初中數(shù)學北師大版（2024）七年級下冊（2024）3 乘法公式第2課時教案

這是一份初中數(shù)學北師大版（2024）七年級下冊（2024）3 乘法公式第2課時教案，共6頁。教案主要包含了教學目標，教學重難點，教學過程設(shè)計等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.3 乘法公式
第2課時 平方差公式的幾何解釋
一、教學目標
1.通過拼圖游戲，給出平方差公式的幾何解釋，發(fā)展運用幾何直觀的能力．
2.在利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，了解平方差公式的幾何意義，感知數(shù)形結(jié)合的思想．
3.在探索平方差公式的過程中，感悟從一般到特殊、從具體到抽象地研究問題的方法．
4.在探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，感受數(shù)學的嚴謹性，體會數(shù)學的簡潔美.
二、教學重難點
重點：掌握平方差公式及其幾何意義，并能正確運用公式進行計算.
難點：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能靈活運用公式.
三、教學過程設(shè)計
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習回顧】
問題1：什么是平方差公式？它有什么特點？
預(yù)設(shè)答案：平方差公式
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.
即(a+b)(a?b)=a2?b2
平方差公式的特征：
(1)等號左邊是兩個二項式的積，且這兩個二項式中有一項為相同項，另一項為相反項.
(2)等號右邊是相同項的平方減去相反項的平方.
(3)公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式等式子.
設(shè)計意圖：通過復(fù)習平法差公式及其特點，為新知識的學習作準備.
環(huán)節(jié)二 探究新知
【觀察思考】如圖，邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，你能表示圖中陰影部分的面積嗎？
【合作探究】
問題2：如何計算陰影部分的面積？
教師活動：提出問題，引導(dǎo)學生先獨立思考，完成驗證，然后小組合作，交流思路，完善過程.
預(yù)設(shè)答案：S陰影=S大正方形?S小正方形
=a2?b2
追問1：小穎將陰影部分拼成了一個長方形 (如圖)，這個長方形的長和寬分別是多少?你能表示出它的面積嗎?
預(yù)設(shè)答案：這個長方形的長為：a+b，寬為：a?b，S陰影=長×寬=(a+b)(a?b).
設(shè)計意圖：讓學生通過計算圖形面積入手，提高學習積極性，培養(yǎng)學生自主探究解決問題的能力.
追問2：比較兩種計算結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎?
預(yù)設(shè)答案：兩種計算方法都是表示陰影部分的面積，由面積相等，可得：(a+b)(a?b)=a2?b2.
教師活動：引導(dǎo)學生思考，并由面積相等驗證平方差公式，使學生明確這就是平方差公式的幾何意義.
設(shè)計意圖：利用幾何圖形的面積驗證平方差公式，讓學生從不同的角度理解這一公式，了解平方差公式的幾何意義，并讓學生感知數(shù)形結(jié)合的思想.
追問3：是否還有其它的剪拼方法來證明？
預(yù)設(shè)答案：
S陰影=長×寬=(a+b)(a?b).
教師活動：讓學生獨立思考后，進行展示，如上圖，可以沿大正方體的一條對角線剪開，得到兩個直角梯形，再把這兩個直角梯形拼成一個長為a+b，寬為a?b的長方形，也可以驗證平方差公式.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，舉一反三，學會從多種角度思考并解決問題.
【歸納】
平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2
幾何意義：
總結(jié)：使用平方差公式計算時，一定程度上可以簡化計算.
設(shè)計意圖：通過歸納，培養(yǎng)學生的觀察分析能力和歸納概括能力.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【例1】用平方差公式進行計算：
(1) 103×97；(2) 118×122.
分析： (1) 103×97=(100+3)(100?3)
(2) 118×122=(120?2)(120+2)
解： (1) 103×97
=(100+3)(100?3)
=1002?32
=9991；
(2) 118×122
=(120?2)(120+2)
=1202?22
=14396.
設(shè)計意圖：讓學生在應(yīng)用過程中進一步加深對平方差公式的認識和理解，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識.
【例2】計算：
(1) a2(a+b)(a?b)+a2b2；
(2) (2x?5)(2x+5)?2x(2x?3)
提示：只有符合公式條件的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按乘法法則進行.
解：(1) a2(a+b)(a?b)+a2b2；
=a2(a2?b2)+a2b2
=a4?a2b2+a2b2
=a4；
(2) (2x?5)(2x+5)?2x(2x?3)
=(2x)2?25?2x(2x?3)
=4x2?25? 4x2+6x
=6x?25.
設(shè)計意圖：讓學生在應(yīng)用過程中進一步加深對平方差公式的認識和理解，并讓學生明白只有符合公式條件的乘法或者能變形成滿足平方差公式特征的式子，才能運用公式簡化運算.
【想一想】
問題3：計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點.
7×9=8×8= 11×13=12×12= 79×81=80×80=
預(yù)設(shè)答案：
7×9=638×8=64 11×13=14312×12=144 79×81=639980×80=6400
追問1：從以上過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
預(yù)設(shè)答案：
(1)每組的兩個算式，上面算式中的兩個因數(shù)，都是下面算式的因數(shù)分別減1，加1得到的；
(2)每組的兩個算式，上面算式的結(jié)果+1=下面算式的結(jié)果.
追問2：請用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？
預(yù)設(shè)答案：(a+1)(a?1)=a2?1.
問題4：你能快速說出下面式子的答案嗎？
201×199= 1003×997=
解：201×199
=(200+1)(200?1)
=2002?12
=3999
1003×997
=(1000+3)(1000?3)
=10002?32
=999991
設(shè)計意圖：通過讓學生計算、觀察、歸納、驗證，讓學生感知從一般到特殊的研究問題的方法.
環(huán)節(jié)四 課堂練習
1. 利用平方差公式計算：
(1) 598×602； (2) 1999×2001.
2.計算：
(1) (y+2)(y?2)?(y?1)(y+5)；
(2) (4x+3)(4x?3)?(3x+2)(2x?3)
3. 計算：(a?12b)(a+12b)?(3a?2b)(3a+2b).
答案：
1. 解：(1) 598×602
=(600?2)× (600+2)
=6002?22
=359 996
(2) 1999×2001
=(2000?1)×(2000+1)
=20002 ?12
=3 999 999
2. 解：(1) (y+2)(y?2)?(y?1)(y+5)
=y2?22?(y2+5y?y?5)
=y2?4?y2?4y+5
=?4y+1
(2) (4x+3)(4x?3)?(3x+2)(2x?3)
=(4x)2?32?(6x2?9x+4x?6)
=16x2?9?6x2+9x?4x+6
=10x2+5x?3
3. 解：(a?12b)(a+12b)?(3a?2b)(3a+2b)
=a2?(12b)2?(3a)2+(2b)2
=a2?14b2?9a2+4b2
=?8a2+154b2.
設(shè)計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容，并考查學生的知識應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨立完成練習的習慣.
環(huán)節(jié)五 總結(jié)歸納
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：

設(shè)計意圖：通過小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學習內(nèi)容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.