若 為直角頂點(diǎn)，如下圖：
則由 ，得頂點(diǎn) 到邊 的高為 ，
即 ，此時(shí)滿(mǎn)足 為等腰直角三角形的點(diǎn) 有四個(gè)；
②若 不 直角頂點(diǎn)，如下圖：
則由 ，得頂點(diǎn) 到邊 的高為 ，
即 ，此時(shí)滿(mǎn)足 是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn) 有兩個(gè)，
綜上，使得 是等腰直角三角形的點(diǎn) 有 6 個(gè).
故選：C.
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知事件 與事件 相互獨(dú)立，且 ，則下列正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
第 6頁(yè)/共 21頁(yè)
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件，對(duì)立事件和概率加法公式逐一計(jì)算判斷即可.
【詳解】對(duì)于 A， ，故 A 正確；
對(duì)于 B，因?yàn)槭录?與 相互獨(dú)立，所以 ，故 B 正確；
對(duì)于 C，因?yàn)槭录?與 相互獨(dú)立，所以事件 與 相互獨(dú)立，
，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D， ，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 如圖，已知直三棱柱 中， 為 的中點(diǎn)， 在線
段 上.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若 為中點(diǎn)時(shí)，則
B.
C.
D. 若直線 與平面 所成的角為 ，則 的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解依次判斷各個(gè)選
項(xiàng).
【詳解】如圖，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
第 7頁(yè)/共 21頁(yè)
由題可得 ， ， ， ， ， ， ，
對(duì)于 A，若 為中點(diǎn)時(shí)，則 ，所以 ，故 A 正確；
對(duì)于 B， ， ，則 ，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C， ， ， ，所以 ，故 C 正確；
對(duì)于 D，設(shè)點(diǎn) ， ， ， ， ，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
則 ，令 ，得 ，
則 ，
所以 ， ，
令 ，則 ，
令 ， ，
第 8頁(yè)/共 21頁(yè)
則 ， ，
當(dāng) 時(shí)， 取得最小值 ，此時(shí) 取得最大值 1；
當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 ，此時(shí) 取得最小值 ；
綜上， 的取值范圍為 ，故 D 正確.
故選：ACD.
11. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，定義任意兩點(diǎn) “新距離”為： ，
在此距離定義下，點(diǎn) 到直線 的“新距離”就是點(diǎn) 與直線 上所有點(diǎn)的“新距離”的最小值，記作符號(hào)
.已知點(diǎn) ， ，直線 .（ ）
A.
B. 到點(diǎn) C“新距離”等于 1 的點(diǎn) 所圍成的圖形的面積為 4
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由新距離定義求解判斷 A；由新距離定義，分類(lèi)討論求出點(diǎn) P 的軌跡判斷 B；設(shè) M 為直線 上的
動(dòng)點(diǎn)，由新距離定義，分情況討論判斷 C；由新距離定義，結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義推理判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A， ， ，則 ，A 正確；
對(duì)于 B， ，即 ，
當(dāng) 且 時(shí)，有 ，即 ；
當(dāng) 目 時(shí)，有 ，即 ；
當(dāng) 且 時(shí)，有 ，即 ；
第 9頁(yè)/共 21頁(yè)
當(dāng) 目 時(shí)，有 ，即 ；
因此點(diǎn) P 的軌跡圍成的圖形是以 為頂點(diǎn)的正方形，
邊長(zhǎng)為 ，面積為 ，B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，令 M 為直線 上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) ，
則 與點(diǎn) 的“新距離” ，
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
因此點(diǎn) D 到直線 的“新距離” ，C 正確；
對(duì)于 D，由絕對(duì)值的幾何意義得， ，
則 ， ，
將兩式相加得： ，
即 ，D 正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及新定義的理解和運(yùn)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，注意 與
的區(qū)別.
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知直線 ，若 ，則 與 之間的距離為
__________.
第 10頁(yè)/共 21頁(yè)
【答案】 ##
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出 ，利用兩平行線間距離公式求解.
詳解】由 ，可得 ，解得 ，
所以直線 ，即 ，
所以 與 間的距離為 .
故答案為： .
13. 已知圓 的直徑為 是圓 內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，且 是圓 上任意一點(diǎn)，線段 的垂直平分線
和半徑 相交于點(diǎn) ，若點(diǎn) 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn) 的軌跡的離心率等于__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn) 的軌跡是以 為焦點(diǎn)，焦距為 長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 的橢圓，
即可求得其離心率.
【詳解】
由已知，圓 的直徑為 ，則 ，
又線段 的垂直平分線 和半徑 相交于點(diǎn) ，
，
因?yàn)?，
所以 與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離的和等于常數(shù)（大于 ），
由橢圓的定義得，點(diǎn) 的軌跡是以 為焦點(diǎn)，焦距為 ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 的橢圓，
第 11頁(yè)/共 21頁(yè)
所以點(diǎn) 的軌跡的離心率為 .
故答案為： .
14. 已知 個(gè)圓兩兩相交，每?jī)蓚€(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)且所有交點(diǎn)均不重合，設(shè) 個(gè)圓的交點(diǎn)總數(shù)為 ，
記 ，則 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得 ，迭代求出 ，再利用裂項(xiàng)相消法求和.
詳解】由題意， ， ， ， ， ，
，
當(dāng) 時(shí)，上式成立，則 ， ，
， ，
所以 ， .
故答案為： .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解題意得到 ，求出通項(xiàng) .
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的 5 個(gè)球，其中有 3 個(gè)紅色球和 2 個(gè)綠色球，從袋中隨機(jī)摸出 2 個(gè)球.
（1）求“摸到兩個(gè)球顏色不同”的概率；
（2）求“至少摸到一個(gè)紅球”的概率.
【答案】（1）
第 12頁(yè)/共 21頁(yè)
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意寫(xiě)出從袋中不放回摸出 2 個(gè)球的所以可能結(jié)果結(jié)合兩個(gè)球顏色相同的結(jié)果，利用古
典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可；
（2）利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
用 1、2、3 表示 3 個(gè)紅色球，4、5 表示 2 個(gè)綠色球，用數(shù)組 表示可能的結(jié)果，則樣本空間所包含的
樣本點(diǎn)為： 10 種，
其中兩個(gè)球顏色不同的事件有： 共 6 種，
設(shè)摸到兩個(gè)球顏色不同為事件 A,
故事件 A 的概率為 .
【小問(wèn) 2 詳解】
其中至少摸到一個(gè)紅球事件有： 共 9 種，
設(shè)至少摸到一個(gè)紅球?yàn)槭录?B,
故事件 B 的概率為 .
16. 如圖，已知四棱錐 ，底面 為菱形，且 ，側(cè)面 為邊長(zhǎng)等于 2 的正三
角形，平面 平面 ， 為 的中點(diǎn).
（1）求四棱錐 的體積；
（2）求平面 與平面 夾角的余弦值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明 平面 ，根據(jù)題意即可求出體積；
第 13頁(yè)/共 21頁(yè)
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求解.
【小問(wèn) 1 詳解】
取 中點(diǎn) ，連接 ，
因?yàn)?為正三角形，
所以 ，
因?yàn)槠矫?平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因?yàn)?的邊長(zhǎng)為 2，所以 ，
又 為菱形， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以菱形 的面積為 ，
所以四棱錐 的體積為： .
【小問(wèn) 2 詳解】
由（1），以 為原點(diǎn)， 所在直線分別為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
則 即 ，令 ，則 ， ，
所以平面 的法向量為 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
則 即 ，令 ，則 ， ，
所以平面 的法向量為 ，
第 14頁(yè)/共 21頁(yè)
設(shè)平面 與平面 夾角為 ，
所以 ，
所以平面 與平面 夾角的余弦值為 .
17. 已知圓 圓心在 軸上，且過(guò)點(diǎn) 兩點(diǎn).
（1）求圓 的方程；
（2）設(shè)點(diǎn) ，以線段 為直徑的圓與圓 交于 兩點(diǎn)，求線段 長(zhǎng)度的最小值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓 的方程，利用待定系數(shù)法求出方程.
（2）求出線段 為直徑的圓的方程，進(jìn)而求出直線 的方程，再利用圓的弦長(zhǎng)公式建立函數(shù)關(guān)系并求
出最小值.
小問(wèn) 1 詳解】
依題意，設(shè)圓 的方程為 ，
由圓 過(guò)點(diǎn) ，得 ，解得 ，
所以圓 的方程為： .
【小問(wèn) 2 詳解】
由（1）知，圓 ： 的圓心 ，半徑 ，而點(diǎn) ，
以 PD 為直徑的圓的方程為： ，整理得 ，
第 15頁(yè)/共 21頁(yè)
于是直線 EF 的方程為： ，
點(diǎn) D 到直線 EF 的距離為 ， ，
，函數(shù) ，
則當(dāng) ，即 時(shí)， ，即當(dāng) 時(shí)， ，
所以線段 EF 長(zhǎng)度的最小值為
18. 已知直線 與拋物線 交于 兩點(diǎn).
（1）若 ，直線 的斜率為 1，且過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)，求線段 的長(zhǎng)；
（2）如圖，若 （ 為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)，點(diǎn) 為直線 與 軸的交
點(diǎn)，設(shè)線段 的中垂線與 軸， 軸分別交于 兩點(diǎn).記 的面積為 的面積為 ，求
的取值范圍.
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【分析】（1）由題可得直線 的方程為 ，與拋物線聯(lián)立得 ，利用拋物線定義
求出答案；
第 16頁(yè)/共 21頁(yè)
（2）設(shè)直線 的方程為 ，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合 求得 ，求得點(diǎn) 的坐標(biāo)，
直線 的方程，得點(diǎn) 坐標(biāo)，由 得 ，利用基本不等式求解.
【小問(wèn) 1 詳解】
若 ，則 ，焦點(diǎn)為 ，
所以直線 的方程為 ，
設(shè) ，聯(lián)立 ，整理得 ，
， ，
所以 ，
所以線段 的長(zhǎng)為 16.
【小問(wèn) 2 詳解】
由題意， ，設(shè)直線 的方程為 ， ，
當(dāng) 時(shí)， 不能構(gòu)成三角形，不合題意；
當(dāng) 時(shí)，聯(lián)立 ，整理得 ，
， ，
因?yàn)?，所以 ，即 ，
，即 ，
，解得 ，滿(mǎn)足上面方程 ，
則 ， ，即點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
因?yàn)?，所以直線 的方程為： ，
第 17頁(yè)/共 21頁(yè)
令 ，得 ，令 ，得 ，
由 ，可得
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，
所以 的取值范圍為 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解決的關(guān)鍵是求出直線 的方程，得到點(diǎn) 坐標(biāo)，根據(jù)
可得 ，計(jì)算求解.
19. 已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，數(shù)列 是首項(xiàng)為 1，且滿(mǎn)足
.
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù) ，使得數(shù)列 第 1 項(xiàng)，第 2 項(xiàng)，第 項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求滿(mǎn)足條件
的所有 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）類(lèi)比教材等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法，探求數(shù)列 的前 項(xiàng)和.
【答案】（1） ，
（2）存在滿(mǎn)足要求得 ， 或
（3） ，
第 18頁(yè)/共 21頁(yè)
【解析】
【分析】（1）根據(jù) 的關(guān)系求 的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的定義寫(xiě)出 的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在 ，使得 成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的關(guān)系列式結(jié)合 討
論求解；
（3）由題可得 ，令 表示 的前 項(xiàng)和， 表示 的前 項(xiàng)和，仿照錯(cuò)
位相加法求出 ，得解.
【小問(wèn) 1 詳解】
，令 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，
滿(mǎn)足上式，故 ， .
又 ，且滿(mǎn)足 ， ，
所以 是首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列，
， .
【小問(wèn) 2 詳解】
假設(shè)存在 ，使得 成等差數(shù)列，
則 ，即 ，
化簡(jiǎn)得 ，
又 ， ，即 ，
當(dāng) 時(shí)，與 矛盾，不符合舍去；
當(dāng) 時(shí)， ， ，
當(dāng) 時(shí)， ， ，
第 19頁(yè)/共 21頁(yè)
所以存在滿(mǎn)足要求的 ， 或 .
【小問(wèn) 3 詳解】
，
令 ，
令 ①，
②，
① ②得： ③，
④，
④ ③得：
，
，
所以數(shù)列 的前 項(xiàng)和為：
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵是類(lèi)比等比數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法求出數(shù)列 的
前 項(xiàng)和.
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